Àlgebra Lineal tronc comú, UdL, Igualada
Considerem un conjunt $E$ on viuen uns objectes anomenats vectors.
Diem que $E$ és un Espai Vectorial, si podem fer el segÜent sense "sortir" de $E$:
1. Suma (Interna):
Regla del paral·lelogram. Vermell + Blau = Lila.
2. Producte (Extern):
Estirar o arronsar. Verd és el blau escalat.
Mou els punts dels vectors i el lliscador:
Factor $\lambda$: 1.5Sigui $(E, +)$ un grup commutatiu i $(\mathbb{R}, +, \cdot)$ un cos.
Diem que $E$ és un espai vectorial sobre $\mathbb{R}$ si tenim una operació externa $\mathbb{R} \times E \to E$ tal que:
Més enllà de les fletxes
Els polinomis de grau $\le 2$ es comporten com vectors.
Analogia:
El polinomi $p(x) = {\color{red}a}x^2 + {\color{red}b}x + {\color{red}c}$ és equivalent al vector $({\color{red}a}, {\color{red}b}, {\color{red}c})$.
Si sumes dos polinomis, en surt un altre.
Imagina que $\sin(x)$ i $\cos(x)$ són els vectors base.
Qualsevol combinació lineal crea una nova funció:
$$f(x) = a \cdot \sin(x) + b \cdot \cos(x)$$Mou els lliscadors!
Una matriu és un vector en quadrícula.
Com construïm nous vectors a partir dels que ja tenim?
Donats uns vectors $\vec{v}_1, \dots, \vec{v}_n$ i uns escalars $\lambda_1, \dots, \lambda_n$, una combinació lineal és:
$$ \vec{w} = \lambda_1 \vec{v}_1 + \lambda_2 \vec{v}_2 + \dots + \lambda_n \vec{v}_n $$Creem un nou vector agafant $\lambda_i$ de cada vector $\vec{v}_i$.
El conjunt de totes les combinacions possibles s'anomena Subespai Generat (o Span), i es denota per
Tenim dos vectors fixos, $\vec{u}$ i $\vec{v}$.
Variant els paràmetres $\alpha$ i $\beta$, generem el vector lila:
$$ \vec{w} = \alpha \vec{u} + \beta \vec{v} $$Observa: El vector resultant $\vec{w}$ mai pot sortir del pla gris definit per $\vec{u}$ i $\vec{v}$.
$\alpha$: 1 | $\beta$: 1
Arrossega el ratolí pel gràfic per girar la càmera 3D!Definició Formal:
Sigui $E$ un espai vectorial i $F \subset E$ un subconjunt no buit.
Diem que $F$ és un subespai vectorial de $E$ si:
Què vol dir això realment?
Que $F$ és un "espai petit" dins de l'espai gran $E$ que respecte les regles del joc: si operes dins d'ell, mai en surts.
Exemple: Un pla que passa per l'origen dins de $\mathbb{R}^3$.
Concepte:
Diem que uns vectors són linealment independents (l.i.) si cap d'ells es pot obtenir a partir de combinacions lineals (sumes i productes per escalars) dels altres.
És a dir: no hi ha "redundància" o "informació repetida".
Definició Formal:
Alternativament, els vectors $\vec{v}_1, \dots, \vec{v}_n \in \mathbb{R}^n$ són l.i. si l'única solució de l'equació:
$$ \lambda_1 \vec{v}_1 + \lambda_2 \vec{v}_2 + \cdots + \lambda_n \vec{v}_n = \vec{0} $$és la solució trivial: $\lambda_1 = \lambda_2 = \cdots = \lambda_n = 0$.
Es diu que $\{\vec{v}_1, \dots, \vec{v}_n\} \subset E$ és un conjunt generador de $E$ si, per a tot vector $\vec{w} \in E$, existeixen escalars $\lambda_i \in \mathbb{R}$ tals que:
$$ \vec{w} = \sum_{i=1}^{n} \lambda_i \vec{v}_i $$Què vol dir això?
Qualsevol vector de l'espai, sigui quin sigui, es pot "fabricar" combinant els vectors del conjunt generador. No queda cap racó de l'espai sense cobrir.
Un espai finitament generat admet almenys un conjunt de vectors que són:
Aquest conjunt $\mathcal{B}=\{\vec{v}_1,\dots,\vec{v}_n\}$ s'anomena BASE.
Propietat clau: Coordenades úniques
Per a tot $\vec{w} \in E$, existeixen uns escalars $\alpha_i \in \mathbb{R}$ únics tals que:
$$ \vec{w} = \sum_{i=1}^{n} \alpha_i \vec{v}_i $$Escrivim $\vec{w}=(\alpha_{1},\dots,\alpha_{n})_{\mathcal{B}}$ per indicar les components en aquesta base.
Dimensió ($\dim E$)
Totes les bases d'un mateix espai vectorial tenen el mateix nombre d'elements $n$.
Definim aquest nombre com la dimensió de l'espai: $\dim E = n$.
El Concepte Visual:
Tenim un vector $\vec{w}$ (negre). Les seves "instruccions" (coordenades) depenen de la quadrícula (base) que fem servir.
Com passem de les coordenades en $\mathcal{B}$ a les Canòniques?
El camí fàcil ($\mathcal{B} \to C$):
Simplement posem els vectors de la base $\mathcal{B}$ en columnes.
$$ P = \begin{pmatrix} | & | & | \\ \vec{u}_1 & \vec{u}_2 & \vec{u}_3 \\ | & | & | \end{pmatrix} $$Aquesta matriu $P$ "tradueix" de $\mathcal{B}$ a Canònica:
$$ \vec{x}_{can} = P \cdot \vec{x}_{\mathcal{B}} $$Com passem directament de $\mathcal{B}_1$ a $\mathcal{B}_2$? Fem escala a la Canònica ($C$).
També podem passar d'una base a una altra pantejant un sistema d'equacions:
Relació Matricial:
Si $\vec{u_i}=\sum_{j=1}^{n}a_{ji}\vec{v_{j}}$, aleshores:
\[ \begin{pmatrix} \beta_{1}\\ \vdots\\ \beta_{n} \end{pmatrix}_{\mathcal{B}_{2}} = \underbrace{ \begin{pmatrix} a_{11}&\cdot\cdot\cdot&a_{1n}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&\cdot\cdot\cdot&a_{nn} \end{pmatrix} }_{P_{\mathcal{B}_1 \to \mathcal{B}_2}} \begin{pmatrix} \alpha_{1}\\ \vdots\\ \alpha_{n} \end{pmatrix}_{\mathcal{B}_{1}} \]Dades inicials:
1. Calculem per a $\vec{u}_1 = (2,1,0)$
2. Calculem per a $\vec{u}_2 = (0,2,1)$
3. Calculem per a $\vec{u}_3 = (1,0,2)$
Matriu de Canvi de Base
Posem els tres resultats de dalt en format columna:
Subespai Suma: El subespai més petit que conté la unió.
$$ S+T = < S \cup T > = \{ \vec{u} = \vec{v}+\vec{w} \mid \vec{v}\in S, \vec{w}\in T \} $$Si $S$ i $T$ són de dimensió finita:
$$ \dim(S+T) = \dim S + \dim T - \dim(S\cap T) $$Siguin els subespais vectorials següents de $\mathbb{R}^4$:
Trobeu:
Tenim $1$ restricció a $\mathbb{R}^4 \implies \dim(S) = 4 - 1 = \mathbf{3}$
Per trobar la base, donem valors a $x, y, z$ i aïllem $t$ ($t = x - 2y + z$):
Base de S:
Calculem el rang de la matriu dels generadors:
$$ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 2 & a & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} $$Busquem menors $3 \times 3$ per veure quan s'anul·len:
$$ \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & a & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = a + 2 = 0 \implies \mathbf{a = -2} $$(La resta de menors també s'anul·len o són zero per $a=-2$)
Cas 1: $a = -2$
$\text{Rang} = 2 \implies \dim(T) = \mathbf{2}$
Com el 1r i 3r vector són l.i., agafem:
$\mathcal{B}_T = \{(1,0,1,1), (0,1,1,1)\}$
Cas 2: $a \neq -2$
$\text{Rang} = 3 \implies \dim(T) = \mathbf{3}$
Tots tres vectors són l.i.:
$\mathcal{B}_T = \{(1,0,1,1), (2,a,0,0), (0,1,1,1)\}$
Generadors de $S+T$
1. Càlcul del Rang
Les 3 primeres files ($\vec{s}_1, \vec{s}_2, \vec{s}_3$) són l.i. Hi afegim $\vec{t}_1$ i busquem un menor no nul:
El rang és 4 $\implies \dim(S+T) = 4$
2. Construcció de la Base
Com que $\dim(S+T) = 4$, necessitem 4 vectors linealment independents.
Al pas anterior hem comprovat que les 4 primeres files formen un menor no nul. Per tant, la base és:
Teorema de Grassmann: $\dim(S \cap T) = \dim(S) + \dim(T) - \dim(S+T)$
Si $a \neq -2$
$\dim(S) = 3$
$\dim(T) = 3$
$\dim(S+T) = 4$
Si $a = -2$
$\dim(S) = 3$
$\dim(T) = 2$
$\dim(S+T) = 4$
NO. La suma no pot ser directa perquè la intersecció mai és $\{\vec{0}\}$. Hem vist que $\dim(S \cap T)$ és $1$ o $2$ depenent del valor de $a$, però mai $0$.