$$ \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\RR}{\mathbb{R}} \newcommand{\Nuc}{\text{Nuc}} %\newcommand{\vv}[1]{\overrightarrow{#1}} \newcommand{\vv}[1]{\vec{#1}} \newcommand{\D}{\text{Dom}} \newcommand{\Dom}{\text{Dom}} $$

Dossier d’exercicis de combinatòria

4rt ESO — Curs 2025-2026

Author

Departament de Matemàtiques

1 Combinatòria

1.1 Diagrames d’arbre

1.1.1

Quants nombres podem fer de dues i tres xifres amb els nombres 1, 2 i 3?

  • a) De dues xifres: Per a la primera xifra tenim 3 opcions (1, 2 o 3) i per a la segona xifra en tenim 3 més. En total: \(3 \times 3 = 3^2 = 9\) nombres possibles.
  • b) De tres xifres: Seguim el mateix raonament afegint una tercera posició amb 3 opcions. En total: \(3 \times 3 \times 3 = 3^3 = 27\) nombres possibles.

1.1.2

Llancem un dau i una moneda. Quants resultats possibles diferents existeixen?

El dau té 6 resultats possibles (1, 2, 3, 4, 5, 6) i la moneda en té 2 (cara o creu). Ajuntant les opcions mitjançant un arbre o el principi multiplicatiu obtenim: \[\text{Total} = 6 \times 2 = 12 \text{ resultats}\]

1.1.3

En un menú d’un restaurant tenim disponibles 3 primers plats, dos segons i quatre postres. Quants menús diferents es poden demanar?

Apliquem directament el principi multiplicatiu, combinant les opcions de cada elecció independent: \[\text{Menús diferents} = 3 \times 2 \times 4 = 24\]

1.1.4

Quants resultats possibles hi ha si llancem quatre monedes?

Cada moneda té 2 opcions independents (cara o creu). Per tant, el nombre total de seqüències de resultats possibles és: \[\text{Resultats} = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^4 = 16\]

1.2 Variacions amb repetició

1.2.1

Disposem de quatre lletres: a, b, c i d. Quantes paraules de tres lletres podem formar?

Com que es tracta de paraules, l’ordre de les lletres importa. A més, en no dir el contrari, podem repetir les lletres. Tenim 3 posicions a omplir i 4 lletres disponibles per a cadascuna: \[\text{Paraules} = VR_{4,3} = 4^3 = 64\]

1.2.2

Tenim un cadenat de 4 rodetes. Si sabem que les dues primeres xifres són 0 i 7, quantes combinacions haurem de provar per obrir-lo?

Les dues primeres posicions estan fixades (0 i 7). Per tant, només ens queda escollir els dígits de les dues últimes rodetes. Com que cada rodeta té 10 dígits possibles (del 0 al 9) i es poden repetir, el càlcul és: \[\text{Combinacions} = VR_{10,2} = 10^2 = 100\]

1.2.3

El sistema actual de matrícules de cotxes identifica cada matrícula amb un nombre de 4 xifres seguit de tres consonants de l’alfabet, amb l’excepció de la lletra Q.

  1. Quantes matrícules diferents es poden fer amb aquest sistema?
  2. Quantes matrícules poden contenir les lletres LBC en aquest ordre?
  3. Quantes matrícules poden contenir exactament una lletra L?
  4. Quantes matrícules poden contenir exactament dues lletres L?
  5. Quantes matrícules poden contenir exactament tres lletres L?
  6. Quantes matrícules poden contenir alguna lletra L?

Nota prèvia: L’alfabet té 26 lletres. Si traiem les 5 vocals i la lletra Q, ens queden exactament \(26 - 5 - 1 = 20\) consonants disponibles.

  • a) Per a les xifres tenim \(VR_{10,4} = 10^4 = 10.000\) opcions. Per a les lletres tenim \(VR_{20,3} = 20^3 = 8.000\) opcions. Combinant-ho tot: \(10^4 \times 20^3 = 80.000.000\) de matrícules.
  • b) Les lletres estan completament fixades (LBC), així que només varien els números: \(10^4 \times 1 = 10.000\) matrícules.
  • c) La lletra L pot anar en 3 posicions diferents (1a, 2a o 3a). Les altres dues posicions de lletres s’han d’omplir amb les 19 consonants restants. Per tant: \(10^4 \times (3 \times 1 \times 19 \times 19) = 10.830.000\) matrícules.
  • d) Triem 2 posicions de les 3 possibles per col·locar les lletres L (hi ha \(\binom{3}{2} = 3\) maneres). La posició restant s’omple amb una de les 19 consonants restants: \(10^4 \times (3 \times 1 \times 1 \times 19) = 570.000\) matrícules.
  • e) Les tres lletres han de ser L (LLL), de manera que només varien els números: \(10^4 \times 1 = 10.000\) matrícules.
  • f) Utilitzem l’esdeveniment complementari. Al total de matrícules li restem aquelles que no tenen cap lletra L (és a dir, on fem servir només les 19 consonants restants): \(80.000.000 - (10^4 \times 19^3) = 80.000.000 - 68.590.000 = 11.410.000\) matrícules.

1.3 Variacions sense repetició

1.3.1

En una competició hi corren 8 atletes. Hi haurà medalla d’or pel primer, de plata pel segon i bronze pel tercer. Quants podis diferents es poden establir?

L’ordre en el podi és important (no és el mateix guanyar l’or que el bronze) i un mateix atleta no pot rebre dues medalles. Es tracta de variacions sense repetició d’8 elements envasats de 3 en 3: \[V_{8,3} = 8 \times 7 \times 6 = 336 \text{ podis diferents}\]

1.3.2

Un equip d’handbol format per 9 jugadors s’ha de repartir la numeració de les samarretes. Hi ha disponibles els números de l’1 al 20 i el porter ha de portar el número 1. De quantes maneres diferents es poden repartir els números de les samarretes?

El porter té el número 1 assignat de forma fixa (1 sola manera). Els 8 jugadors restants s’han de repartir els 19 números que queden disponibles (del 2 al 20) sense repetir-ne cap. Per tant: \[\text{Maneres} = 1 \times V_{19,8} = 19 \times 18 \times 17 \times 16 \times 15 \times 14 \times 13 \times 12 = 3.047.466.240\]

1.4 Permutacions

1.4.1

Calcula: a) \(P_{6}\) b) \(P_{7}\) c) \(P_{5}\) d) \(P_{8}\)

  • a) \(P_6 = 6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720\)
  • b) \(P_7 = 7! = 7 \times 6! = 7 \times 720 = 5.040\)
  • c) \(P_5 = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120\)
  • d) \(P_8 = 8! = 8 \times 7! = 8 \times 5.040 = 40.320\)

1.4.2

De quantes maneres diferents podem col·locar 10 llibres en un prestatge?

Col·loquem i ordenem tots els elements del conjunt (els 10 llibres). Això correspon a les permutacions de 10 elements: \[P_{10} = 10! = 3.628.800 \text{ maneres}\]

1.4.3

De quantes maneres diferents pot quedar ordenada una baralla espanyola de 48 cartes?

Ordenem el conjunt sencer de 48 cartes. El resultat és \(P_{48} = 48!\). Com que és un nombre extremadament gran, el deixem indicat en forma de factorial: \[\text{Ordenacions} = 48!\]

1.5 Combinacions

1.5.1

Calcula: a) \(C_{5}^{3}\) b) \(C_{6}^{2}\) c) \(C_{9}^{4}\) d) \(C_{10}^{3}\)

  • a) \(C_5^3 = \binom{5}{3} = \frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} = 10\)
  • b) \(C_6^2 = \binom{6}{2} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15\)
  • c) \(C_9^4 = \binom{9}{4} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126\)
  • d) \(C_{10}^3 = \binom{10}{3} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120\)

1.5.2

D’una classe de 30 alumnes en volem triar 5. De quantes maneres diferents ho podem fer?

L’ordre en què triem els alumnes no importa (formaran part del mateix grup de representants) i no es poden repetir. Fem servir combinacions sense repetició: \[C_{30,5} = \binom{30}{5} = \frac{30 \times 29 \times 28 \times 27 \times 26}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 142.506 \text{ grups}\]

1.6 Nombres combinatoris

1.6.1

Calcula: a) \(\binom{75}{0}\) b) \(\binom{12}{10}\) c) \(\binom{8}{7}\) d) \(\binom{15}{5}\)

  • a) \(\binom{75}{0} = 1\) (Propietat: Triar zero elements d’un conjunt sempre es pot fer d’una sola manera).
  • b) Per simetria, sabem que \(\binom{12}{10} = \binom{12}{2}\). Per tant: \(\frac{12 \times 11}{2 \times 1} = 66\).
  • c) Per simetria, \(\binom{8}{7} = \binom{8}{1} = 8\).
  • d) \(\binom{15}{5} = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 3.003\).

1.6.2

Comprova les següents igualtats: a) \(\binom{7}{7} = \binom{7}{0}\) b) \(\binom{4}{3} = \binom{4}{1}\) c) \(\binom{8}{3} = \binom{8}{5}\) d) \(\binom{6}{3} = \binom{5}{2} + \binom{5}{3}\)

  • a) \(\binom{7}{7} = 1\) i \(\binom{7}{0} = 1\). Es compleix la igualtat (\(1 = 1\)).
  • b) \(\binom{4}{3} = 4\) i \(\binom{4}{1} = 4\). Es compleix la igualtat (\(4 = 4\)).
  • c) \(\binom{8}{3} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56\) i \(\binom{8}{5} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 56\). Es compleix la igualtat (\(56 = 56\)).
  • d) \(\binom{6}{3} = 20\). D’altra banda, \(\binom{5}{2} = 10\) i \(\binom{5}{3} = 10\). Com que \(10 + 10 = 20\), comprovem la fórmula del Triangle de Pascal.

1.6.3

Unint els punts, quants segments diferents pots dibuixar? I quadrilàters?

NoteExploració Interactiva

Experimenta dinàmicament movent el nombre de punts del polígon a la gràfica interactiva inferior per deduir com creix el nombre de connexions.

<div class="comb-panel">
    <label style="font-weight:bold; color:#2a76dd; display:block; margin-bottom:5px;">Nombre de punts (\(n\)): <span id="txt_punts">6</span></label>
    <input type="range" id="inp_punts" min="3" max="12" step="1" value="6" style="width:100%; margin-bottom: 20px;">
    
    <div style="background: white; padding: 15px; border-radius: 8px; border: 1px solid #d0e1f9; text-align: center;">
        Segments totals \(\binom{n}{2}\):<br>
        <span style="font-size: 1.8em; font-weight: bold; color: #e63946;" id="txt_segments">15</span>
    </div>
</div>
<div class="comb-graph">
    <div id="box_comb" class="jxgbox-comb"></div>
</div>