Funcions: continuïtat

Matemàtiques

Quan una funció NO és contínua?

Definició naïf

Una funció NO és contínua si per algun valor de $x$ hem d'aixecar el llapis del paper en fer-ne la gràfica.

Exemple gràfic

En apropar el valor de $x$ a determinats valors, la seva imatge es comporta "malament":

  • $x=-2$: Asimptòtica
  • $x=1$: Salt
  • $x=3$: Evitable

(Mou el valor de $x$)

Condició de continuïtat

Una funció és contínua en $x=a$ si:

Valors infinitament propers a $x=a$ tenen imatges infinitament properes a $f(a)$.

Matemàticament:

$\lim_{x\to a^-}f(x)=\lim_{x\to a^+}f(x)=f(a)$

Tipus de discontinuïtats

Si falla la condició $$\displaystyle\lim_{x\to a^-}f(x)=\lim_{x\to a^+}=f(a)$$ tenim tres casos:

De salt
Límits diferents
Asimptòtica
Límits infinits
Evitable
Hi ha un "forat"

Límits laterals i Discontinuïtat de Salt

Apropem-nos a $x=a$ per les dues bandes:

  • Pel costat esquerre ($a^-$), la funció tendeix a un valor $L_1$.
  • Pel costat dret ($a^+$), la funció tendeix a un valor $L_2$.

Com que $L_1 \neq L_2$, els camins no es troben i tenim un salt.

Discontinuïtat de Salt

Matemàticament:

$\lim_{x\to a^-}f(x)\neq \lim_{x\to a^+}f(x)$

  • Els límits laterals existeixen (són finits) però són diferents.
  • No ens importa el valor de $f(a)$

Exemple: Discontinuïtat de Salt

$$ f(x)= \begin{cases} x+1 & \text{si } x < 2 \\ x^2 & \text{si } x \ge 2 \end{cases} $$

Esquerra \(x2\)

$$\lim_{x\to 2^-}f(x)=\lim_{x\to 2^-} (x+1) = 3 $$

Dreta (\(x\ge 2\))

$$\lim_{x\to 2^+}f(x)=\lim_{x\to 2^+} (x^2) = 4 $$
$$ \lim_{x\to 2^-}f(x) \neq \lim_{x\to 2^+}f(x) $$

Com que els límits són diferents (i finits), tenim una discontinuïtat de salt.

Discontinuïtat Evitable

Apropem-nos a $x=a$:

  • Pel costat esquerre ($a^-$) tendim a $L$.
  • Pel costat dret ($a^+$) també tendim a $L$.

El límit existeix ($L$), però no coincideix amb la imatge del punt ($f(a)$).

$$ \lim_{x\to a} f(x) \neq f(a) $$

(Mou el lliscador "d" per veure el límit)

Discontinuïtat Evitable

El límit existeix ($\lim_{x\to a} f(x) = L$), però no coincideix amb la imatge o aquesta no existeix.

Condició:

$$ \lim_{x\to a} f(x) \neq f(a) $$

Es pot "evitar" redefinint la funció en el punt $a$:

$$ \tilde{f}(a) = L $$

Exemple: Discontinuïtat Evitable

$$ f(x) = \frac{x^2-9}{x-3} $$
$$ f(3) = \frac{0}{0} \implies \text{No existeix (} 3\notin Dom(f) \text{)} $$
Fatoritzem numerador i denominador: $$ \lim_{x\to 3} \frac{x^2-9}{x-3} = \lim_{x\to 3} \frac{\cancel{(x-3)}(x+3)}{\cancel{(x-3)}}=6$$

Exemple: Discontinuïtat Evitable

El límit existeix, però la imatge no. La versió simplificada és l'extensió contínua de la funció \(f(x)\):

$$\tilde{f}(x)=x+3$$

Discontinuïtat Asimptòtica

Apropem-nos a l'asímptota vertical $x=a$:

  • Si $\lim_{x\to a} f(x) = \pm \infty$, diem que hi ha una discontinuïtat asimptòtica.

En l'exemple:

  • $x \to a^- \implies f(x) \to -\infty$
  • $x \to a^+ \implies f(x) \to +\infty$