Els Vectors al Pla

Un vector $\vec{AB}$ queda determinat per dos punts: l'origen ($A$) i l'extrem ($B$).

El vector $\overrightarrow{AB}=B-A$

(Extrem menys origen)

El mòdul d'un vector $\vec{v}$ és la distància entre l'origen i l'extrem. Es denota com $|\vec{v}|$ o $||\vec{v}||$.

Aplicant el Teorema de Pitàgores: $$ ||\vec{v}|| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} $$

Si multipliquem un vector $\vec{v}$ per un nombre real $k$:

• Si $|k| > 1$, el vector s'allarga.
• Si $0 < |k| < 1$, el vector s'escurça.
• Si $k < 0$, el sentit s'inverteix.

• Situem els vectors amb el mateix origen.
• Tracem paral·leles per formar un paral·lelogram.

El vector suma $\vec{s} = \vec{u} + \vec{v}$ és la diagonal que surt de l'origen comú.

👉 Interacció: Mou el lliscador "Animació" per veure com traslladem els vectors.

• Situem els vectors amb el mateix origen.
• Tracem paral·leles per formar un paral·lelogram.

El vector resta $\vec{r} = \vec{u} - \vec{v}$ s'obté sumant a $\vec{u}$ l'oposat de $\vec{v}$ ($-\vec{v}$).

👉 Interacció: Mou el lliscador "Animació" per veure com traslladem els vectors.

El pendent ($m$) d'un vector ens indica la seva inclinació respecte a l'horitzontal. Es calcula dividint el component vertical pel component horitzontal:

$m = \frac{v_y}{v_x}$

Coincideix amb la tangent de l'angle ($\alpha$) que forma amb l'eix de les abscisses:

$\tan(\alpha) = m \implies \alpha = \arctan(m)$

👉 Interacció: Mou la punta del vector per veure com s'actualitzen el pendent i l'angle.

Tres punts $A$, $B$ i $C$ estan alineats si pertanyen a la mateixa recta.

En termes de vectors, això vol dir que els vectors $\vec{AB}$ i $\vec{AC}$ (o $\vec{BC}$) tenen la mateixa direcció. Per tant, han de tenir el mateix pendent ($m$).

$m_{AB} = m_{AC}$

👉 Interacció: Arrossega els punts $A$, $B$ i $C$. Observa el valor del pendent que estan alineats.

Tenim el segment definit per $A$ i $B$.

Escalem el vector $\vec{AB}$ a la meitat i el situem sortint del punt $A$:

$$M=A+\dfrac{1}{2}\vec{AB}=\dfrac{A+B}{2}$$

1. Col·loca el vector verd sortint del punt $A$
2. Escala el vector $\vec{AB}$ a la meitat ($k=0.5$)

Donat un vector $\vec{v} = (v_x, v_y)$, podem trobar els seus simètrics respecte als eixos de coordenades.