La divisió
Del repartiment intuïtiu a l’algorisme clàssic
Introducció
Aquesta pàgina està pensada sobretot per al professorat i per a qui vulgui entendre millor com es pot construir la idea de divisió. Primer hi trobareu una breu explicació de les idees matemàtiques i didàctiques que donen sentit a l’algorisme clàssic. Després venen tres activitats interactives per fer amb l’alumnat, ordenades de manera progressiva: des del repartiment més intuïtiu fins a la divisió escrita.
Dividir no és recordar una successió de passos. És entendre una pregunta molt simple:
quantes vegades podem repartir o agrupar una quantitat, i què ens queda quan ja no podem continuar?
En aquestes activitats no començarem per l’algorisme escrit. Començarem repartint, agrupant i canviant centenes per desenes i desenes per unitats.
Quocient i residu: una idea molt antiga
Quan dividim un nombre (a) entre un nombre (b), busquem dos nombres, el quocient (q) i el residu (r), de manera que \[ a=bq+r,\qquad 0\le r<b. \]
Aquesta és la idea de la divisió euclidiana: el quocient indica quantes vegades podem prendre el divisor i el residu és allò que queda.
Als Elements, Euclides no descriu l’algorisme de divisió que fem servir avui. No podia fer-ho: el nostre procediment depèn del sistema de numeració decimal posicional, desenvolupat molts segles més tard. Sí que hi trobem, però, la idea fonamental de treure repetidament una quantitat d’una altra i continuar treballant amb el que queda, idea que apareix en el seu procediment per calcular el màxim comú divisor.
El problema no és l’algorisme
L’algorisme tradicional pot resultar incomprensible si es presenta com una recepta:
“mira quantes vegades hi cap, multiplica, resta i baixa la xifra següent”.
Però això no significa que l’algorisme sigui dolent. El que cal és entendre què significa cadascun dels passos.
Quan “baixem una xifra”, per exemple, no fem aparèixer màgicament un nombre al costat d’un altre: estem canviant d’unitat dins del sistema decimal.
Comprensió i eficiència
Els repartiments, les descomposicions i els quocients parcials poden ser molt útils per construir significat.
Però una estratègia d’aprenentatge no ha de ser necessàriament el final del camí.
L’algorisme clàssic aprofita el sistema decimal posicional i permet fer de manera sistemàtica i eficient el mateix raonament que abans hem fet amb material, agrupaments i descomposicions.
Entendre un algorisme no implica renunciar-hi. Al contrari: entendre’l permet veure per què és tan eficient.
Exemple breu
\[ 314\div7 \]
De centenes a desenes. 3 centenes no es poden repartir entre 7. Les convertim en 30 desenes i hi afegim la desena que ja tenim: 31 desenes.
\[ 31=7\cdot4+3 \]
De desenes a unitats. Les 3 desenes sobrants es converteixen en 30 unitats i hi afegim 4:
\[ 34=7\cdot4+6. \]
Per tant:
\[ 314=7\cdot44+6. \]
Això és tot el que fa l’algorisme tradicional. Només que ho escriu de manera molt compacta.
Abans de començar
Aquesta animació mostra de manera contínua el procés que treballarem en les activitats següents.
Activitats
1 · Sense comptar
Repartir abans de calcular
Comencem per la idea més intuïtiva de divisió: fer parts iguals.
2 · Repartiment
Fer visible el procés
Repartim els objectes i observem què significa que tots rebin la mateixa quantitat.
3 · Inversió del producte
Del sistema decimal a l’algorisme
Agrupem en centenes, desenes i unitats, transformem els residus i acabem construint la divisió clàssica.
← Tornar als recursos de Primària
:::