Graus en Enginyeria Química i en
Enginyeria en Organització Industrial i Logística
Albert Granados
Universitat de Lleida - Campus Igualada
Una aplicació $f: E \to F$ és lineal si respecta l'estructura vectorial. La primera condició és l'Additivitat:
Geomètricament: La imatge del paral·lelogram format per $\vec{u}$ i $\vec{v}$ a l'espai $E$ es transforma en el paral·lelogram de les imatges a l'espai $F$.
La segona condició indispensable és l'Homogeneïtat:
Geomètricament: Si estires, encongeixes o inverteixes un vector per un factor $\alpha$ a l'espai $E$, la seva imatge a $F$ pateix exactament el mateix efecte.
Mou el lliscador $\alpha$ per veure la proporcionalitat.
Proposició: Sigui $f \in \mathcal{L}(E,F)$. Aleshores es compleixen les següents propietats:
$\text{Nuc}(f) = \{ \vec{u} \in E \mid f(\vec{u}) = \vec{0}_F \}$
Intuïció Geomètrica:
Són aquells vectors de l'espai d'entrada que "s'aixafen" o "col·lapsen" a l'origen en aplicar la transformació.
Càlcul del nucli:
Cal resoldre l'equació:
$f(\vec{u}) = \vec{0}_F$
Mou el vector $\vec{u}$ cap a la línia discontínua vermella.
$\text{Im}(f) = \{ \vec{v} \in F \mid \exists \vec{u} \in E \text{ on } f(\vec{u}) = \vec{v} \}$
Intuïció Geomètrica:
És la "zona d'abast" de la funció. Si la funció perd informació (té Nucli), l'espai d'arribada no s'omple completament, sinó que queda restringit a una recta o un pla.
Mou $\vec{u}$ lliurement. Podràs treure la seva imatge de la línia blava?
Experimenta:
Trobeu el nucli i la imatge de les següents aplicacions lineals:
Què observes?
Modifica les fórmules i mou el vector $\vec{u}$.
Fes servir els lliscadors inferiors per controlar el vector amb precisió.
Si t'apropes al Nucli vermell, el vector s'hi enganxarà!
Espai $F$ ($\mathbb{R}^2$). On va a parar la imatge?
Per comprovar que el $\text{Nuc}(f)$ és un subespai de $E$, hem de veure que és tancat per la suma i pel producte per un escalar:
Siguin $\vec{u}, \vec{v} \in \text{Nuc}(f)$. Llavors $f(\vec{u}) = \vec{0}_F$ i $f(\vec{v}) = \vec{0}_F$.
$f(\vec{u} + \vec{v}) = f(\vec{u}) + f(\vec{v}) = \vec{0}_F + \vec{0}_F = \vec{0}_F$
Per tant, $\vec{u} + \vec{v}$ també pertany al Nucli.
Sigui $\vec{u} \in \text{Nuc}(f)$ i $\alpha \in \mathbb{R}$. Llavors $f(\vec{u}) = \vec{0}_F$.
$f(\alpha\vec{u}) = \alpha f(\vec{u}) = \alpha \cdot \vec{0}_F = \vec{0}_F$
Per tant, $\alpha\vec{u}$ també pertany al Nucli.
Comprova-ho: La recta rosada té un efecte magnètic. Treu els vectors d'allà i torna'ls a apropar per veure com col·lapsen la suma i l'escalar!
Mou els vectors lliurement i apropa'ls al Nucli.
Per comprovar que $\text{Im}(f)$ és un subespai de $F$, verifiquem que és tancat per la suma i l'escalar agafant vectors de la Imatge:
Siguin $\vec{w}_1, \vec{w}_2 \in \text{Im}(f)$. Llavors existeixen $\vec{u}, \vec{v} \in E$ (les seves antiimatges) tals que $f(\vec{u}) = \vec{w}_1$ i $f(\vec{v}) = \vec{w}_2$.
$\vec{w}_1 + \vec{w}_2 = f(\vec{u}) + f(\vec{v}) = f(\vec{u} + \vec{v})$
Com que $\vec{u}+\vec{v} \in E$, la suma $\vec{w}_1+\vec{w}_2$ també prové d'un vector d'origen i, per tant, pertany a la Imatge.
Sigui $\vec{w} \in \text{Im}(f)$ i $\alpha \in \mathbb{R}$. Llavors existeix $\vec{u} \in E$ tal que $f(\vec{u}) = \vec{w}$.
$\alpha \vec{w} = \alpha f(\vec{u}) = f(\alpha\vec{u})$
Com que $\alpha\vec{u} \in E$, el vector $\alpha\vec{w}$ també té un origen i pertany a la Imatge.
Comprova-ho: Mou $\vec{w}_1$ i $\vec{w}_2$ a l'espai d'arribada $F$. L'ordinador buscarà automàticament quines antiimatges $\vec{u}$ i $\vec{v}$ els corresponen. Funciona la suma?
Mou els vectors de la dreta o canvia $\alpha$.
Una aplicació $f: E \to F$ és injectiva si vectors diferents de $E$ tenen imatges diferents a $F$. Mai dues fletxes van a parar al mateix lloc.
Condició clau:
$\text{Nuc}(f) = \{\vec{0}_E\}$
Una aplicació $f: E \to F$ és exhaustiva si "omple" tot l'espai d'arribada. Qualsevol vector de $F$ prové d'almenys un vector de $E$.
Condició clau:
$\text{Im}(f) = F$
💡 Si una aplicació és, alhora, injectiva i exhaustiva, s'anomena Bijectiva.
L'aplicació lineal $f$ pot ser:
| (i) | Monomorfisme | injectiva. |
| (ii) | Epimorfisme | exhaustiva. |
| (iii) | Isomorfisme | bijectiva (injectiva i exhaustiva). |
| (iv) | Endomorfisme |
$E = F$ (Es denota $f \in \text{End}(E)$). |
| (v) | Automorfisme |
$E = F$ isomorfisme. |
Proposició
Sigui $f\in\mathcal{L}(E,F)$ i $\{\vec{v_1},...,\vec{v_n}\}$ una base de $E$. Aleshores:
Es defineix el rang de $f$ com $\text{rang}(f) = \dim(\text{Im} f)$.
Base de $E$: vectors independents $\vec{v_1}$ i $\vec{v_2}$.
Espai $F$: MOU $f(\vec{v_1})$ i $f(\vec{v_2})$ per alterar el rang!
Teorema de les Dimensions
Sigui $f\in\mathcal{L}(E,F)$. Aquest teorema ens assegura que la dimensió de l'espai de sortida sempre es reparteix entre el Nucli i la Imatge:
Espai $E$ ($\dim = 2$). Si la imatge cau, neix el Nucli (vermell).
Espai $F$. Arrossega $f(\vec{v_1})$ sobre $f(\vec{v_2})$ per veure-ho!
Teorema de les Dimensions: $\dim E = \dim \text{Ker}(f) + \dim \text{Im}(f)$
Com que $\text{dim}(F)=2$, la Imatge com a màxim té dimensió 2. Per tant, sempre existirà un Nucli (mínim dimensió 1)!
Espai $E=\mathbb{R}^3$. Gira l'espai per veure el Nucli (recta o pla).
Espai $F=\mathbb{R}^2$. Arrossega les 3 imatges de la base per alinear-les!
$A=(a_{ij})\in\mathcal{M}_{m\times n}$ és l'anomenada matriu associada a $f$ en les bases $\mathcal{B}_{1}$ i $\mathcal{B}_{2}$.
Arrossega el vector $\vec{x}$ (blau).
Vector $f(\vec{x})$ i columnes de $A$ (gris).
Defineix l'expressió de l'aplicació lineal $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ modificant la seva matriu associada:
$f(x, y) = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$
| $a:$ | $b:$ |
| $c:$ | $d:$ |
Què passa si...
Modifica la matriu i mou el vector $\vec{u}$ lliurement.
Matriu Associada $A$
Visualització geomètrica
Com canvia la matriu $A$ si canviem les bases dels espais?
Context inicial:
Siguin $B, B'$ bases de l'espai $E$ (domini), i $C, C'$ bases de l'espai $F$ (codomini).
Coneixem la matriu $A$ que treballa en les bases antigues $(B, C)$.
Opció 1: Recórrer el diagrama
Podem moure'ns entre les bases que ja coneixem:
Opció 2: La drecera ($A'$)
Calculem una sola matriu que faci els tres passos de cop:
$A' = M_{C' \to C}^{-1} \cdot A \cdot M_{B' \to B}$
És el mètode més ràpid per a càlculs repetitius.
Compara el "camí llarg" (vermell) amb la "drecera" (verd).
En robòtica i aeronàutica convivim constantment amb dos espais:
El Problema: L'efecte del vent
Imagina que bufa un vent constant cap a l'Est. En la base Global ($B$), aquesta pertorbació és una matriu $A$ molt senzilla de descriure.
Però l'ordinador de vol del dron només entén el seu propi sistema de coordenades ($B'$).
La Solució: El Canvi de Base
Per saber com l'afectarà el vent, el dron calcula la pertorbació en la seva base local ($A'$):
$A' = M_{\theta}^{-1} \cdot A \cdot M_{\theta}$
On $M_{\theta}$ és la matriu de rotació que depèn de l'angle cap on mira.
Gira el dron per veure com canvia la seva base respecte al món.
En robòtica, l'orientació de l'eina final es descriu mitjançant angles d'Euler:
La matriu de l'eina en la base de la fàbrica ($A$) s'obté a partir de la matriu local ($A'$) mitjançant:
$A = R \cdot A' \cdot R^{-1}$
On $R$ és la matriu de rotació (canvi de base).
Per què és útil?
Permet que el programador de l'algoritme treballi en coordenades locals (molt simples) i que el robot tradueixi automàticament els moviments a l'espai real de treball.
La matriu de rotació R connecta els eixos grisos amb els blaus.