Tema 4

Diagonalització

Graus en Enginyeria Química i en
Enginyeria en Organització Industrial i Logística

Albert Granados

Universitat de Lleida - Campus Igualada

Què és un Vector Propi?

Definició Formal:

Sigui $f: E \to E$ un endomorfisme (aplicació lineal d'un espai en ell mateix). Un vector no nul $\vec{v} \in E$ és un vector propi (o eigenvector) de $f$ si existeix un escalar $\lambda \in \mathbb{R}$ tal que:

$$f(\vec{v}) = \lambda \vec{v}$$
  • L'escalar $\lambda$ s'anomena valor propi (o eigenvalue) associat al vector $\vec{v}$.
  • Geomètricament: La transformació $f$ actua sobre $\vec{v}$ només estirant-lo, encollint-lo o canviant-li el sentit, però mai canvia la seva direcció.

Caçant Vectors Propis a $\mathbb{R}^2$

Considerem l'aplicació lineal definida per la matriu:

$$ A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} $$

El vector blau és $\vec{v}$ i el vermell és $A\vec{v}$ (la seva imatge).

El repte:

Mou l'extrem del vector blau girant-lo al voltant de l'origen. Observa com es mou la imatge. Trobes algun moment on els dos vectors quedin completament alineats?

Mou el vector blau per començar.

Càlcul de Valors Propis

1. El sistema homogeni

Busquem vectors no nuls ($\vec{v} \neq \vec{0}$) que compleixin l'equació de definició:

$$ (A - \lambda I)\vec{v} = \vec{0} $$

Això és un sistema d'equacions lineals homogeni on la matriu de coeficients és $(A - \lambda I)$.

2. Condició d'existència i definició

Un sistema homogeni té solucions no trivials si i només si és Compatible Indeterminat (SCI).

Això ens obliga a que el determinant sigui nul:

$\det(A - \lambda I) = 0$

Aquesta expressió és una equació per a l'incògnita $\lambda$, que anomenem equació característica.

Definició: El polinomi $p(\lambda) = \det(A - \lambda I)$ és el polinomi característic de la matriu $A$.

Exemple: Per a $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$:

$p(\lambda) = \det \begin{pmatrix} 2-\lambda & 1 \\ 1 & 2-\lambda \end{pmatrix} = \lambda^2 - 4\lambda + 3$

Les arrels de $p(\lambda) = 0$ son els valors propis: $\lambda_1 = 3, \lambda_2 = 1$.

Visualització de $(A - \lambda I)$. L'àrea representa el determinant.

El Teorema de Cayley-Hamilton

Enunciat:

Sigui $A$ una matriu quadrada d'ordre $n$ i sigui $p(\lambda) = \det(A - \lambda I)$ el seu polinomi característic.

El teorema afirma que la matriu $A$ és una arrel del seu propi polinomi:

$p(A) = \mathbf{0}$

Nota: El resultat és la matriu nul·la de l'ordre corresponent.

Què ens diu aquest resultat?

Si el polinomi característic és:

$p(\lambda) = (-1)^n \lambda^n + a_{n-1}\lambda^{n-1} + \dots + a_1 \lambda + a_0$

Llavors, en substituir $\lambda$ per la matriu $A$ (i el terme independent $a_0$ per $a_0 I$):

$(-1)^n A^n + a_{n-1}A^{n-1} + \dots + a_1 A + a_0 I = \mathbf{0}$

Aplicacions principals:

  • Càlcul de la inversa ($A^{-1}$): Podem aïllar la matriu identitat $I$ i multiplicar tota l'equació per $A^{-1}$.
  • Càlcul de potències ($A^k$): Permet expressar qualsevol potència de la matriu com una combinació lineal de $\{I, A, A^2, \dots, A^{n-1}\}$.

Exemple: Cayley-Hamilton

Enunciat: Sigui $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$.
a) Comproveu el Teorema de Cayley-Hamilton.
b) Calculeu $A^{-1}$ i $A^4$ com a combinació lineal de $A$ i $I$.

1. Càlcul del polinomi característic:

L'obtenim resolent $p(\lambda) = \det(A - \lambda I)$:

$$ p(\lambda) = \begin{vmatrix} 1-\lambda & -1 \\ 2 & 3-\lambda \end{vmatrix} = (1-\lambda)(3-\lambda) + 2 $$

$p(\lambda) = \lambda^2 - 4\lambda + 3 + 2 = \mathbf{\lambda^2 - 4\lambda + 5}$

a) Verificació de $p(A) = A^2 - 4A + 5I = \mathbf{0}$

$A^2 = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix} -1 & -4 \\ 8 & 7 \end{pmatrix}$
$4A = \begin{pmatrix} 4 & -4 \\ 8 & 12 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} -1 & -4 \\ 8 & 7 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 & -4 \\ 8 & 12 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix} = \mathbf{\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}}$
📌 $p(\lambda) = \lambda^2 - 4\lambda + 5 \implies A^2 - 4A + 5I = \mathbf{0}$

b.1) Càlcul de la inversa ($A^{-1}$):

Aïllem el terme independent i multipliquem per $A^{-1}$:

$5I = 4A - A^2 \implies 5A^{-1} = 4I - A$

$A^{-1} = \frac{1}{5}(4I - A) = \mathbf{\begin{pmatrix} 3/5 & 1/5 \\ -2/5 & 1/5 \end{pmatrix}}$

📌 $A^2 = 4A - 5I$ (reducció de grau)

b.2) Càlcul de la potència ($A^4$):

Elevem l'expressió del grau 2 al quadrat:

$A^4 = (4A - 5I)^2 = 16A^2 - 40A + 25I$

Substituïm de nou $A^2$ per $(4A - 5I)$:

$16(4A - 5I) - 40A + 25I = 64A - 80I - 40A + 25I$
$A^4 = 24A - 55I$

Càlcul de Vectors Propis

El subespai propi $E_\lambda$

Busquem vectors $\vec{v} \neq \vec{0}$ tals que $A\vec{v} = \lambda_1 \vec{v}$. Això equival a trobar el nucli de la matriu $(A - \lambda_1 I)$:

$$ (A - \lambda_1 I)\vec{v} = \vec{0} $$

Geomètricament, busquem les direccions que no canvien després de l'aplicació, només s'estiren o s'encolleixen.

Exemple: $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ amb $\lambda_1 = 3$.

Resolem $(A - 3I)\vec{v} = \vec{0}$:

$$ \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \implies y = x $$

Subespai propi: $E_3 = \langle (1, 1) \rangle$.

👉 Observa: quan $\vec{v}$ (blau) cau sobre la recta, la seva imatge $A\vec{v}$ (vermell) és exactament el triple.

En blau $\vec{v}$, en vermell la seva imatge $A\vec{v}$.
Sobre la recta $E_3$, es compleix $A\vec{v} = 3\vec{v}$.

Condicions de Diagonalització

Les dues claus del problema:

  • Multiplicitat Algebraica ($m_a$): Quantes vegades apareix $\lambda$ com a arrel del polinomi característic.
  • Multiplicitat Geomètrica ($m_g$): La dimensió del subespai propi associat $E_\lambda$. $$ m_g(\lambda) = \dim(\text{Nuc}(A - \lambda I)) = n - \text{rang}(A - \lambda I) $$

Teorema de Diagonalització

Una matriu $A \in M_{n \times n}(\mathbb{R})$ és diagonalitzable si i només si:

  1. Tots els valors propis són reals (totes les arrels de $p(\lambda)$ estan a $\mathbb{R}$).
  2. Per a cada valor propi, les multiplicitats coincideixen:
    $m_a(\lambda_i) = m_g(\lambda_i)$
💡 Recordatori: Sempre es compleix que $1 \le m_g(\lambda) \le m_a(\lambda)$.

Visualització de $m_g$ com a dimensió del Kernel.
Si la matriu "esclafa" l'espai a una línia, $m_g = 1$. Si és un punt, $m_g = 2$.

Construcció de $P$ i $D$

Dades obtingudes: Per a $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$, tenim:
$\lambda_1 = 3 \to \vec{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \quad | \quad \lambda_2 = 1 \to \vec{v}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$

1. La Matriu Diagonal ($D$) en base de veps

Conté els valors propis a la diagonal principal. L'ordre és lliure, però marcarà l'ordre de $P$.

$D = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix} = \mathbf{\begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}}$

2. La Matriu de canvi de base $P$

Conté els vectors propis com a columnes, respectant el mateix ordre que a $D$. Passa de vase vep's a canònica.

$P = (\vec{v}_1 | \vec{v}_2) = \mathbf{\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}}$

3. La Descomposició

Si $A$ és diagonalitzable, es compleix que:

$$A = P \cdot D \cdot P^{-1}$$ $$D=P^{-1}AP$$

Això significa que aplicar $A$ és el mateix que canviar de base ($P^{-1}$), escalar ($D$) i tornar a la base original ($P$).

Visualització de la base de vectors propis (blau i verd).
La transformació $A$ estira l'espai seguint aquestes direccions.

Quan falla la diagonalització?

Exemple: Analitzem la matriu $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$. És diagonalitzable?

1. Valors propis i multiplicitat algebraica ($m_a$)

El polinomi característic és immediat (matriu triangular):

$p(\lambda) = (2-\lambda)^2(1-\lambda) = 0$
  • $\lambda_1 = 1 \implies \mathbf{m_a(1) = 1}$ (simple)
  • $\lambda_2 = 2 \implies \mathbf{m_a(2) = 2}$ (doble)

2. Multiplicitat geomètrica ($m_g$) per a $\lambda = 2$:

Calculem la dimensió del nucli de $(A - 2I)$:

$A - 2I = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \implies \text{rang} = 2$

Per tant: $m_g = n - \text{rang} = 3 - 2 = \mathbf{1}$

$m_g < m_a \implies \text{NO és diagonalitzable}$

Què ha passat?

Perquè una matriu sigui diagonalitzable, necessitem una base de vectors propis. En aquest cas:

  • Per $\lambda=1$ tenim 1 direcció pròpia.
  • Per $\lambda=2$ només en tenim 1 (ens en faltaria una altra per arribar a les 2 que demana la multiplicitat algebraica).

No tenim prou "eixos" per construir la matriu de pas $P$.

Aplicació: Potències de matrius $A^n$

El problema: Calcular $A^{100}$ directament és inviable.

Si $A = PDP^{-1}$, llavors:

$A^2 = (PDP^{-1})(PDP^{-1}) = PD(P^{-1}P)DP^{-1} = \mathbf{PD^2P^{-1}}$

Per inducció, obtenim la fórmula general:

$A^n = P \cdot D^n \cdot P^{-1}$

L'avantatge de $D$:

Elevar una matriu diagonal a la $n$ és trivial:

$D^n = \begin{pmatrix} \lambda_1^n & 0 \\ 0 & \lambda_2^n \end{pmatrix}$

Això permet calcular potències gegants amb només dues multiplicacions de matrius.

Evolució de $\vec{v}_{n+1} = A \vec{v}_n$.
Observa com el vector s'alinea amb el valor propi dominant.

Successions Recurrents Lineals

Definició:

Una relació de recurrència lineal d'ordre $k$ expressa el terme $a_{n+k}$ com a combinació lineal dels $k$ termes anteriors:

$a_{n+k} = c_{k-1} a_{n+k-1} + \dots + c_0 a_n$

Per resoldre-la completament, necessitem conèixer els valors inicials ($a_0, a_1, \dots$).

Exemple: Progressió Geomètrica

Considerem: $a_{n+1} = 2 a_n$ amb $a_0 = 3$.

  • $a_1 = 2 \cdot 3 = 6$
  • $a_2 = 2 \cdot 6 = 12$
  • $a_3 = 2 \cdot 12 = 24$

És fàcil veure que el terme general és:

$a_n = 3 \cdot 2^n$

Fixeu-vos: la solució depèn d'una potència (com les matrius diagonalitzables!).

El Repte: La Successió de Fibonacci

Definida per Leonardo de Pisa al s. XIII:

$F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$

Amb valors inicials: $F_0 = 0, F_1 = 1$.

Definim el vector $\vec{X}_n = \begin{pmatrix} F_{n+1} \\ F_n \end{pmatrix}$. Llavors:

$\begin{pmatrix} F_{n+2} \\ F_{n+1} \end{pmatrix} = \underbrace{\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}}_{A} \begin{pmatrix} F_{n+1} \\ F_n \end{pmatrix}$

$\vec{X}_{n+1} = A \vec{X}_n \implies \vec{X}_n = A^n \vec{X}_0$

Creixement de la successió i el nombre d'or $\phi$.

Fibonacci: Resolució Completa

Enunciat: Trobeu el terme general de $F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$ (amb $F_0=0, F_1=1$) diagonalitzant $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$.

1. Valors Propis (Equació Característica):

Resolem $p(\lambda) = \det(A - \lambda I) = \lambda^2 - \lambda - 1 = 0$. Les arrels són:

$\lambda_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \equiv \Phi$
$\lambda_2 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \equiv \Psi$

Aquests valors defineixen la matriu diagonal: $D = \begin{pmatrix} \Phi & 0 \\ 0 & \Psi \end{pmatrix}$.

📌 Recordatori: $\lambda^2 - \lambda - 1 = 0 \implies \lambda - 1 = -1/\lambda$

2. Vectors propis (veps) i Matriu de Pas:

De $(A-\lambda I)\vec{v} = \vec{0}$ obtenim $x - \lambda y = 0 \implies x = \lambda y$. Triem $y=1$:

$\vec{v}_1 = \begin{pmatrix} \Phi \\ 1 \end{pmatrix}$
$\vec{v}_2 = \begin{pmatrix} \Psi \\ 1 \end{pmatrix}$

Matriu de pas: $P = \begin{pmatrix} \Phi & \Psi \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$

📌 $\det(P) = \Phi - \Psi = \sqrt{5}$

3. Inversió i canvi de base de $\vec{X}_0$:

Calculem $P^{-1}$ i l'apliquem al vector d'estat inicial $\vec{X}_0 = (F_1, F_0)^T = (1, 0)^T$:

$P^{-1} \vec{X}_0 = \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix} 1 & -\Psi \\ -1 & \Phi \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \mathbf{\frac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}}$

Això ens diu com es reparteixen les condicions inicials entre els dos valors propis.

📌 $\vec{X}_n = P D^n (P^{-1} \vec{X}_0)$

4. Resultat Final: Fórmula de Binet

$\begin{pmatrix} F_{n+1} \\ F_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \Phi & \Psi \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \Phi^n & 0 \\ 0 & \Psi^n \end{pmatrix} \left[ \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \right] = \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix} \Phi & \Psi \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \Phi^n \\ -\Psi^n \end{pmatrix}$

Multiplicant la segona fila obtenim el terme general de Fibonacci:

$$ F_n = \frac{\Phi^n - \Psi^n}{\sqrt{5}} $$

Com funciona Google? (PageRank)

Escenari: Tenim una xarxa de 3 pàgines web enllaçades. Volem determinar quina és la més "important" basant-nos en el trànsit que rep.

1. La Matriu de Transició ($M$):

Analitzem el graf de la dreta. Cada columna de $M$ mostra com una pàgina reparteix el seu "vost" entre les altres:

  • P1 enllaça P2 i P3 (1/2 cada una)
  • P2 enllaça P3 (tot a P3)
  • P3 enllaça P1 (tot a P1)
$$ M = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0.5 & 0 & 0 \\ 0.5 & 1 & 0 \end{pmatrix} $$

Nota: Totes les columnes sumen 1 (probabilitat total).

2. L'Objectiu: L'Estat Estacionari

Volem trobar la probabilitat $\vec{v}$ d'estar a cada pàgina a llarg termini. Busquem un estat d'equilibri que no canviï en navegar:

$M\vec{v} = \vec{v} \iff (M - I)\vec{v} = \vec{0}$

Això equival a calcular el vector propi associat a $\lambda=1$.

📌 Busquem el nucli de $(M - I)$

3. Resolució del sistema:

$\begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 0.5 & -1 & 0 \\ 0.5 & 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

D'aquí obtenim que: $x_1 = x_3$ i $x_2 = 0.5 x_1$.

El subespai propi és: $E_1 = \langle (1, \,\, 0.5, \,\, 1)^T \rangle$.

4. Resultat: El Rànquing de Google

Si normalitzem el vector perquè la suma de probabilitats sigui 1 ($x_1 + x_2 + x_3 = 1$):

$\vec{v} = \begin{pmatrix} 0.4 \\ 0.2 \\ 0.4 \end{pmatrix}$

PageRank: P1 (40%), P3 (40%) i P2 (20%).
Google mostrarà primer les pàgines 1 i 3!

Nodes: Pàgines web. Fleixes: Enllaços.
La mida del node reflecteix el seu PageRank final.