Volem trobar la projecció ortogonal del vector $\color{#2a76dd}{\vec{v}}$ sobre el vector $\color{#e63946}{\vec{u}}$.
$$ \color{#8e44ad}{\text{proj}_{\vec{u}}\vec{v}} $$
El vector $\color{#8e44ad}{\text{proj}_{\vec{u}}\vec{v}}$ és la millor aproximació de $\color{#2a76dd}{\vec{v}}$ en la direcció de $\color{#e63946}{\vec{u}}$.
Definició geomètrica: vector $\color{#8e44ad}{\text{proj}_{\vec{u}}\vec{v}}$
1. Escalat del vector base
Els vectors $\color{#8e44ad}{\text{proj}_{\vec{u}}\vec{v}}$ i $\color{#e63946}{\vec{u}}$ tenen la mateixa direcció. Per tant:
$$ \color{#8e44ad}{\text{proj}_{\vec{u}}\vec{v}} = \color{#8e44ad}{\lambda} \cdot \color{#e63946}{\vec{u}} $$
Sabem que: $\color{#8e44ad}{\text{proj}_{\vec{u}}\vec{v}} = \color{#8e44ad}{\lambda} \cdot \color{#e63946}{\vec{u}}$
2. Relació trigonomètrica
En el triangle rectangle, la base equival a la hipotenusa pel cosinus de l'angle $\color{#2a9d8f}{\theta}$:
$$ |\color{#8e44ad}{\lambda}| \cdot ||\color{#e63946}{\vec{u}}|| = ||\color{#2a76dd}{\vec{v}}|| \cdot |\cos(\color{#2a9d8f}{\theta})| $$
Sabem que: $|\color{#8e44ad}{\lambda}| \cdot ||\color{#e63946}{\vec{u}}|| = ||\color{#2a76dd}{\vec{v}}|| \cdot |\cos(\color{#2a9d8f}{\theta})|$
3. Aïllem l'escalar $\lambda$
Passem el mòdul dividint i retirem els valors absoluts (ja que $\lambda$ i $\cos(\theta)$ sempre tenen el mateix signe):
$$ \color{#8e44ad}{\lambda} = \frac{||\color{#2a76dd}{\vec{v}}|| \cdot \cos(\color{#2a9d8f}{\theta})}{||\color{#e63946}{\vec{u}}||} $$
Hem trobat: $\color{#8e44ad}{\lambda} = \frac{||\color{#2a76dd}{\vec{v}}|| \cdot \cos(\color{#2a9d8f}{\theta})}{||\color{#e63946}{\vec{u}}||}$
4. Substituïm la $\lambda$
Recuperem la fórmula inicial del pas 1 i hi substituïm el valor de $\lambda$ acabat de trobar:
$$ \color{#8e44ad}{\text{proj}_{\vec{u}}\vec{v}} = \left( \frac{||\color{#2a76dd}{\vec{v}}|| \cdot \cos(\color{#2a9d8f}{\theta})}{||\color{#e63946}{\vec{u}}||} \right) \cdot \color{#e63946}{\vec{u}} $$
Sabem que: $\color{#8e44ad}{\text{proj}_{\vec{u}}\vec{v}} = \left( \frac{||\color{#2a76dd}{\vec{v}}|| \cdot \cos(\color{#2a9d8f}{\theta})}{||\color{#e63946}{\vec{u}}||} \right) \cdot \color{#e63946}{\vec{u}}$
5. Multipliquem per $||\vec{u}||$
Multipliquem el numerador i el denominador de la fracció pel mòdul del vector $\color{#e63946}{\vec{u}}$:
$$ \color{#8e44ad}{\text{proj}_{\vec{u}}\vec{v}} = \frac{||\color{#e63946}{\vec{u}}|| \cdot ||\color{#2a76dd}{\vec{v}}|| \cdot \cos(\color{#2a9d8f}{\theta})}{||\color{#e63946}{\vec{u}}||^2} \cdot \color{#e63946}{\vec{u}} $$
Numerador: $||\color{#e63946}{\vec{u}}|| \cdot ||\color{#2a76dd}{\vec{v}}|| \cdot \cos(\color{#2a9d8f}{\theta})$
6. El Producte Escalar
El numerador que ens ha quedat és exactament la definició del producte escalar. Substituïm i llestos!
$$ \color{#8e44ad}{\text{proj}_{\vec{u}}\vec{v}} = \frac{\color{#e63946}{\vec{u}} \cdot \color{#2a76dd}{\vec{v}}}{||\color{#e63946}{\vec{u}}||^2} \, \color{#e63946}{\vec{u}} $$