Formació d'Aprofundiment en Probabilitat per a Professorat
Distribució de les alçades d'una població:
1. Mida de la mostra (N): Augmenta els individus per a tenir dades més representatives.
2. Amplada de l'interval (w): Fes més estretes les classes per afinar el detall i evitar la pèrdua d'informació.
Densitat de probabilitat
Formes, equacions i aplicacions
La forma de la campana depèn de dos valors:
Paràmetres del lot
$X \sim N(\mu, \sigma)$
La probabilitat es defineix com l'àrea sota la corba de densitat.
Prem la fletxa DRETA (→) per descobrir les propietats.
1. El mur de la integració
La funció de densitat de la Normal no té una primitiva elemental. Això vol dir que no podem aplicar la famosa Regla de Barrow per calcular-ne l'àrea a mà:
2. La solució (i el seu defecte)
Com que no es pot resoldre analíticament, es va recórrer a mètodes numèrics per calcular les àrees i imprimir-les en taules de probabilitat.
Però atenció: tenim infinites combinacions de $\mu$ i $\sigma$...
Necessitaríem infinites taules per cobrir tots els casos!
3. La Clau Universal
La solució brillant va ser imprimir una única taula per a la distribució més senzilla de totes: la Normal Estàndard.
Qualsevol altra distribució $X$ haurà de patir una translació i un escalat (tipificar-se) per poder entrar a la taula.
Cerca de la probabilitat acumulada $P(Z \le z)$
Com utilitzar la Taula Estàndard
Hi ha infinites distribucions normals, però només tenim una taula de probabilitats: la de la Normal Estàndard $N(0,1)$.
Per poder utilitzar-la amb qualsevol distribució $N(\mu, \sigma)$, hem de tipificar la variable.
Prem la fletxa DRETA (→) per descobrir els passos.
La despesa d'un turista a Barcelona segueix una distribució Normal amb $\mu = 180€$ i $\sigma = 30€$.
Prem la fletxa DRETA (→) per començar.
Per poder fer servir la taula $N(0,1)$, transformem la variable:
Tipificació: $Z = (X - 180) / 30$
$$P(X < 200) = P\left(Z < \frac{200 - 180}{30}\right)$$
$$= P(Z < 0.67)$$
Busquem $z=0.67$ directament a la taula:
$$P(X > 220) = P\left(Z > \frac{220 - 180}{30}\right)$$
$$= P(Z > 1.33)$$
Apliquem el complementari:
$$1 - P(Z \le 1.33) = 1 - 0.9082$$
$$P(180 < X < 210) $$
$$= P\left(0 < Z < \frac{210-180}{30}\right)$$
$$P(0 < Z < 1) = P(Z < 1) - P(Z < 0)$$
$$P(X < 150) = P\left(Z < \frac{150 - 180}{30}\right) $$
$$ = P(Z < -1)$$
Per simetria, l'àrea a l'esquerra d'un negatiu és igual a l'àrea a la dreta del positiu:
$$P(Z < -1) = P(Z > 1) $$
$$=1 - P(Z \le 1)$$
La suma de variables independents
1. Un sol dau (Uniforme)
Si tirem un dau clàssic perfecte, tots els valors de l'1 al 6 tenen exactament la mateixa probabilitat de sortir ($1/6 \approx 16.6\%$). No hi ha cap mena de campana, només un bloc recte.
2. Sumant DOS daus
Què passa si sumem la puntuació de dos daus independents? Obtenim una distribució triangular!
Només hi ha una manera de treure un 2 (1+1), però n'hi ha moltes de treure un 7 (1+6, 2+5, 3+4...). El centre comença a guanyar pes respecte els extrems.
3. Més daus, menys extrems
Puja la $n$ a 3 o més daus. T'adones com s'arrodoneix la part superior?
Aconseguir la màxima puntuació sumant molts daus és extremadament rar (cal treure molts 6 seguits). Irremeiablement, la majoria de sumes compensen els atzars i cauen pel bell mig de la distribució.
4. La Distribució Normal
Aquest és l'esperit del Teorema Central del Límit. Sigui quina sigui la distribució original d'una variable, si en sumes prou quantitat de forma independent, el resultat s'acosta a la perfecció a la Distribució Normal.
5. On és el centre? ($\mu_s$)
La mitjana de la suma és molt intuïtiva: si de mitjana un dau dóna $3.5$, tirar $n$ daus donarà, de mitjana, $n$ vegades $3.5$. Les mitjanes se sumen!
6. Què passa amb la dispersió? ($\sigma_s$)
Com que els daus són independents, la dispersió no creix tan de pressa com la mitjana (els errors per excés i per defecte es compensen). En estadísitica, les variàncies se sumen, per tant la desviació típica només creix segons l'arrel de $n$.
La independència com a perpendicularitat
1. Variables a l'espai $L^2$
En probabilitat, una variable aleatòria $X$ centrada és un vector geomètriquíssim. La seva desviació típica ($\sigma_X$) n'és exactament la longitud o norma, definida per l'arrel de la integral del seu quadrat:
2. Producte Escalar = Covariància
En aquest espai, el producte escalar de dos vectors ve donat per l'esperança del seu producte. Si les variables estan centrades, això és exactament la Covariància:
3. El Teorema del Cosinus
Recordem que $\langle X, Y \rangle = \|X\|\|Y\|\cos(\theta)$. Llavors, la correlació $r$ és exactament el cosinus de l'angle! Per trobar la longitud de la suma $X+Y$ (la diagonal), fem servir el Teorema del Cosinus:
4. La Independència Ortogonal
Llisca la correlació cap a $0$. Si dues variables són independents, el seu producte escalar s'anul·la. La geometria ho deixa clar: vectors sense correlació viuen a $90^\circ$ l'un de l'altre.
5. Pitàgores a l'Estadística
I què passa quan l'angle és recte? El Teorema del Cosinus perd el seu terme d'ajust i col·lapsa en la forma més icònica de les matemàtiques: el Teorema de Pitàgores.
El secret de la independència geomètrica
1. El parany lineal
La intuïció ens enganya: pensem que si sumem $n$ daus, el "desordre" o dispersió total s'hauria de multiplicar per $n$. Però això només passaria si els daus estiguessin completament sincronitzats!
2. Independència = Ortogonalitat
Com que els daus són completament independents, els seus errors sovint es cancel·len entre si.
Geomètricament, l'estadística representa les variables independents com a forces que estiren en direccions perpendiculars ($90^\circ$).
3. Pitàgores a l'Estadística
Si la segona variable s'afegeix en perpendicular, la desviació total no és la suma directa, sinó la hipotenusa (Pitàgores)!
Per això diem que les variàncies ($\sigma^2$) se sumen, però les desviacions ($\sigma$) no!
4. L'Espiral de Teodor
Així doncs, cada vegada que sumem una nova variable, li afegim un catet de mida $\sigma$ perpendicular a la hipotenusa anterior.
El resultat és la bellíssima Espiral de Teodor, on la dispersió final creix amb la relentitzadora arrel quadrada de $n$.
Fins ara mesuràvem variables contínues (pes, alçada...).
Ara passem a l'estadística de comptar èxits.
1. L'Experiment de Bernoulli
És l'experiment aleatori més senzill que existeix: aquell on només hi ha dos resultats possibles i excloents.
2. L'exemple i la mostra ($n$)
En unes eleccions, aturar a 1 persona per preguntar si ha votat la candidata és un exp. de Bernoulli (Ex: Èxit $\implies p=0.4$).
3. La gran pregunta
Si $x$ és el nombre d'èxits...
Volem calcular la probabilitat d'obtenir exactament $k$ èxits en $n$ experiments.
$P(X = k) = ?$
Anem a construir la fórmula pas a pas.
1. Quantes combinacions possibles hi ha?
Els $k$ èxits poden aparèixer en qualsevol ordre al llarg dels $n$ experiments. Per comptar totes les maneres d'escollir $k$ posicions d'un total de $n$ (sense que n'importi l'ordre), fem servir el nombre combinatori:
2. La probabilitat de cada camí
A cada combinació concreta, l'èxit ($p$) es repeteix $k$ vegades, i el fracàs ($q$) es repeteix la resta de vegades ($n - k$). Com que són experiments independents, les probabilitats es multipliquen:
3. La Fórmula Definitiva
Si multipliquem els camins possibles per la probabilitat de cadascun d'ells, obtenim la funció de probabilitat de la distribució Binomial.
Context del problema
El 10% dels telèfons d'un cert model s'espatllen durant el període de garantia. D'aquests, el 70% es pot reparar i, la resta, s'ha de canviar. Una empresa compra 20 telèfons mòbils d'aquest model. La probabilitat que un s'hagi de canviar és $p=0.1\cdot 0.3=0.03$ (i $q=0.97$).
$x \sim B(20 \, , \, 0.03)$
1. Cas puntual: $P(x=5)$
Quina probabilitat hi ha que s'hagin de canviar exactament 5 telèfons?
$P(x = 5) \approx 0.00015$
Nota: Com que la $p$ és molt petita, és molt difícil que n'hi hagi 5 de defectuosos.
2. Escenaris múltiples: $P(x=1 \text{ o } 2)$
Quina probabilitat hi ha que n'haguem de canviar un o dos?
$\approx 0.3364 + 0.0988 = \mathbf{0.4352}$
3. Més dificultat: "Com a mínim dos" ($x \ge 2$)
Calcular $P(x=2) + P(x=3) + \dots + P(x=20)$ és massa llarg. Fem servir el contrari:
$1 - (0.5438 + 0.3364) = \mathbf{0.1198}$
1. Naturalesa Discreta
La variable només pot prendre valors enters ($x = 0, 1, 2 \dots$).
Si preguntem a 20 persones, no en podem trobar "2,5" que votin un candidat. Per això el gràfic està fet de barres separades.
2. La Mitjana o Esperança ($\mu$)
És el "centre" del gràfic. Indica quants èxits esperem aconseguir de mitjana.
3. La Desviació Típica ($\sigma$)
Mesura l'amplada i la dispersió de les probabilitats respecte al valor central.
1. La incertesa d'una sola persona ($p \cdot q$)
Matemàticament, la mesura d'incertesa (variància) d'un experiment de Bernoulli és la multiplicació de $p$ i $q$. Per què?
2. Variància de la suma
Com hem vist abans: si sumem experiments independents, les seves variàncies se sumen.
Si enquestem a $n$ persones, la variància total de la mostra serà sumar $p \cdot q$ un total de $n$ vegades:
3. Retorn a les unitats reals ($\sigma$)
Com que la variància està elevada al quadrat (ens donaria "vots al quadrat" o "persones al quadrat"), hem de fer l'arrel quadrada per trobar la desviació típica i parlar en unitats normals.
1. El límit de la calculadora
Quan $n$ és molt gran, els càlculs es fan inviables perquè els nombres es fan enormes ($\binom{1000}{300}$ no es pot fer).
2. Aproximació per una normal
Comprova-ho al gràfic de la dreta: a mesura que puges la $n$, els rectangles es fusionen i dibuixen una campana de Gauss gairebé perfecta.
3. La Regla d'Aproximació
Si es compleix que $n \ge 30$, podem abandonar l'estadística discreta i utilitzar directament la distribució Normal:
4. La Correcció de Yates
Per calcular $P(X \le k)$, fixa't al gràfic on acaba la barra de $k$. Com que té amplada 1, físicament s'estén fins a $k + 0.5$!
Només importa la n?
Als llibres sovint hi diu que podem aproximar la Binomial a la Normal només si $n \ge 30$.
Però, què passa si la probabilitat d'èxit és molt petita o molt gran? Prova de baixar la $p$ a 0.05 al gràfic de la dreta i observa què li passa a la "campana".
El Mur de la Binomial
La Binomial no pot tenir valors inferiors a $0$ ni superiors a $n$.
Si $p$ és molt extrema, la mitjana $\mu = n \cdot p$ queda massa a prop del límit. La campana xoca contra el mur i queda deformada (asimètrica), fent que l'aproximació sigui invàlida per molt gran que sigui la $n$.
El Criteri de De Moivre-Laplace
Per assegurar-nos que la campana cau prou lluny dels murs i és ben simètrica, exigim que compleixi estrictament aquestes tres condicions: