Formació d'Aprofundiment en Probabilitat per a Professorat
Què sabem de nosaltres?
Si recollim informació de tota la classe fent un "retrat" estadístic, ens trobarem amb diferents tipus de dades.
Anem a veure'n tres exemples clars a través d'algunes preguntes.
1. Variables Qualitatives
"Com heu vingut avui a l'institut?"
Les respostes són categories o qualitats (caminant, cotxe, bus, patinet...).
No podem fer-ne una mitjana aritmètica perquè no té sentit sumar "cotxe" amb "caminant".
2. Quantitatives Discretes
"Quants dispositius amb pantalla teniu a casa?"
Les dades prenen valors numèrics aïllats (enters: 1, 2...).
Com que no hi ha valors intermedis (ningú té 2,5 telèfons), els alumnes s'apilen exactament a la mateixa vertical formant un diagrama de punts.
3. Quantitatives Contínues
"Quant heu trigat, en minuts, a arribar?"
Poden prendre qualsevol valor decimal (12.4, 5.82...).
Són inmanejables crus: si ens hi fixem, els números es trepitgen caòticament. Per veure-hi alguna forma, els hem d'agrupar en intervals formant un Histograma.
Quants intervals fem?
L'amplada de l'interval (la caixa) depèn de quantes dades tinguem i què vulguem ensenyar.
Si fem pocs intervals, perdem molta informació (tot queda agrupat). Si en fem massa, tornem al caos original perquè moltes caixes quedaran buides.
La Marca de Classe ($x_i$)
Si tenim les dades en intervals, com calculem la mitjana aritmètica? Quin número multipliquem?
Escollim el punt mitjà de cada interval. Obliguem a tots els valors d'aquella capsa a perdre la seva identitat original i assumir el valor central com a "representant".
En estadística no hi ha una veritat absoluta, però utilitzem tres grans criteris per triar l'amplada de les "caixes":
És el mètode més directe. Ideal per a inicis i mostres petites.
Simplement fem l'arrel de la mida de la mostra ($n$) i arrodonim a l'alça.
L'estàndard als fulls de càlcul (Excel, Calc...). Assumeix que les dades tenen una distribució normal.
Funciona molt bé per a mostres de menys de 200 dades.
En lloc del nombre d'intervals, calcula l'amplada òptima ($W$) usant el Rang Interquartílic (IQR).
Com que ignora els valors extrems (outliers), és la més estable.
Com resumim la informació d'una mostra abans de treure'n conclusions?
2. Mesures de Centralització
El valor de la variable que té la freqüència absoluta més gran (el que més es repeteix). Pot haver-hi mostres amb més d'una moda.
El repartiment equitatiu ideal. Si ajuntéssim totes les dades i les repartíssim a parts iguals. És el valor que minimitza els errors globals de la mostra, però és molt sensible als valors atípics.
És el centre posicional. Un cop ordenades les dades de menor a major, és el valor central que deixa el 50% de la mostra a cada banda.
La Mitjana ($\bar{x}$) com a centre de masses
La mitjana aritmètica actua literalment com el fulcre (el triangle de suport) d'un balancí físic.
Ha d'estar just al lloc exacte on els "pesos" (les dades) queden en equilibri perfecte per compensar els moments de força.
👉 Agafa el triangle vermell i intenta equilibrar la palanca a mà!
La Mediana ($M_e$) com a centre posicional
A diferència de la mitjana, la mediana no pateix per la "força" numèrica, només li importa deixar la meitat de punts a cada banda.
Això la converteix en un estadístic extremadament robust. Arrossega un punt cap al 20 creant un valor atípic (outlier). La línia blava ni s'immuta!
| Interval | $x_i$ | $n_i$ | $f_i$ | $N_i$ | $F_i$ | $x_i \cdot n_i$ | Acum. |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| TOTAL | 40 | 1.000 | 1410 | ||||
| Interval | $x_i$ | $n_i$ | $f_i$ | $N_i$ | $F_i$ | $x_i n_i$ | $\Sigma(x_i n_i)$ | $n_i(x_i - \bar{x})^2$ | $\Sigma$ Var. |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Total | 40 | 1.000 | 1430 | 11117.5 | |||||
Mostra total (N): 0 alumnes
Ens fixem en dues variables alhora. Hem enquestat $N = 100$ alumnes sobre el seu hàbit d'estudi i si han aprovat o suspès l'examen.
Quina proporció del total d'alumnes pertany a cada casella? Dividim cada freqüència absoluta entre $N$.
La suma de totes les $f_{ij}$ sempre és $1$.
Què passa si "ignorem" temporalment una de les variables i mirem només els totals de les files o les columnes?
Aquesta és la clau de tot. Ens pregunten: "Dels que sabem que ESTUDIEN, quina proporció aprova?"
Ara el nostre "nou univers" ja no són $N=100$, sinó només els $65$ que estudien. Canviem el denominador!
Si les variables fossin independents, el fet d'estudiar no hauria d'alterar la nostra probabilitat d'aprovar respecte a la mitjana global.
Com que $0.92 \neq 0.75$, concloem que les variables són DEPENDENTS.
Generalitzant el que acabem de veure, dues variables estadístiques són independents si la freqüència condicionada és igual a la freqüència marginal.
Podem reescriure l'expressió anterior utilitzant la definició de freqüència condicionada que ja coneixem:
Si tenim dues variables $(X, Y)$, el primer que fem és buscar on està el centre del núvol calculant la mitjana de $X$ i la de $Y$.
Ara mirem cada punt. Multipliquem la seva distància horitzontal per la vertical respecte a les mitjanes.
Si sumem tots aquests productes i fem la mitjana, obtenim la covariància. Ens indica cap a on "tira" la relació global.
Canvia el signe movent els punts cap als quadrants verds o vermells:
Problema: la covariància depèn de les unitats. Per saber com de forta és la línia, la dividim per les desviacions típiques.
Aquesta divisió ho estandarditza tot, obligant al valor resultant $r$ a viure sempre en l'interval $\mathbf{[-1, 1]}$.
Alinea els punts en una diagonal per intentar arribar a $+1$ o $-1$.
En probabilitat contínua (espai $L_2$), la covariància és un producte escalar definit per una integral:
En una mostra de $N$ dades, cada punt té una probabilitat $p = \frac{1}{N}$. La integral es converteix exactament en un producte escalar a $\mathbb{R}^N$:
Imagina que restem la mitjana a totes les dades i en formem dos grans vectors de $N$ dimensions:
Llavors, les fórmules estadístiques són purs conceptes geomètrics:
Substituïm els conceptes geomètrics dins la fórmula de Pearson:
Dues variables són independents (incorrelades) quan els seus vectors a $\mathbb{R}^N$ són Ortogonals ($\theta = 90^\circ$).
Com que sabem que hi ha una relació entre l'estudi ($X$) i la nota ($Y$), volem traçar una línia recta que resumeixi la tendència del núvol per fer prediccions.
Si utilitzem la línia taronja com a predicció, cometem un error per a cada punt real. Aquest error vertical s'anomena residu.
Hi ha errors positius i negatius. Si els suméssim directament, es cancel·larien enganyant-nos!
Per evitar cancel·lacions de signes, elevem els residus al quadrat. Geomètricament, això és dibuixar quadrats.
MOU ELS PUNTS TARONGES: Intenta fer que l'àrea total sigui mínima!
Fent ús del càlcul (derivades), podem trobar matemàticament la recta exacta que fa que l'àrea total d'aquests quadrats sigui la mínima possible.
Aquesta recta verda compleix dues lleis:
Volem minimitzar la suma dels errors al quadrat respecte al pendent ($m$) i l'ordenada ($b$).
Per trobar el mínim de la funció, igualem les seves dues derivades parcials a zero:
Agafem la derivada respecte a $b$, dividim per $-2$ a banda i banda i separem els sumatoris:
Aïllem la $b$ i dividim tota l'expressió entre el nombre de dades $N$:
Agafem la derivada respecte a $m$, dividim per $-2$ i hi substituïm la $b$ que acabem de trobar:
Agrupem els termes que porten la lletra $y$ i els que porten la $x$:
Passem el bloc de la $m$ a l'altra banda de la igualtat per deixar-lo sol:
Unint els dos resultats, l'algorisme de Mínims Quadrats ens demostra que l'única recta $\hat{Y} = mX + b$ que minimitza l'error de predicció està definida per:
En l'espai $L_2$, les nostres variables són vectors. Qualsevol línia de predicció $\hat{Y} = b + mX$ no és més que una combinació lineal dels vectors $\vec{1}$ (vector constant) i $\vec{X}$. Això forma un pla (subespai vectoral).
La distància més curta cap al pla és la línia perpendicular. Per tant, l'error $\vec{e} = \vec{Y} - \hat{Y}$ ha de ser ortogonal (perpendicular) a tots els vectors del pla.
Si imposem que l'error $\vec{e} = Y - (mX + b)$ sigui ortogonal al vector $\vec{1}$:
El producte escalar contra $1$ equival a calcular l'Esperança $\mathbb{E}[...]$ (la mitjana):
Màgia! La primera condició d'ortogonalitat ens demostra que la recta sempre ha de passar pel centre de gravetat $(\bar{x}, \bar{y})$.
Ara imposem que l'error sigui ortogonal a $\vec{X}$. Fent servir les variables ja centrades ($x_i - \bar{x}$):
Repartint el producte escalar obtenim directament les fórmules de la Covariància i la Variància!
Enquestem 5 alumnes per veure la relació entre l'ús de TikTok ($X$) i les hores que dormen ($Y$).
| Alumne | A | B | C | D | E |
|---|---|---|---|---|---|
| TikTok (X) | 1h | 2h | 3h | 4h | 5h |
| Son (Y) | 8h | 7.5h | 6.5h | 6h | 5h |
Primer busquem el centre de gravetat de la classe, calculant la mitjana de cada variable:
Com que volem predir el son segons TikTok, necessitem la dispersió de l'eix X respecte a la seva mitjana ($\bar{x} = 3$):
Multipliquem les distàncies de X i Y per a cada alumne i en fem la mitjana:
Substituïm els valors a les fórmules del pendent ($m$) i l'ordenada ($b$):
De vegades, la naturalesa no segueix línies rectes. Si intentem fer una regressió lineal (línia blava) sobre dades que fan corba (com un llançament parabòlic), cometem un error enorme.
Per adaptar-nos a la corba, afegim el quadrat de $X$ al nostre model:
Alerta! Això segueix sent una "Regressió Lineal". La corba és doblegada en l'espai de les dades (x), però els paràmetres ($a, b, c$) només se sumen i es multipliquen per constants. Hem passat de projectar a $\{1, X\}$ a projectar al subespai 3D $\{1, X, X^2\}$.
Fes de "minimitziador humà"! Utilitza els lliscadors de l'esquerra per modificar els paràmetres de la paràbola i intenta aconseguir un error més baix que el de la recta.
De la mateixa manera que derivàvem abans, igualar les derivades parcials respecte a $a$, $b$ i $c$ a zero ens genera un sistema de 3 equacions lineals.
L'ordinador l'acaba de resoldre per trobar el mínim matemàtic absolut: