Formació d'Aprofundiment en Estadística per a Professorat
La forma de la campana depèn de dos valors:
$X \sim N(\mu, \sigma)$
La probabilitat es defineix com l'àrea sota la corba de densitat.
Prem la fletxa DRETA (→) per descobrir les propietats.
Cerca de la probabilitat acumulada $P(Z \le z)$
Com utilitzar la Taula Estàndard
Hi ha infinites distribucions normals, però només tenim una taula de probabilitats: la de la Normal Estàndard $N(0,1)$.
Per poder utilitzar-la amb qualsevol distribució $N(\mu, \sigma)$, hem de tipificar la variable.
Prem la fletxa DRETA (→) per descobrir els passos.
La suma de variables independents
1. Un sol dau (Uniforme)
Si tirem un dau clàssic perfecte, tots els valors de l'1 al 6 tenen exactament la mateixa probabilitat de sortir ($1/6 \approx 16.6\%$). No hi ha cap mena de campana, només un bloc recte.
2. Sumant DOS daus
Què passa si sumem la puntuació de dos daus independents? Obtenim una distribució triangular!
Només hi ha una manera de treure un 2 (1+1), però n'hi ha moltes de treure un 7 (1+6, 2+5, 3+4...). El centre comença a guanyar pes respecte els extrems.
3. Més daus, menys extrems
Puja la $n$ a 3 o més daus. T'adones com s'arrodoneix la part superior?
Aconseguir la màxima puntuació sumant molts daus és extremadament rar (cal treure molts 6 seguits). Irremeiablement, la majoria de sumes compensen els atzars i cauen pel bell mig de la distribució.
4. La Distribució Normal
Aquest és l'esperit del Teorema Central del Límit. Sigui quina sigui la distribució original d'una variable, si en sumes prou quantitat de forma independent, el resultat s'acosta a la perfecció a la Distribució Normal.
5. On és el centre? ($\mu_s$)
La mitjana de la suma és molt intuïtiva: si de mitjana un dau dóna $3.5$, tirar $n$ daus donarà, de mitjana, $n$ vegades $3.5$. Les mitjanes se sumen!
6. Què passa amb la dispersió? ($\sigma_s$)
Com que els daus són independents, la dispersió no creix tan de pressa com la mitjana (els errors per excés i per defecte es compensen). En estadísitica, les variàncies se sumen, per tant la desviació típica només creix segons l'arrel de $n$.
Fins ara mesuràvem variables contínues (pes, alçada...).
Ara passem a l'estadística de comptar èxits.
1. L'Experiment de Bernoulli
És l'experiment aleatori més senzill que existeix: aquell on només hi ha dos resultats possibles i excloents.
2. L'exemple i la mostra ($n$)
En unes eleccions, aturar a 1 persona per preguntar si ha votat la candidata és un exp. de Bernoulli (Ex: Èxit $\implies p=0.4$).
3. La gran pregunta
Si $x$ és el nombre d'èxits...
Volem calcular la probabilitat d'obtenir exactament $k$ èxits en $n$ experiments.
$P(X = k) = ?$
Anem a construir la fórmula pas a pas.
1. Quantes combinacions possibles hi ha?
Els $k$ èxits poden aparèixer en qualsevol ordre al llarg dels $n$ experiments. Per comptar totes les maneres d'escollir $k$ posicions d'un total de $n$ (sense que n'importi l'ordre), fem servir el nombre combinatori:
2. La probabilitat de cada camí
A cada combinació concreta, l'èxit ($p$) es repeteix $k$ vegades, i el fracàs ($q$) es repeteix la resta de vegades ($n - k$). Com que són experiments independents, les probabilitats es multipliquen:
3. La Fórmula Definitiva
Si multipliquem els camins possibles per la probabilitat de cadascun d'ells, obtenim la funció de probabilitat de la distribució Binomial.
1. Naturalesa Discreta
La variable només pot prendre valors enters ($x = 0, 1, 2 \dots$).
Si preguntem a 20 persones, no en podem trobar "2,5" que votin un candidat. Per això el gràfic està fet de barres separades.
2. La Mitjana o Esperança ($\mu$)
És el "centre" del gràfic. Indica quants èxits esperem aconseguir de mitjana.
3. La Desviació Típica ($\sigma$)
Mesura l'amplada i la dispersió de les probabilitats respecte al valor central.
1. El límit de la calculadora
Quan $n$ és molt gran, els càlculs es fan inviables perquè els nombres es fan enormes ($\binom{1000}{300}$ no es pot fer).
2. Aproximació per una normal
Comprova-ho al gràfic de la dreta: a mesura que puges la $n$, els rectangles es fusionen i dibuixen una campana de Gauss gairebé perfecta.
3. La Regla d'Aproximació
Si es compleix que $n \ge 30$, podem abandonar l'estadística discreta i utilitzar directament la distribució Normal:
4. La Correcció de Yates
Per calcular $P(X \le k)$, fixa't al gràfic on acaba la barra de $k$. Com que té amplada 1, físicament s'estén fins a $k + 0.5$!
1. La Població
És el conjunt total d'individus que volem estudiar (ex: tots els cotxes del país).
2. La Mostra
Com que no podem mesurar a tothom, agafem un subgrup representatiu i a l'atzar.
3. L'Estadística Inferencial
El nostre objectiu és fer servir les dades de la mostra ($\bar{x}, s$) per deduir els valors de la població ($\mu, \sigma$).
Prem el botó per veure com cada mostra dóna una $\bar{x}$ lleugerament diferent!
1. L'estimació de paràmetres
A la vida real no coneixem la mitjana ($\mu$) ni la desviació típica ($\sigma$) de la població. Cal estimar-les mitjançant mostres:
Mitjana mostral:
$\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n}$
Desviació típica mostral:
$s = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n-1}}$
Aquests valors són la nostra única eina per conèixer la població.
2. El Dilema
La mitjana que hem calculat, és realment la mitjana real? Fins a quin punt hi podem confiar?
La mitjana mostral és una variable aleatòria: si canviem la mostra (agafant uns altres 10 individus), el valor de $\bar{x}$ serà diferent.
Necessitem saber com es distribueixen aquestes mitjanes.
3. Teorema Central del Límit
Encara que cada mostra doni una $\bar{x}$ diferent, el conjunt de totes les mitjanes segueix una llei sorprenent:
Això ens diu que la mitjana de les mostres estarà centrada en la real, però amb una dispersió molt menor ($\sigma/\sqrt{n}$).
Ens diu que si sumem $N$ variables aleatòries independents:
aquesta suma tendeix a una Normal.
La mitjana mostral ($\bar{X}$) no és res més que la suma de totes les variables multiplicada per una constant: $\frac{1}{N}$.
Ara només hem d'aplicar les propietats de com les constants afecten l'Esperança i la Variància!
Quan multipliquem una variable per una constant $C$, l'esperança queda multiplicada per aquesta constant directament ($E[C \cdot X] = C \cdot E[X]$).
Conclusió: La campana de les mitjanes està centrada exactament al mateix lloc que la població original!
En multiplicar per una constant, la variància queda multiplicada per la constant AL QUADRAT $$Var(C \cdot X) = C^2 \cdot Var(X)$$
Per tant:La mitjana mostral tendeix a una normal d'esperança $\mu$ i desviació típica $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$:
La gran pregunta
Agafem una mostra i calculem:
$\bar{x} = 140$
La resposta
Gairebé cap seguretat.
Com vam veure, la probabilitat d'encertar un punt exacte en una variable contínua és sempre 0.
1. La Confiança i el Risc ($\alpha$)
Definim primer el Nivell de Confiança (ex. 95%), que és l'àrea central.
El risc d'equivocar-nos s'anomena Nivell de Significació ($\alpha$):
2. La simetria ($\alpha/2$)
Ens podem equivocar per excés (dreta) o per defecte (esquerra).
Repartim el risc ($\alpha$) a les dues cues de la campana:
$\frac{\alpha}{2} = \frac{0.05}{2}$
$= 0.025 \text{ (2.5%)}$
Això deixa un "marge d'error" idèntic a cada costat.
3. El valor crític ($z_{\alpha/2}$)
Per trobar la frontera a la taula, sumem l'àrea central i la cua esquerra:
A la taula, $0.9750 \implies z = 1.96$
Aquest "multiplicador" determinarà l'amplada exacta del nostre interval.
4. Desfent la tipificació
Ja sabem que la probabilitat de caure al centre és $1-\alpha$:
Substituïm la fòrmula de la tipificació $Z = \frac{\bar{x} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}$:
Si multipliquem tot per $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ i sumem $\bar{x}$, aïllem la $\mu$ real:
5. L'Interval de Confiança
Ajuntant la nostra mitjana mostral ($\bar{x}$) i el marge d'error, la "xarxa" final es construeix així:
Els valors clàssics del multiplicador de confiança són:
| Confiança | Risc ($\alpha$) | $z_{\alpha/2}$ |
|---|---|---|
| 90% | 0.10 | 1.645 |
| 95% | 0.05 | 1.96 |
| 99% | 0.01 | 2.575 |
Fins ara hem assumit que coneixíem la $\sigma$ de la població, però a la realitat gairebé mai és així.
Tenim 3 escenaris possibles.
1. Població Normal i $\sigma$ coneguda
Estem a l'escenari ideal! La distribució de les mitjanes també serà exactament normal. Podem aplicar la fórmula per a qualsevol mida de mostra ($n$).
2. Població NO Normal i $\sigma$ coneguda
Què passa si la població no és normal? El Teorema Central del Límit ens salva... però només si la mostra és gran ($n \ge 30$). Farem servir la mateixa fórmula.
3. Realitat ($\sigma$ desconeguda)
A la vida real gairebé mai tenim la $\sigma$. L'hem d'estimar fent servir la desviació de la mostra ($s$). Per fer aquest canvi d'incògnita, la regla de $n \ge 30$ és obligatòria.
Taula de decisions (Resum definitiu):
1. Recollida de dades
Llegim l'enunciat i identifiquem les variables de la mostra i de la població:
L'error estàndard serà:
$\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{30}{\sqrt{49}} = \frac{30}{7} \approx 4.28 \text{ km}$
2. Estructura de l'Interval
Sabem que la mitjana real $\mu$ estarà al voltant de 140, amb un marge d'error $E$:
Aquest error es calcula amb el valor crític de la taula ($z_{\alpha/2}$):
3. Nivell de Confiança: 95%
Per un 95%, $1-\alpha = 0.95$. Mirant la taula normal, $z_{\alpha/2} = 1.96$.
Calculem l'error:
4. Nivell de Confiança: 99%
Volem estar més segurs. Per a 99%, $z_{\alpha/2} = 2.575$.
El marge d'error creix:
Més seguretat implica un interval més ample (menys precisió).
1. Què és la proporció mostral?
En lloc de comptar quants "SÍ" tenim ($x$), calculem quin percentatge representen sobre el total ($n$):
2. Aproximació a la Normal
Si $n \ge 30$, la proporció mostral també segueix una distribució Normal, però ara centrada en la probabilitat real $p$.
3. Efecte de la mida ($n$)
Fixa't en el gràfic: com més gran és la mostra ($n$), més petita és la desviació típica.
Això significa que, amb mostres grans, la proporció que mesurem serà molt més precisa i propera a la realitat.
Imagina que preguntem a $N$ persones si compraran un joc. Assignem un $\mathbf{1}$ a qui diu "Sí" (Èxit) i un $\mathbf{0}$ a qui diu "No" (Fracàs). Què passa si calculem la mitjana d'aquestes respostes?
Si la proporció real de la població és $p$, les propietats estadístiques d'una sola persona (que només pot respondre 1 o 0) estan definides pel model de Bernoulli:
En substituir $\mu = p$ i $\sigma^2 = pq$, neix de forma natural la fórmula de la proporció, sense haver de memoritzar res nou:
Ja podem construir tots els Intervals de Confiança per una proporció.
L'Enunciat
En unes eleccions a l'alcaldia d'un municipi un candidat va obtenir el 54% dels vots.
Trobeu la probabilitat que, en una mostra de 200 votants escollits a l'atzar, obtingués majoria absoluta.
1. Comprovació i Model Normal
Com que $n = 200 \ge 30$, podem utilitzar la distribució Normal per a la proporció mostral $\hat{p}$:
$\hat{p} \sim N(0.54 \, , \, 0.035)$
2. Plantejament i Tipificació
Per obtenir majoria absoluta, la proporció de la mostra ha de superar el 50% ($\hat{p}>0.5$). Tipifiquem a $Z$:
3. Càlcul Final
Per buscar un valor de "més gran que un negatiu", fem servir la simetria de la campana de Gauss:
La probabilitat d'obtenir majoria absoluta és del 87,29%.
1. Aproximació per la normal
Acabem de veure que, si la mostra és prou gran ($n \ge 30$), la proporció mostral $\hat{p}$ es comporta com una distribució Normal:
2. Aplicar el que ja sabem
Com que és una Normal, podem aplicar exactament la mateixa lògica que fèiem servir per a les mitjanes.
Amb un nivell de confiança $1 - \alpha$, sabem que el valor real de la població ($p$) caurà a una certa distància (marge d'error) de la nostra $\hat{p}$, marcada pel valor crític $z_{\alpha/2}$.
3. La Fórmula de l'Interval (teòric!)
Substituint la $\sigma$ per la fórmula de la desviació típica de la proporció, obtenim l'interval on es troba la proporció poblacional $p$:
Per calcular el marge d'error d'un Interval de Confiança necessitem la variància real. La fòrmula ens demana la proporció vertadera de la població ($p$):
Paradoxa: Si sabéssim la $p$ real, no ens faria cap falta calcular un interval per intentar endevinar-la! Com ho solucionem?
A la pràctica, fem un "salt de fe". Substituïm la $p$ real (que no tenim) per la nostra $\hat{p}$ de la mostra:
Això genera un error de càlcul? Sí.
Però l'estadística (Teorema de Slutsky) ens garanteix que si la $N$ és gran, la $\hat{p}$ s'assemblarà tant a $p$ que l'error serà insignificant i tot seguirà sent Normal!
La paràbola $p(1-p)$ és molt plana a prop del seu vèrtex ($p=0.5$), per tant, canvia molt a poc a poc:
Equivocar-se un 10% en la proporció només provoca un 4% d'error en la variància! Per això aquesta trampa funciona tan bé a la vida real.
Gràcies a aquesta aproximació, ja podem construir el nostre interval. Agafem la proporció de la mostra ($\hat{p}$) i hi sumem i restem el marge d'error calculat:
Aquesta fòrmula "clàssica" que ensenyem al batxillerat només és vàlida si tenim moltes dades. No es pot fer servir mai si:
*En aquests casos extrems, s'utilitza una equació de segon grau anomenada "Interval de Wilson" per no haver de substituir la p!
L'Enunciat
Per estudiar el percentatge de peces defectuoses en una cadena de producció, s'analitza una mostra aleatòria de 100 peces i s'observa que dues són defectuoses.
Calcula un interval de confiança del 95% per a la proporció poblacional. (Feu servir que $P(-1.96 < Z < 1.96) = 0.95$).
1. Preparació de les Dades
Primer, calculem la proporció de la mostra ($\hat{p}$) i el seu contrari ($\hat{q}$):
I identifiquem el valor crític per a una confiança del 95%:
2. Aplicació de la Fórmula
Substituïm els valors a l'estructura de l'Interval de Confiança:
3. Resultat i Interpretació
Fent els càlculs obtenim matemàticament l'interval $[-0.0074 \, , \, 0.0474]$.
⚠️ Atenció: Una proporció (un percentatge) mai pot ser negativa! Per tant, hem de truncar el límit inferior a zero.
El percentatge de peces defectuoses de tota la fàbrica es troba entre el 0% i el 4,74%.
Estudi de Mitjanes
1. Variable de la població:
2. Distribució de la mitjana ($\bar{x}$):
3. Interval de Confiança:
Estudi de Proporcions
1. Variable de la població:
2. Distribució de la proporció ($\hat{p}$):
3. Interval de Confiança: