Formació d'Aprofundiment en Probabilitat per a Professorat
"Déu no juega als daus amb l'univers."
— Albert Einstein
Durant segles hem cregut en un univers predictible: si coneguéssim la posició i velocitat de cada partícula, el futur seria cert.
L'atzar seria només la nostra ignorància sobre les condicions inicials (com el llançament d'un dau clàssic).
La física moderna (Bell, Aspect) va demostrar que la natura, en el seu nivell més fonamental, és intrínsecament aleatòria.
No és que ens falti informació; és que el resultat no està escrit enlloc fins que es mesura.
Per tant, la probabilitat deixa de ser un simple pegat per a la nostra ignorància humana.
Esquema de The BIG Bell Test (Novembre 2016)
Per comprovar les desigualtats de Bell, calia decidir com mesurar les partícules de forma totalment aleatòria i a l'instant.
Si es feia amb màquines, quedava un dubte teòric: i si la màquina no era atzarosa sinó que obeïa a les "variables ocultes" d'Einstein?
L'any 2016, l'ICFO (Castelldefels) va coordinar un experiment global. La idea? Fer servir el lliure albir humà!
Més de 100.000 voluntaris (inclosos instituts de Catalunya) van fer de Bellsters.
A través d'un videojoc, teclejaven seqüències de 0s i 1s per generar un atzar impredictible que s'enviava a laboratoris d'arreu del món.
Els resultats van violar les desigualtats de Bell sistemàticament. L'atzar absolut existeix i l'univers quàntic és probabilístic.
Llançament d'un dau cúbic (6 elements)
L'Espai Mostral ($E$) és el conjunt de tots els resultats possibles d'un experiment aleatori.
Exemple: El Dau
Llançar un dau cúbic i mirar la cara superior.
Experiment: Una persona prova 3 iogurts (A, B i C) i els ordena.
El resultat depèn de l'ordre... Són les permutacions de 3 elements!
Experiment: Llançar dues monedes a l'aire.
Són iguals $C+$ i $+C$?
Les tractem com a diferents (o llançades en ordre) per garantir que els 4 resultats tinguin la mateixa probabilitat ($\frac{1}{4}$).
Experiment (Asimètric):
Qualsevol subconjunt d'E és un succés
És qualsevol subconjunt de l'espai mostral ($E$) d'un experiment aleatori.
Dit d'una altra forma: és qualsevol resultat (o conjunt de resultats) possible que puguem enunciar o que ens interessi mesurar.
Exemple amb un dau:
Si $E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$, un succés pot ser "Treure parell".
L'experiment de llançar dues vegades una moneda té com a espai mostral:
A = Més de 8 | B = Entre 6 i 11
Es llegeix "A i B". Són els elements que compleixen les DUES condicions alhora (es troben a $A$ i a $B$).
Exemple: Suma de dos daus
Es llegeix "A o B". Conté els elements que es troben a $A$, a $B$ o a ambdós. Consisteix en ajuntar-los tots (sense repetir-los).
Apareix associada a expressions com "alguna" o "com a mínim una".
Es llegeix "no A". És el format per TOTS els elements de l'espai mostral ($E$) que NO pertanyen a $A$.
Sabem que $A \cup \overline{A} = E$.
Si $A$ és "treure més de 8", llavors $\overline{A}$ és "treure 8 o menys":
Visualització de les negacions
Ens permeten relacionar el contrari de les unions i interseccions. Són vitals per resoldre problemes!
1a Llei: Negació de la unió
"El contrari d'ALGUN és NINGÚ (ni A ni B)". Es pinta tot allò que queda fora dels cercles.
Ens permeten relacionar el contrari de les unions i interseccions. Són vitals per resoldre problemes!
2a Llei: Negació de la intersecció
"El contrari de TOTS DOS ALHORA és QUE FALLI ALMENYS UN DELS DOS". Es pinta tot l'espai excepte la zona on es creuen.
S = Spotify | I = Instagram
Triem una persona a l'atzar. Siguin els successos $S$ = Spotify, i $I$ = Instagram:
Cercles disjunts = Intersecció buida
Diem que dos successos són incompatibles si no tenen cap element en comú i, per tant, és impossible que tinguin lloc a la vegada.
Exemple: Parell vs Senar
$A$ i $B$ no poden passar alhora. Els seus cercles no es toquen.
La Probabilitat és una branca de les matemàtiques que busca mesurar de forma objectiva l'atzar.
Assignem a cada succés ($S$) d'un experiment aleatori un nombre real comprès entre 0 i 1 per indicar quina "esperança" o certesa tenim que passi.
Quan podem repetir un experiment infinites vegades en condicions idèntiques, la proporció de vegades (o freqüència relativa) que té lloc un determinat resultat és una estimació de la probabilitat d'aquest resultat.
A la vida real ens trobem amb situacions úniques on no podem calcular la probabilitat matemàticament ni podem fer servir la Llei dels Grans Nombres.
(Ja que l'experiment no es pot repetir o és molt costós de repetir).
L'exemple de l'esquerda:
Ha aparegut una esquerda greu al sostre d'un edifici històric. Quina és la probabilitat que el sostre caigui? Evidentment, no podem ensorrar l'edifici mil vegades per mirar què passa.
En aquests casos, els experts avaluen la situació i donen un valor estimat basat en el seu coneixement (ex: "Hi ha un 80% de probabilitat d'esfondrament"). És una mesura molt rigorosa però subjectiva.
Quan tots els resultats possibles d'un experiment tenen exactament la mateixa probabilitat de sortir (són equiprobables), apliquem la regla fonamental:
Són idèntiques al tacte. Les remenem bé i en traiem una a l'atzar.
A l'urna podíem comptar boles fàcilment.
Però imaginem que ara llancem un dard completament a cegues contra aquesta diana quadrada de $20\text{x}20$ cm.
L'espai mostral és continu. Això vol dir que hi ha infinits punts on el dard es pot clavar.
La solució és substituir la quantitat aïllada per la idea d'extensió matemàtica o Mesura.
En la nostra diana plana, la "mesura" natural és l'Àrea. Volem encertar al centre vermell (radi $r=4$ cm):
Com que el dard cau a qualsevol lloc de manera equiprobable, la probabilitat és directament proporcional a l'àrea:
El succés impossible, per definició, no pot passar. Per exemple, si llancem un dau de 6 cares numerades de l'1 al 6, és impossible que surti un $7$.
Dins l'espai mostral hi tenim tot el que es considera possible. Per tant, la probabilitat que passi algun dels successos del conjunt és del $100\%$, és un fet segur.
Si la probabilitat del total és 1, la probabilitat que NO passi una cosa és complementar el que falta fins a 1. D'aquí es dedueix que $P(A \cup \overline{A}) = 1$.
S'ha sumat la intersecció dues vegades (una amb $A$ i una amb $B$). Cal restar-la un cop.
En una classe de $n$ alumnes, quina és la probabilitat que almenys dos facin els anys el mateix dia?
Quan llegim la paraula "almenys", pensa automàticament en el succés contrari ($\overline{A}$).
Per calcular que tots neixin en dies diferents, comptarem casos:
Restem aquesta fracció d'1 i tenim la probabilitat buscada.
Imaginem un experiment aleatori que consisteix a triar un nombre real ($x$) a l'atzar dins de l'interval $[0, 1]$.
Per respondre, cal recordar una propietat fascinant de les matemàtiques:
Com que els racionals són només "punts solts" infinitament fins i sense amplada dins del continu de la recta, la seva longitud total sumada és absolutament nul·la. És a dir, la "mesura" de $\mathbb{Q}$ és $0$.
Si apliquem la Llei de Laplace per a mesures contínues:
Acabem de deduir matemàticament que $P(\text{Racional}) = 0$. Però atenció: si l'atzar fa que triem justament el nombre $0.5$ (que és racional), el succés s'haurà complert!
És la probabilitat que ocorri un cert succés, sabent que ja ha ocorregut (o que assumim com a certa) una altra informació prèvia.
Notació Matemàtica:
Es llegeix: "Probabilitat que passi $A$, donat que ha passat $B$".
Situació d'una mostra de 800 graduats un any després dels estudis:
| Treballant ($T$) |
A l'atur ($A$) |
Total | |
|---|---|---|---|
| Homes ($H$) |
520 | 60 | 580 |
| Dones ($D$) |
180 | 40 | 220 |
| Total | 700 | 100 | 800 |
Si escollim una persona a l'atzar del TOTAL (800), les probabilitats globals són:
Situació d'una mostra de 800 graduats un any després dels estudis:
| Treballant ($T$) |
A l'atur ($A$) |
Total | |
|---|---|---|---|
| Homes ($H$) |
520 | 60 | 580 |
| Dones ($D$) |
180 | 40 | 220 |
| Total | 700 | 100 | 800 |
Informació extra: Sabem que la persona escollida és una dona. Quina és la probabilitat que treballi? $\rightarrow \mathbf{P(T|D)}$
L'univers s'ha reduït: el "total" ja no són 800, sinó només les 220 dones. D'aquestes, 180 treballen.
Situació d'una mostra de 800 graduats un any després dels estudis:
| Treballant ($T$) |
A l'atur ($A$) |
Total | |
|---|---|---|---|
| Homes ($H$) |
520 | 60 | 580 |
| Dones ($D$) |
180 | 40 | 220 |
| Total | 700 | 100 | 800 |
Alerta! Diferència amb la Intersecció: $\mathbf{P(D \cap T)}$
Quina és la probabilitat que algú sigui dona i treballi? Noteu que ara NO tenim informació prèvia. El total base tornen a ser els 800 graduats.
Imaginem un espai mostral general ($E$) amb dos successos qualsevol, $A$ i $B$.
Com que tenim la certesa absoluta que $B$ ha succeït, podem descartar de ple tot allò que queda fora del seu cercle.
Dins d'aquest nou univers ($B$), en quina zona es compleix efectivament el succés $A$?
Només a la part on se solapen: la intersecció $A \cap B$. Aquests seran els nostres Casos Favorables.
Fórmula General:
Hem vist que:
Obtenim l'anomenada Regla del Producte:
Aquestes branques inicials porten les probabilitats globals i pures, sense cap condició prèvia:
Quan arribem al segon nivell de l'arbre, la situació canvia completament perquè ja tenim un historial.
El primer succés ja ha quedat enrere, així que la realitat s'ha modificat. L'univers s'ha reduït i ja no som a la casella de sortida.
Per tant, les probabilitats d'aquestes noves branques que neixen d'A no són globals, sinó probabilitats condicionades!
Si volem saber la probabilitat d'arribar al final del camí de dalt, significa que volem que hagi passat $A$ i que hagi passat $B$ (la intersecció $\mathbf{A \cap B}$).
Com ho calculem usant la fórmula deduïda a l'inici?
A vegades volem saber la probabilitat total d'un succés final ($B$), independentment de com hi hàgim arribat.
Com ho fem si el succés $B$ està repartit per diverses branques de l'arbre?
Si ens fixem en el gràfic, per arribar a $B$ podem fer-ho a través de dos camins diferents i incompatibles:
Qualsevol altra ruta de l'arbre ens portaria a resultats que no ens interessen per ara.
Utilitzant la Regla del Producte que hem après, calculem la probabilitat d'aquests dos camins per separat:
Com que arribar per un camí o per l'altre són fets incompatibles (no pots fer els dos alhora), la probabilitat total serà la suma de totes les rutes vàlides.
(Multipliquem per avançar, sumem camins per agrupar)
Tornem a la clínica: el metge et truca per dir-te que el test ràpid ha donat positiu (+). La teva única preocupació vital ara mateix és conèixer quina probabilitat real tens d'estar efectivament malalt (M).
Com podem girar algebraicament una probabilitat condicionada de $\mathbf{P(B|A)}$ cap a $\mathbf{P(A|B)}$ per donar-li una resposta al pacient?
Partim de la definició clàssica de la probabilitat condicionada aplicant-la en tots dos sentits:
En ambdues equacions, el numerador conté la mateixa intersecció. Passem els denominadors multiplicant:
Com que les dues expressions equivalen a la mateixa intersecció, les podem igualar directament per construir el pont:
Només ens queda aïllar el nostre objectiu passant l'altra condició dividint. Hem trobat la fòrmula capaç d'invertir el temps!
Per fer la fòrmula útil amb les dades que realment tenim dels laboratoris, desdoblem el denominador pel Teorema de la Probabilitat Total.
On $\overline{A}$ representa el succés contrari (com el fet d'estar sa).
Imagina una malaltia que afecta al $10\%$ de la població. Et fas un test ràpid que és bastant fiable: detecta el $90\%$ dels malalts, i només dóna positiu per error a un $20\%$ de la gent sana.
Abans de fer cap test, tota la població d'estudi es pot dividir en dues grans àrees que formen el 100% del nostre quadrat:
L'amplada del quadrat ens defineix l'estat real de la persona.
Ara apliquem el test. Aquest ens tallarà els dos rectangles horitzontalment. Ens fixarem exclusivament en la zona inferior forta, que representa els que han donat Positiu (+):
La probabilitat absoluta de donar positiu $P(+)$ és simplement la suma geomètrica dels dos rectangles inferiors (VP + FP). Conegut com a Teorema de la Probabilitat Total:
Si sabem que hem donat positiu, el nostre "univers" s'encongeix. Només podem estar dins la zona inferior. Bayes és preguntar-se: Quina proporció de la zona inferior és vermella?
De manera natural, diem que el succés $A$ és independent del succés $B$ si el fet que hagi passat $B$ no altera absolutament per a res la probabilitat que passi $A$.
Evidentment, el meu sopar d'ahir no condiciona la meteorologia d'avui!
Això té una conseqüència meravellosa en les fòrmules. Abans havíem deduït la Regla del Producte per a qualsevol parella de successos:
Però si els successos són independents, sabem que $P(B|A) = P(B)$.
Com que $P(B|A) = P(B)$, la fòrmula es redueix a una multiplicació directa!
Aquesta és la justificació matemàtica d'allò que ja fèiem de manera intuïtiva!
Quan repetim experiments (com llançar daus o monedes), cada llançament és totalment independent de l'anterior.
"Els daus i les monedes no tenen memòria".
Quina és la probabilitat de treure un $6$ a la primera tirada i un altre $6$ a la segona?