Funcions

Quan una magnitud depèn d'una altra

Matemàtiques — 1r de Batxillerat

Mapa de les Funcions

1. Què és una funció?▶ 2. Funció real de variable real▶ 3. Imatge▶ 4. Antiimatge▶ 5. Domini d'una funció ▶

1. Què és una funció?

Una funció és una regla d'assignació:

entrada

$x$

$\longrightarrow$

$f$

$\longrightarrow$

sortida

$f(x)$

A cada entrada li correspon una única sortida.

La paraula clau és única.

✓ És funció

$2\longrightarrow5$

Una entrada → una sortida.

✗ No és funció

$2\nearrow5$ i $2\searrow-1$

La mateixa entrada té dues sortides.

2. Funció real de variable real

Quan tant l'entrada com la sortida són nombres reals:

$$f:D\subseteq\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}$$

variable independent

$x\in D$

variable dependent

$y=f(x)\in\mathbb{R}$

Exemple

$f(x)=2x-3$

$x=4$

$\longrightarrow$

$f(4)=2\cdot4-3$

$\longrightarrow$

$5$

La funció associa a l'entrada $4$ la sortida $5$.

3. Imatge d'un nombre

Donat un valor $a$, anomenem imatge de $a$ el valor que pren la funció en aquest punt (si existeix).

$a\longmapsto f(a)$

f(3) = 4

El punt blau fixa el valor de $a$. A la gràfica veiem el punt corresponent $(a,f(a))$.

$f(x)=(x-1)^2$

Ara ho fem amb un valor concret.

Exemple: $f(x)=(x-1)^2$. Quina és la imatge de $3$?

$a=3$ $\longrightarrow$ $f(3)=(3-1)^2$ $\longrightarrow$ $4$

Per tant, la imatge de $3$ és $4$: $f(3)=4$.

4. Antiimatge d'un nombre

Diem que $a$ és una antiimatge de $b$ quan la imatge de $a$ és precisament $b$.

$f(a)=b$

Ara coneixem el valor de $y=b$ i busquem els valors de $x$ que hi arriben.

$b=$ 4

Antiimatges: $x=-1$ i $x=3$

$f(x)=(x-1)^2$

Ara ho fem numèricament.

Exemple: $f(x)=(x-1)^2$. Quines són les antiimatges de $4$?

$(x-1)^2=4$

$x-1=\pm2$

$x=-1\quad\text{o}\quad x=3$

A diferència de la imatge, una antiimatge no ha de ser única.

$f(x)=(x-1)^2$

antiimatges de $-1$

cap

$f(x)=(x-1)^2$

antiimatge de $0$

$x=1$

$f(x)=(x-1)^2$

antiimatges de $4$

$x=-1,\,3$

Imatge vs. antiimatge

IMATGE

Coneixem $x$ i busquem $y$.

$x=a\;\Rightarrow\;y=f(a)$

Cal substituir $x$ per $a$.

ANTIIMATGE

Coneixem $y$ i busquem $x$.

$y=b\;\Rightarrow\;f(x)=b$

Cal resoldre una equació.

5. Domini d'una funció

🤔

Podem donar qualsevol valor a $x$?

Quins valors podem fer servir com a entrada d'una funció?

Una entrada només és admissible si la funció ens proporciona una sortida real.

entrada $x$

$\longrightarrow$

$f$

$\longrightarrow$

imatge $f(x)$

El domini d'una funció és el conjunt de valors d'entrada que tenen imatge.

Ho escrivim:

$\operatorname{Dom}(f)$

$$ \operatorname{Dom}(f) = \{\,x\in\mathbb R \mid f(x)\text{ té sentit i és real}\,\} $$

Pregunta clau: «Per a quins valors de $x$ existeix $f(x)$?»

Domini: per què pot fallar una entrada?

Denominador nul dividir per $0$

$\displaystyle f(x)=\frac{1}{x-3}$

$x=3$ no té imatge.

Arrel d'índex parell radicand $\geq 0$

$f(x)=\sqrt{x+2}$

Si $x<-2$, l'arrel no és real.

$\arcsin$ i $\arccos$ entre $-1$ i $1$

$f(x)=\arcsin(x)$

Per exemple, $\arcsin(2)$ no és real.

Potències de base negativa compte amb l'exponent

$f(x)=(-2)^x$

$f\!\left(\frac12\right)=(-2)^{1/2}$ ❌ $f\!\left(\frac13\right)=(-2)^{1/3}$ ✓

Alguns exponents fan que la potència deixi de ser un nombre real.

🔜 Altres casos que veurem més endavant

Logaritmes

L'argument del logaritme no pot ser nul ni negatiu.

Funcions definides a trossos

Poden quedar valors de $x$ sense cap tros que els assigni una imatge.

Algunes funcions trigonomètriques

Per exemple, $\tan x$ no existeix per a alguns valors de $x$.

🏠