Matemàtiques 1r Batx.
Què és la Geometria Euclidiana?
És la geometria clàssica de l'espai "plà" que aprenem a l'escola. Funciona exclusivament a partir de 5 regles fonamentals o axiomes que va establir el matemàtic grec Euclides fa més de 2300 anys.
Prem "Següent" per construir aquest espai pas a pas.
Axioma 1: El Segment
Donats dos punts qualsevol, com ara A i B, sempre es pot traçar un segment que els uneixi de forma directa.
Axioma 2: La Recta Infinita
Qualsevol segment es pot perllongar contínuament cap a banda i banda per formar una recta infinita.
Axioma 3: La Circumferència
Donat un punt que fa de centre i una distància que fa de radi, sempre es pot traçar una circumferència.
Axioma 4: Els Angles Rectes
Tots els angles rectes (90º) són exactament iguals entre si, independentment d'on estiguin o cap a on mirin.
Axioma 5: El Postulat de les Paral·leles
Aquest és el postulat decisiu:
Donada una recta r i un punt exterior P, NOMÉS HI PASSA UNA recta paral·lela s que mai arribarà a tallar-se amb r.
I si el 5è axioma fos fals?
Què passa si canviem la "regla del joc" i l'espai no és completament pla?
Geometria Euclidiana: L'espai és pla. Només passa 1 paral·lela per P.
Geometria Esfèrica: L'espai està corbat com la Terra. Qualsevol "recta" que passi per P acabarà creuant-se amb r. (0 paral·leles).
Geometria Hiperbòlica: L'espai està corbat com una sella de muntar. Passen infinites rectes per P que mai creuaran r. (∞ paral·leles).
Abans de parlar de geometria avançada, hem de definir l'escenari on treballarem.
El pla $\mathbb{R}^2$ és simplement el conjunt de tots els parells de nombres reals que podem imaginar.
▶ Prem "Següent" per col·locar elements en aquest pla.Un element de $\mathbb{R}^2$ és una parella $(x, y)$. Geomètricament ho representem com un punt a l'espai.
Molt sovint, per connectar-ho amb l'origen $(0,0)$, dibuixem una fletxa (vector de posició) que hi apunta directament.
A $\mathbb{R}^2$ hi sabem sumar. Si tenim un element A i un element B, la suma es fa component a component.
Apareix un nou destí C amb la seva respectiva fletxa.
També podem agafar l'element A i multiplicar-lo per un nombre real $k$. Les dues coordenades s'estiren o s'encongeixen proporcionalment creant el vector D.
▶ Mou la punta de A o ajusta el lliscador inferior k:Aquesta estructura, punts lligats a un origen amb operacions de suma i producte, forma un Espai Vectorial.
Aviat veurem que aquestes fletxes "ancorades" les podrem desenganxar i moure lliurement pel pla mantenint les seves propietats geomètriques.
Benvinguts al món dels vectors! 🚀
Un vector $\vec{AB}$ queda determinat per dos punts: l'origen ($A$) i l'extrem ($B$).
El vector $\overrightarrow{AB}=B-A$
(Extrem menys origen)
Podem expressar un vector mitjançant les seves projeccions sobre els eixos de coordenades ($v_x, v_y$).
El mòdul d'un vector $\vec{v}$ és la distància entre l'origen i l'extrem. Es denota com $|\vec{v}|$ o $||\vec{v}||$.
Aplicant el Teorema de Pitàgores: $$ ||\vec{v}|| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} $$
Si multipliquem un vector $\vec{v}$ per un nombre real $\lambda$:
$\vec{v}$ i $\lambda\vec{v}$ són vectors proporcionals i tenen la mateixa direcció.
El vector suma $\vec{s} = \vec{u} + \vec{v}$ és la diagonal que surt de l'origen comú.
El resultat de la suma és el punt C on anem a parar si situem $\vec{u}$ sortint de B, o $\vec{v}$ sortint d'A:
👉 Opcional: Pots fer servir el lliscador manualment, o prémer "Següent" per a l'animació automàtica.
El vector resta $\vec{r} = \vec{u} - \vec{v}$ s'obté sumant a $\vec{u}$ l'oposat de $\vec{v}$ ($-\vec{v}$).
👉 Interacció: Mou el lliscador "Animació" per veure com traslladem els vectors.
El pendent ($m$) d'un vector ens indica la seva inclinació respecte a l'horitzontal. Es calcula dividint el component vertical pel component horitzontal:
$m = \frac{v_y}{v_x}$
Coincideix amb la tangent de l'angle ($\alpha$) que forma amb l'eix de les abscisses:
$\tan(\alpha) = m \implies \alpha = \arctan(m)$
👉 Interacció: Mou la punta del vector per veure com s'actualitzen el pendent i l'angle.
Tres punts $A$, $B$ i $C$ estan alineats si pertanyen a la mateixa recta.
En termes de vectors, això vol dir que els vectors $\vec{AB}$ i $\vec{AC}$ (o $\vec{BC}$) tenen la mateixa direcció. Per tant, han de tenir el mateix pendent ($m$).
$m_{AB} = m_{AC}$
👉 Interacció: Arrossega els punts $A$, $B$ i $C$. Observa el valor del pendent que estan alineats.
Tenim el segment definit per $A$ i $B$.
Escalem el vector $\vec{AB}$ a la meitat i el situem sortint del punt $A$:
$$M=A+\dfrac{1}{2}\vec{AB}=\dfrac{A+B}{2}$$
Donat un vector $\vec{v} = (v_x, v_y)$, podem trobar els seus simètrics respecte als eixos de coordenades.
Canvia el signe de la Y: $(v_x, -v_y)$
Canvia el signe de la X: $(-v_x, v_y)$
Tenim un vector $\color{#1890ff}{\vec{v}}$ qualsevol i volem construir un nou vector, $\color{#f8961e}{\vec{w}}$, que tingui exactament la mateixa direcció i sentit que $\color{#1890ff}{\vec{v}}$, però que el seu mòdul sigui exactament $\color{#f8961e}{k}$:
(A l'animació pots modificar el vector $\vec{v}$ i el mòdul desitjat $k$).
Primer trobem un vector amb la mateixa direcció que $\vec{v}$ però que tingui mòdul 1. Aquest és el vector unitari, $\color{#666}{\vec{u}}$, i s'obté dividint $\vec{v}$ entre el seu propi mòdul:
Com que $\color{#666}{\vec{u}}$ té mòdul 1, en multiplicar-lo per $\color{#f8961e}{k}$, el nou vector tindrà mòdul $\color{#f8961e}{k}$.
Com que $\vec{w}$ és un escalat de $\vec{u}$ (i de $\vec{v}$), els tres vectors tenen la mateixa direcció.
Volem calcular l'angle $\theta$ entre $\vec{u}$ i $\vec{v}$.
Partim del cosinus de la resta ($\theta = \alpha - \beta$):
Com que el denominador és comú, podem escriure:
Anomenem al numerador $\vec{u} \cdot \vec{v} = u_x v_x + u_y v_y$. Llavors:
I finalment, aïllant el producte escalar:
Diem que $\vec{u}$ i $\vec{v}$ són perpendiculars si el seu angle és de 90º.
Aplicant la definició:
Com que $\cos(90^\circ) = 0$, el resultat és immediat.
Dos vectors són perpendiculars si i només si el seu producte escalar és zero:
En coordenades: $u_x v_x + u_y v_y = 0$
Com podem trobar ràpidament un vector perpendicular a $\vec{u} = (a, b)$?
Si $\vec{u} = (\color{#1890ff}{a}, \color{#d55e00}{b})$, els perpendiculars són:
Perquè el producte escalar esdevé zero automàticament:
Observa el vector original $\vec{u}=(a,b)$:
La component vermella ($a$) s'aixeca cap a l'eix Y positiu.
La component blava ($b$) cau cap a l'eix X negatiu.
La component blava ($b$) tomba cap a l'eix X positiu.
La component vermella ($a$) cau cap a l'eix Y negatiu.
Volem trobar la projecció ortogonal del vector $\color{#2a76dd}{\vec{v}}$ sobre el vector $\color{#e63946}{\vec{u}}$.
El vector $\color{#8e44ad}{\text{proj}_{\vec{u}}\vec{v}}$ és la millor aproximació de $\color{#2a76dd}{\vec{v}}$ en la direcció de $\color{#e63946}{\vec{u}}$.
Els vectors $\color{#8e44ad}{\text{proj}_{\vec{u}}\vec{v}}$ i $\color{#e63946}{\vec{u}}$ tenen la mateixa direcció. Per tant:
En el triangle rectangle, la base equival a la hipotenusa pel cosinus de l'angle $\color{#2a9d8f}{\theta}$:
Passem el mòdul dividint i retirem els valors absoluts (ja que $\lambda$ i $\cos(\theta)$ sempre tenen el mateix signe):
Recuperem la fórmula inicial del pas 1 i hi substituïm el valor de $\lambda$ acabat de trobar:
Multipliquem el numerador i el denominador de la fracció pel mòdul del vector $\color{#e63946}{\vec{u}}$:
El numerador que ens ha quedat és exactament la definició del producte escalar. Substituïm i llestos!
Sumem al punt de pas $\color{#1890ff}{A}$ un desplaçament en la direcció del vector $\vec{v}$:
L'equació anterior ens dóna la posició de cada component per separat:
Eliminem el paràmetre $\lambda$. Ara la recta és una relació directa entre $x$ i $y$:
Operant arribem a $Ax + By + C = 0$. El vector $\color{#fa8c16}{\vec{n} = (A, B)}$ és perpendicular a la recta:
Aïllem la $y$ per veure-la com una funció. La $m$ és el pendent i la $n$ l'alçada:
Quan tenim dues rectes diferents, $r$ i $s$, només hi ha tres escenaris possibles. Per descobrir en quin cas estem, sempre ens fixarem en dues coses:
Prem la fletxa per explorar els tres casos possibles de forma gràfica.
Els seus vectors directors ($\color{#1890ff}{\vec{v}}$ i $\color{#f5222d}{\vec{w}}$) tenen **direccions diferents**.
Com a conseqüència, les rectes es creuen inevitablement i tenen **un sol punt en comú** (el punt de tall $P$).
Els seus vectors directors tenen la **mateixa direcció** (són proporcionals), de manera que les rectes mantenen sempre la mateixa separació.
En aquest cas, **no tenen cap punt en comú**.
Tenen la **mateixa direcció** i, a més a més, comparteixen un punt.
Dues rectes amb la mateixa direcció que comparteixen un sol punt estan obligades a compartir-los tots. Són exactament la mateixa recta (**infinits punts en comú**).
El primer pas per determinar la posició relativa és saber si les rectes tenen la mateixa direcció. Depenent de com ens donin l'equació, ho comprovarem de diferents maneres:
Si tenim l'equació Vectorial, Paramètrica o Contínua, comparem els components dels vectors $\vec{v}$ i $\vec{w}$:
En l'equació Explícita, les rectes tenen la mateixa direcció si els seus pendents són iguals:
En l'equació General ($Ax+By+C=0$), usem el vector normal $\vec{n}=(A,B)$. Si les rectes són paral·leles, els seus vectors perpendiculars també ho són:
Si ja hem comprovat que les rectes tenen la mateixa direcció, només ens falta saber si comparteixen punts. Com que són paral·leles, si en comparteixen un, automàticament els comparteixen tots.
Estudiarem com verificar-ho segons el tipus d'equació.
En les formes Vectorial, Paramètrica o Contínua, agafem el punt de pas de la primera recta $\color{#1890ff}{A}$ i comprovem si compleix l'equació de la segona:
En l'equació General ($Ax+By+C=0$), mirem si el terme independent $C$ segueix la mateixa proporció que $A$ i $B$:
Si la ràtio de $C$ és diferent, les rectes no es toquen.
En l'equació Explícita ($y=mx+n$), si els pendents ja són iguals, només cal mirar l'altura de tall amb l'eix Y:
Si dues rectes són secants, es tallen en un únic punt $P(x,y)$. Aquest punt té una característica especial: és l'únic del pla que compleix les equacions de totes dues rectes alhora.
Per tant, trobar-lo es redueix a resoldre el sistema d'equacions format per les dues rectes. El mètode dependrà del tipus d'equació que tinguem.
Alerta! Un error comú és usar el mateix paràmetre per a ambdues rectes. Com que les rectes recorren distàncies diferents des del seu origen fins al punt de tall $P$, cal usar lletres diferents (ex: $\lambda$ i $\mu$):
Igualant les components $x$ i les components $y$ obtenim un sistema de 2 equacions on les incògnites són $\lambda$ i $\mu$:
Aquest és el cas més clàssic. Tenim un sistema lineal de dues equacions amb dues incògnites ($x$ i $y$).
El pots resoldre per reducció (el més recomanat), substitució o igualació.
Si tenim la $y$ aïllada a totes dues rectes, el sistema crida a ser resolt pel mètode d'igualació:
Així trobem ràpidament la coordenada $x$. Després substituïm el valor a qualsevol equació per trobar la $y$.
Dues rectes secants $r$ i $s$ es tallen determinant quatre angles, iguals dos a dos. Per definició, l'angle entre dues rectes sempre és el més petit (l'angle agut).
(Pots moure les rectes de l'animació per veure com varien els seus angles suplementaris).
L'angle que formen les rectes coincideix amb l'angle que formen els seus vectors directors ($\vec{v}$ i $\vec{w}$). Ho calculem aïllant el cosinus de la fórmula del producte escalar:
Usem el valor absolut al numerador per garantir que el cosinus sigui positiu i, per tant, obtinguem sempre l'angle agut.
Si tenim l'equació general, és molt més ràpid fer servir els vectors perpendiculars $\vec{n}=(A,B)$ i $\vec{n'}=(A',B')$. L'angle entre ells és exactament el mateix!
Partim d'una recta $r$ en forma general i d'un punt $P=(p_1, p_2)$ exterior a ella.
Escollim un punt qualsevol $Q=(x,y)$ de la recta. Com que hi pertany, compleix l'equació. Definim el vector $\vec{QP}$:
La distància $d$ és la projecció de $\vec{QP}$ sobre la direcció perpendicular. Si observem l'angle $\alpha$ al vèrtex $P$:
Considerem un vector normal $\vec{n}=(A,B)$ i el fem unitari dividint-lo per la seva longitud. L'angle $\alpha$ el trobem també a $Q$:
La distància coincideix, doncs, amb el producte escalar. Posem valor absolut per garantir que la distància sigui positiva:
Substituïm les coordenades del vector $\vec{QP}$ i de la normal $\vec{u}$ a l'expressió obtinguda:
Calculem el producte escalar al numerador pas a pas i n'agrupem els termes:
Com que $Q(x,y)$ pertany a la recta $Ax + By + C = 0$, sabem amb certesa que $-Ax - By = C$. Així obtenim: