Successions

L'art de predir el futur numèric

Matemàtiques - 1r de Batxillerat

Mapa de les Successions

1. Què és una successió? ▶ 2. Formes de definir-les ▶ 3. Successions Aritmètiques ▶ 4. Successions Geomètriques ▶ 5. Definició de límit ▶ 6. Indeterminacions ▶ 6.1 $\dfrac{\infty}{\infty}$ ▶

1. Què és una Successió?

Un conjunt d'elements ordenats on en tenim tants com nombres naturals: n'hi ha un de primer i sempre n'hi ha un després.

$$a \longrightarrow 2, 4, 6, 8, 10, \ldots$$

$$b \longrightarrow 3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, \dots$$

$a$, $b$: nom de les successions.
Cada element s'anomena terme de la successió.
Es fa servir un subíndex (normalment $n, i, j, k$) per indicar de quin terme es tracta:
$a_1 \rightarrow$ primer $a_4 \rightarrow$ 4rt $a_{1000} \rightarrow$ mil·lèsim $a_n \rightarrow$ $n$-èssim

2. Formes de definir-les

Com podem expressar matemàticament l'evolució d'aquests termes?

A. Terme general

Expressió que permet trobar qualsevol terme sense trobar els anteriors.

$$a \longrightarrow 2, 4, 6, 8, 10, \ldots$$

$a_n = 2\cdot n$

$$b \longrightarrow 1, 3, 5, 7, 9, \ldots$$

$b_n = \ ???$

$b_n = 2n - 1$

$$c \longrightarrow 2, \frac{3}{2}, \frac{4}{3}, \frac{5}{4}, \ldots$$

$c_n = \ ???$

$c_n = \frac{n+1}{n}$

$$d \longrightarrow 2, 5, 10, 17, 26, \ldots$$

$d_n = \ ???$

$d_n = n^2 + 1$

$$p \longrightarrow 3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5, \dots$$

$p_n = \ ???$

No sempre existeix una fórmula tancada!

B. Relació de recurrència

Defineix la successió mitjançant una relació entre un terme i alguns anteriors. En aquest cas cal donar valors inicials obligatòriament.

$$f \longrightarrow 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, \ldots$$

$f_n = \ ???$

$f_n = f_{n-1} + f_{n-2}$

$f_1 = 1$
$f_2 = 1$

$$p \longrightarrow 2, 3, 6, 18, 108, 1944, \ldots$$

$p_n = \ ???$

$p_n = p_{n-1} \cdot p_{n-2}$

$p_1 = 2$
$p_2 = 3$

$$c \longrightarrow 10, 2, \frac{1}{5}, \frac{1}{10}, \frac{1}{2}, 5, 10, 2, \ldots$$

$c_n = \ ???$

$c_n = \frac{c_{n-1}}{c_{n-2}}$

$c_1 = 10$
$c_2 = 2$

3. Successions Aritmètiques

Cada element s'obté sumant una certa quantitat constant (diferència, $d$) a l'anterior.

▶

...

Relació de recurrència?

$a_n = \ ???$ $a_n = a_{n-1} + 3$

Terme general?

$a_n = \ ???$ $a_n = 2 + (n-1)\cdot 3$

Abstracció: Qualsevol successió aritmètica

$a_1$

▶

$a_2$

▶

$a_3$

▶

$a_4$

▶

$a_5$

...

Relació de recurrència?

$a_n = \ ???$ $a_n = a_{n-1} + d$

Fórmula genèrica?

$a_n = \ ???$ $a_n = a_1 + (n-1)d$

4. Successions Geomètriques

Cada element s'obté multiplicant l'anterior per una certa quantitat constant (raó, $r$).

$\cdot 2$

▶

$\cdot 2$

▶

$\cdot 2$

▶

$\cdot 2$

▶

$\cdot 2$

▶

...

Relació de recurrència?

$a_n = \ ???$ $a_n = a_{n-1} \cdot 2$

Terme general?

$a_n = \ ???$ $a_n = 3 \cdot 2^{n-1}$

Abstracció: Qualsevol successió geomètrica

$a_1$

$\cdot r$

▶

$a_2$

$\cdot r$

▶

$a_3$

$\cdot r$

▶

$a_4$

$\cdot r$

▶

$a_5$

...

Relació de recurrència?

$a_n = \ ???$ $a_n = a_{n-1} \cdot r$

Fórmula genèrica?

$a_n = \ ???$ $a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$

5. Exercici resolt

Són o no geomètriques les següents successions? Troba'n la raó $r$.

a) ? a) r=1/3

b) ? b) r=2

c) ? c) r=9

d) ? d) r=25

e) ? e) r=1/3

f) ? f) No

Apartat a)

$a_n=\left( \frac{1}{3^n} \right)$

Sí, $r = 1/3$

Apartat b)

$a_n=2^{n+3}$

Sí, $r = 2 \quad \color{#64748b}{\text{(ja que }} \color{#64748b}{\frac{2^{n+4}}{2^{n+3}} = 2 \text{)}}$

Apartat c)

$a_n=3^{2n}$

Sí, $r = 9 \quad \color{#64748b}{\text{(ja que }} \color{#64748b}{3^2 = 9 \text{)}}$

Apartat d)

$a_n=5^{2n-3}$

Sí, $r = 25 \quad \color{#64748b}{\text{(ve de }} \color{#64748b}{5^2 \text{)}}$

Apartat e)

$a_n=3^{-n+2}$

Sí, $r = 1/3$

Apartat f)

$a_n=2^{n^2}$

NO és geomètrica $\frac{a_{n+1}}{a_n} = 2^{2n+1}$ (el quocient depèn de $n$)

Límit d'una successió

1. Idea intuïtiva

Diem que $L$ és el límit d'una successió $a_n$ si, a partir d'un valor de $n$ prou gran, els termes queden sempre tant a prop de $L$ com vulguem.

2. Definició rigorosa

Diem que $L$ és el límit de la successió $a_n$ si, per a qualsevol tolerància $\forall \varepsilon>0$ (per petita que sigui), $\exists j$ tal que:

$|a_n-L|<\varepsilon \quad (\forall n>j)$

2. Definició rigorosa (Notació)

Si es compleix, ho escrivim així:

$$\lim_{n\to\infty}a_n=L$$

Es llegeix: "El límit de la successió $a_n$ quan $n$ tendeix a infinit és $L$"

Exploració gràfica del Límit

Tria la successió, ajusta la tolerància ε i avança la càmera horitzontal (n) per veure què passa a l'infinit.

ε (Tolerància): 1.2

Avançar finestra (n): 0

Tipus de Successió:

Convergència i Divergència

🎯

Convergent

Diem que una successió és convergent quan té límit finit (un nombre real concret).

$$\lim_{n\to\infty}a_n=\rho$$

🚀

Divergent

Diem que és divergent quan els seus termes creixen (o decreixen) sense aturador.

$$\lim_{n\to\infty}a_n=\pm\infty$$

🎢

Ni convergents ni divergents

Oscil·lants.

$$a_n = (-1)^n$$

No s'estabilitzen mai en cap valor!

Càlcul de Límits: "Operant" amb $\infty$

💡

La regla d'or

A la pràctica fem $n = \infty$ (mentalment!) i imaginem que $n$ és un nombre molt i molt gran.
Vegem quines són les lleis bàsiques que regeixen l'infinit:

➕✖️

Sumes i Productes

L'infinit absorbeix quantitats i es retroalimenta positivament.

$\infty + \infty \rightarrow \infty$

$\infty \cdot \infty \rightarrow \infty \quad \color{#64748b}{\text{(o } -\infty \text{ si algun factor és negatiu)}}$

🌊

Dividir per infinit

Repartir qualsevol nombre entre infinita gent ens deixa sense res.

$\frac{K}{\infty} \rightarrow 0$

$\frac{0}{\infty} \rightarrow 0$

💥

Dividir per zero

Dividir per una quantitat minúscula fa que el resultat es dispari.

$\frac{K}{0} \rightarrow \pm\infty \quad \color{#64748b}{\text{(segons signes)}\;(k\neq0)}$

$\frac{\infty}{0} \rightarrow \pm\infty \quad \color{#64748b}{\text{(segons signes)}}$

🚀

Potències

L'infinit pot dominar tant des de la base com des de l'exponent.

$\infty^\infty \rightarrow \infty$

$0^\infty \rightarrow 0$

$0^{-\infty} \rightarrow \infty$

$k^\infty \rightarrow 0 \text{ (si } |k| < 1 \text{) o bé } \pm\infty$

Exemples de Càlcul (I)

📝

Substituïm les $n$ per $\infty$ i mirem d'avançar fins al resultat.

🧮

Fraccions Simples

$\lim\frac{10}{-n^3} = \ ???$

$\lim\frac{10}{-n^3} = \frac{10}{-\infty} = 0$

$\lim\frac{10^{-10}}{\frac{3}{n^2}} = \ ???$

$\lim\frac{10^{-10}}{\frac{3}{n^2}} = \frac{10^{-10}}{0^+} = \infty$

⚖️

Cura amb els Signes

$\lim\frac{3}{-\frac{1}{n^2}} = \ ???$

$\lim\frac{3}{-\frac{1}{n^2}} = \frac{3}{0^-} = -\infty$

$\lim (n^2+n^3) = \ ???$

$\lim (n^2+n^3) = \infty+\infty = \infty$

✖️

Multiplicacions i Potències

$\lim n^2\cdot (-n^3) = \ ???$

$\lim n^2\cdot (-n^3) = \infty\cdot (-\infty) = -\infty$

$\lim n^{n^2} = \ ???$

$\lim n^{n^2} = \infty^\infty = \infty$

Exemples de Càlcul (II)

🏋️

Pugem el nivell i combinem infinites expressions.

🍰

Fraccions Compostes

$\lim \frac{-n^3}{\frac{1}{n^2}} = \ ???$

$\lim \frac{-n^3}{\frac{1}{n^2}} = \frac{-\infty}{0^+} = -\infty$

$\lim\frac{\frac{1}{n^2}}{-n^4} = \ ???$

$\lim\frac{\frac{1}{n^2}}{-n^4} = \frac{0}{-\infty} \rightarrow 0$

🔋

Potències Asimptòtiques

$\lim \left( \frac{1}{n^2} \right)^{n^3} = \ ???$

$\lim \left( \frac{1}{n^2} \right)^{n^3} = 0^\infty \rightarrow 0$

$\lim \left( \frac{1}{3} \right)^{n} = \ ???$

$\lim \left( \frac{1}{3} \right)^{n} = \left(\frac{1}{3}\right)^{\infty} = 0$

☠️

El repte final (Exponents Negatius)

$\lim\left( \frac{1}{n} \right)^{-n^3} = \ ???$

$\lim\left( \frac{1}{n} \right)^{-n^3} = \lim\frac{1}{\left(\frac{1}{n}\right)^{n^3}} = \frac{1}{0^\infty} = \frac{1}{0^+} = \infty$

Càlcul de Límits: quan la forma no decideix

🤔

Què passa amb $\infty-\infty$?

Sembla temptador dir que val $0$... però l'infinit no és un nombre.

Tres límits amb la mateixa forma aparent:

$\infty-\infty$

$\lim[(n+1)-n]=1$

$\infty-\infty$

$\lim(2n-n)=\infty$

$\infty-\infty$

$\lim(n-2n)=-\infty$

Per tant, $\infty-\infty$ no és un resultat: és una indeterminació .

Les 7 indeterminacions (I): formes algebraiques

Quan apareix una d'aquestes formes, no podem decidir el límit directament.

$\infty-\infty$ resta

Cal descobrir quin infinit domina.

$\dfrac{\infty}{\infty}$ quocient

Depèn de la velocitat de creixement.

$\dfrac{0}{0}$ quocient

Cal veure quin zero arriba més de pressa.

$0\cdot\infty$ producte

És una lluita entre anar a zero i créixer.

Idea clau: cal transformar l'expressió abans de continuar operant.

Les 7 indeterminacions (II): formes exponencials

En una potència, tant la base com l'exponent poden estar canviant alhora.

$1^{\infty}$

Una base molt propera a $1$, elevada a un exponent enorme.

$0^0$

La base tendeix a $0$, però l'exponent també tendeix a $0$.

$\infty^0$

La base creix sense límit, mentre l'exponent es fa minúscul.

$1^{\infty}$

Una base molt propera a $1$, elevada a un exponent enorme.

$0^0$

La base tendeix a $0$, però l'exponent també tendeix a $0$.

$\infty^0$

La base creix sense límit, mentre l'exponent es fa minúscul.

Aquí tampoc podem operar directament: cal estudiar com evolucionen simultàniament la base i l'exponent.

Les 7 indeterminacions

Formes algebraiques

$\infty-\infty$

$\dfrac{\infty}{\infty}$

$\dfrac{0}{0}$

$0\cdot\infty$

Formes exponencials

$1^\infty$

$0^0$

$\infty^0$

$\infty-\infty$

$\dfrac{\infty}{\infty}$

$\dfrac{0}{0}$

$0\cdot\infty$

$1^\infty$

$0^0$

$\infty^0$

Una indeterminació no és el resultat del límit.
Caldrà resoldre-la!.

Indeterminació $\dfrac{\infty}{\infty}$

Exemple 1

$$ \lim_{n\to\infty} \frac{4n^2+3n+5} {2n^3+7n^2+n+1} $$

Numerador $\longrightarrow \infty$ i denominador $\longrightarrow \infty$
$\displaystyle \frac{\infty}{\infty}$

Dividim per $n^3$, separem els termes i simplifiquem.

$ \displaystyle \frac{ \frac{4n^2+3n+5}{n^3} }{ \frac{2n^3+7n^2+n+1}{n^3} } $

$\longrightarrow$ $ \displaystyle \frac{ \frac{4n^2}{n^3} +\frac{3n}{n^3} +\frac{5}{n^3} }{ \frac{2n^3}{n^3} +\frac{7n^2}{n^3} +\frac{n}{n^3} +\frac{1}{n^3} } $

$\longrightarrow$ $ \displaystyle \frac{ \frac{4}{n} +\frac{3}{n^2} +\frac{5}{n^3} }{ 2 +\frac{7}{n} +\frac{1}{n^2} +\frac{1}{n^3} } $

Ara ja no tenim cap indeterminació:

$$ \lim_{n\to\infty} \frac{ \frac{4}{n} +\frac{3}{n^2} +\frac{5}{n^3} }{ 2 +\frac{7}{n} +\frac{1}{n^2} +\frac{1}{n^3} } = \frac{0+0+0} {2+0+0+0} $$

$\boxed{0}$

Indeterminació $\dfrac{\infty}{\infty}$

Exemple 2

$$ \lim_{n\to\infty} \frac{ 5n^3-2n^2+7n-4 }{ 2n^3+3n^2-5n+1 } $$

Tant el numerador com el denominador creixen sense límit.
$\displaystyle \frac{\infty}{\infty}$

Els graus empaten: dividim per $n^3$, separem els termes i simplifiquem.

$ \displaystyle \frac{ \frac{5n^3-2n^2+7n-4}{n^3} }{ \frac{2n^3+3n^2-5n+1}{n^3} } $

$\longrightarrow$ $ \displaystyle \frac{ \frac{5n^3}{n^3} -\frac{2n^2}{n^3} +\frac{7n}{n^3} -\frac{4}{n^3} }{ \frac{2n^3}{n^3} +\frac{3n^2}{n^3} -\frac{5n}{n^3} +\frac{1}{n^3} } $

$\longrightarrow$ $ \displaystyle \frac{ 5-\frac{2}{n} +\frac{7}{n^2} -\frac{4}{n^3} }{ 2+\frac{3}{n} -\frac{5}{n^2} +\frac{1}{n^3} } $

Els termes amb $n$ al denominador tendeixen a $0$, encara que estiguin restant:

$$ \frac{ 5-\frac{2}{n} +\frac{7}{n^2} -\frac{4}{n^3} }{ 2+\frac{3}{n} -\frac{5}{n^2} +\frac{1}{n^3} } \longrightarrow \frac{ 5-0+0-0 }{ 2+0-0+0 } $$

$\displaystyle \boxed{\frac{5}{2}}$

Les restes no canvien res:
$-\dfrac{2}{n}\to -0=0$, $-\dfrac{5}{n^2}\to -0=0$.

Indeterminació $\dfrac{\infty}{\infty}$: què passa segons els graus?

Si tenim $ \displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{P(n)}{Q(n)} $ comparem els graus de $P$ i $Q$.

Grau del numerador més petit

$\deg P < \deg Q$

El denominador creix més ràpid.

$\boxed{0}$

Els graus empaten

$\deg P = \deg Q$

Només sobreviuen els coeficients principals.

$ \displaystyle \boxed{\frac{a}{b}} $

$a$ i $b$: coeficients dels termes de grau màxim

Grau del numerador més gran

$\deg P > \deg Q$

El numerador creix més ràpid.

$\boxed{\pm\infty}$

El signe depèn dels coeficients dominants.

En realitat, tot surt de la mateixa idea: dividir numerador i denominador per la potència de $n$ de grau més alt.

Indeterminació $\infty-\infty$: fraccions algebraiques

Si tenim una expressió del tipus $ \displaystyle \frac{A(n)}{B(n)}-\frac{C(n)}{D(n)}, $ no podem calcular els dos límits per separat, perquè podria aparèixer la forma $\infty-\infty$.

1. Detectem el problema

Si cada fracció tendeix a $\infty$, la resta és una indeterminació del tipus

$\infty-\infty$

2. Trobem un denominador comú

Si els denominadors són senzills, busquem el mcm.

$ \displaystyle \frac{A}{B}-\frac{C}{D} = \frac{AD-CB}{BD} $

3. Estudiem el nou quocient

Després de simplificar, ja no tenim una resta: tenim una sola fracció algebraica i podem estudiar-ne el límit.

Per tant, la idea clau és: transformar la resta de dues fraccions en una sola fracció.

$\infty-\infty$: exemple amb fraccions algebraiques

Exemple

$$ \lim_{n\to\infty} \left( \frac{n^2+1}{n+1} - \frac{n^2+3}{n+2} \right) $$

Cada fracció tendeix a $\infty$, així que tenim una indeterminació del tipus
$\infty-\infty$

Busquem el denominador comú: $\,(n+1)(n+2)$.

$ \displaystyle \frac{ (n^2+1)(n+2)-(n^2+3)(n+1) }{ (n+1)(n+2) } $

$\longrightarrow$ $ \displaystyle \frac{ n^3+2n^2+n+2 -\left(n^3+n^2+3n+3\right) }{ n^2+3n+2 } $

$\longrightarrow$ $ \displaystyle \frac{ n^2-2n-1 }{ n^2+3n+2 } $

Ara ja no tenim una resta de fraccions: tenim un sol quocient algebraic.

$$ \lim_{n\to\infty} \frac{n^2-2n-1}{n^2+3n+2} $$

Els graus empaten, així que el límit és el quocient dels coeficients principals:

$\displaystyle \boxed{1}$

🏠