Trigonometria

Matemàtiques 1r Batx.

Les raons trigonomètriques

1. Canvia l'angle movent el punt C.
2. Escala amb el lliscador.

$\sin \alpha = $

3.00

5.00

$=$

0.600

$\cos \alpha = $

4.00

5.00

$=$

0.800

$\tan \alpha = $

3.00

4.00

$=$

0.750

El Radiant

$L=K_1\cdot\theta$

$L=K_2\cdot r$

$L=K\cdot\theta\cdot r$

Euclides (Els Elements VI)

"En cercles iguals, els angles tenen la mateixa raó que els arcs sobre els quals s'eleven, tant si estan situats als centres com a les circumferències." $$L=K_1\cdot \theta$$

Si dividim l'arc per l'angle (en graus), obtenim sempre una constant.

$L =$ 6.00

$\theta =$ 120º

$=$

0.052

Radi $r =$ 3.00

* Fixa el radi i mou l'angle per comprovar la constant $K_1$.

Arquimedes (Semblança de Cercles)

L'arc és proporcional al radi:

$$ L=K_2\cdot r $$

Arquimedes (Semblança de Cercles)
Si dividim l'arc pel radi, obtenim sempre una constant.

$L =$ 6.00

$r =$ 3.00

$=$

2.094

Angle $\theta =$ 120º

* Fixa l'angle i mou el radi per comprovar la constant $K_2$. Aquesta constant és precisament l'angle en radiants!

La constant global ($K$)

Com que l'arc és proporcional a l'angle i al radi, ho és al seu producte. Però quant val exactament $K$?

Si treballem amb graus, per a una volta sencera ($\theta = 360^\circ$) sabem que el perímetre és $L = 2\pi r$.

$$ 2\pi r = K \cdot 360^\circ \cdot r \implies K = \frac{2\pi}{360} = \frac{\pi}{180} $$

Una constant molt incòmoda per fer càlculs!

I si definim una nova unitat d'angle on la constant sigui exactament $K = 1$?

$$ L = 1 \cdot \theta \cdot r \implies \theta = \frac{L}{r} $$

Aquesta unitat és el Radiant!

Quant és 1 radiant?

1. Modifica el radi ($r$) per comprovar que l'escala no importa.

2. Plega el cordill verd (que mesura exactament un radi) sobre la circumferència.

$\text{Longitud arc } (L) = r \cdot \theta$

Si $L = r \implies \theta = \mathbf{1 \text{ rad}}$

Radi ($r$) = 2.00

Angle $\theta \approx$ 1.00 rad

Equivalències principals

Sabem que una circumferència sencera ($360^\circ$) té un perímetre de $L = 2\pi r$.

Com que la definició del radiant és $\theta = \frac{L}{r}$, deduïm que:

$$ \theta = \frac{2\pi r}{r} \implies 360^\circ = 2\pi \text{ rad} $$

[Image of a unit circle with degree and radian measures]

Graus	Radiants
$360^\circ$	$2\pi$
$180^\circ$	$\pi$
$90^\circ$	$\displaystyle \frac{\pi}{2}$
$60^\circ$	$\displaystyle \frac{\pi}{3}$
$45^\circ$	$\displaystyle \frac{\pi}{4}$
$30^\circ$	$\displaystyle \frac{\pi}{6}$
$270^\circ$	$\displaystyle \frac{3\pi}{2}$

Extensió del Sinus ($\sin \alpha$)

En la circumferència goniomètrica (radi $r=1$), estenem la definició per a qualsevol angle $\alpha \in [0, 2\pi]$.

El sinus ($\sin \alpha$) es defineix com la projecció vertical (la coordenada $y$) del punt $P$.

Angle $\alpha = $ 0º
$\sin \alpha = $ 0.00

Extensió del Cosinus ($\cos \alpha$)

De la mateixa manera, estenem la definició del cosinus per a qualsevol angle $\alpha \in [0, 2\pi]$.

El cosinus ($\cos \alpha$) es defineix com la projecció horitzontal (la coordenada $x$) del punt $P$.

Angle $\alpha = $ 0º
$\cos \alpha = $ 1.00

Extensió de la Tangent ($\tan \alpha$)

Tracem una recta vertical tangent a la circumferència en el punt $x=1$.

La tangent ($\tan \alpha$) és l'altura del punt de tall entre l'extensió del radi i aquesta recta vertical.

Angle $\alpha = $ 0º
$\tan \alpha = $ 0.00

Angles oposats ($\alpha$ i $-\alpha$)

Angles que difereixen en $\pi$

Angles que difereixen en $\pi/2$ ($90^\circ$)

La funció sinus: $f(x) = \sin(x)$

La funció cosinus: $f(x) = \cos(x)$

Relació entre Sinus i Cosinus (Desfasament)

La funció tangent: $f(x) = \tan(x)$

Límits del Sinus en $x = 0$

$\displaystyle \lim_{x \to 0^-} \sin(x) = \mathbf{0^-}$
(Ens apropem per angle negatiu: projecció sota l'eix)
$\displaystyle \lim_{x \to 0^+} \sin(x) = \mathbf{0^+}$
(Ens apropem per angle positiu: projecció sobre l'eix)

Límits del Sinus en $x = \pi$

$\displaystyle \lim_{x \to \pi^-} \sin(x) = \mathbf{0^+}$
(Angle abans de $\pi$: quadrant II, sobre l'eix)
$\displaystyle \lim_{x \to \pi^+} \sin(x) = \mathbf{0^-}$
(Angle passat $\pi$: quadrant III, sota l'eix)

Límits de $1/\cos(x)$ en $x = 3\pi/2$

$\displaystyle \lim_{x \to (3\pi/2)^-} \frac{1}{\cos(x)} = \frac{1}{0^-} = \mathbf{-\infty}$
$\displaystyle \lim_{x \to (3\pi/2)^+} \frac{1}{\cos(x)} = \frac{1}{0^+} = \mathbf{+\infty}$

El Teorema del Cosinus

Activa les fórmules:

Demostració del Teorema del Cosinus

Pas 0 de 6

Volem trobar el valor de $a^2$ en un triangle qualsevol de costats $a$, $b$ i $c$.

El Teorema del Sinus: De l'angle recte al cas general

Activa les fórmules:

El Teorema del Sinus (Generalització)

Activa les fórmules:

El Teorema del Sinus (Generalització)

Activa les fórmules:

Cap a la fórmula estàndard

Pas 0 de 7

A l'hora de calcular $\sin(A)$, el costat $a$ fa clarament de "catet oposat". Però en un triangle qualsevol... quin costat fa d'hipotenusa?

De fet, tenim dues opcions per escollir la nostra "hipotenusa": el costat $b$ o el costat $c$.

Demostració del Teorema del Sinus

Pas 0 de 4

Volem demostrar la fórmula de la Llei dels Sinus per a un triangle qualsevol de costats $a$, $b$ i $c$.