La Paràbola

Definició geomètrica i lloc geomètric

Prem la fletxa dreta per començar l'exploració

El Repte del Lloc Geomètric

Busquem punts $P$ equidistants al Focus (F) i a la Directriu (d).

Pista: Pots moure el Focus vermell i inclinar la recta des del tirador blau per explorar altres casos!

Fes clic al tauler en blanc per col·locar-hi punts $P$!

Clica al llenç per analitzar la distància d'un punt.

Solució: El lloc geomètric d'aquests punts forma una Paràbola.

Observa com la corba groga de la solució general passa exactament pels punts verds que havies trobat! Mou el punt $M$ sobre la directriu per generar-la.

L'Equació de la Paràbola

1. Identifiquem les distàncies des d'un punt $P(x,y)$ genèric.

Distància a la directriu (Eix X):
$d(P, {\color{#023e8a}d}) = {\color{#023e8a}y}$

Distància al Focus $F(0,p)$ (per Pitàgores):
$d(P, {\color{#d90429}F}) = \sqrt{{\color{#d90429}x}^2 + ({\color{#d90429}y} - {\color{#d90429}p})^2}$

2. Apliquem la definició de la paràbola: igualem les distàncies.

${\color{#023e8a}y} = \sqrt{{\color{#d90429}x}^2 + ({\color{#d90429}y} - {\color{#d90429}p})^2}$

3. Elevem els dos costats al quadrat per eliminar l'arrel.

${\color{#023e8a}y}^2 = {\color{#d90429}x}^2 + ({\color{#d90429}y} - {\color{#d90429}p})^2$

4. Desenvolupem el producte notable (el quadrat del binomi).

${\color{#023e8a}y}^2 = {\color{#d90429}x}^2 + {\color{#d90429}y}^2 - 2{\color{#d90429}p}{\color{#d90429}y} + {\color{#d90429}p}^2$

5. Moment de neteja! Cancel·lem termes idèntics.

y² = x² + y² - 2py + p²

6. Reordenem i aïllem la y. Aquesta és l'equació general!

$2{\color{#d90429}p}y = {\color{#d90429}x}^2 + {\color{#d90429}p}^2$

$y = \frac{{\color{#d90429}x}^2 + {\color{#d90429}p}^2}{2{\color{#d90429}p}}$

La Màgia dels Rebots (Propietat Òptica)

Què passa si llancem un raig paral·lel a l'eix de simetria contra la paret d'una paràbola?

Qualsevol raig vertical que reboti sobre la corba, es desviarà passant exactament pel Focus ($F$).

La Forma Polinòmica

$y = ax^2 + bx + c$

L'equació $y = ax^2 + bx + c$

Avança la diapositiva per veure què fa exactament cadascun d'aquests tres paràmetres de forma aïllada sobre la gràfica de la paràbola.

1. El paràmetre c (Ordenada a l'origen)

Desplaça la paràbola verticalment. Indica el punt on la corba talla l'Eix Y.

Canvia el valor de c: 0.0

2. El paràmetre b (Terme lineal)

Desplaça el Vèrtex però manté el punt de tall amb l'eix Y completament fixat.

Canvia el valor de b: 0.0

3. El paràmetre a (Obertura i sentit)

Canvia la concavitat ($\cup$ o $\cap$) i l'obertura (com més gran, més tancada és la paràbola).

Canvia el valor de a: 1.0

Laboratori de Paràboles!

Prova de combinar-los tots tres alhora.

a: 1.0

b: 0.0

c: 0.0

El Vèrtex

Què és el Vèrtex?

El vèrtex és el punt on la paràbola canvia de direcció:

Si $a > 0$, les branques van cap amunt (mínim).
Si $a < 0$, les branques van cap avall (màxim).

a: 1.0

Prem la fletxa DRETA (→) per deduir la seva posició pas a pas.