De la Geometria de l'Espai a la Geometria Plana
Talla el con i descobreix-ne la veritable magnitud geomètrica.
Començarem per la cònica més senzilla.
Per definir-la ens calen dos elements bàsics:
Imaginem un punt qualsevol de l'espai, anomenem-lo $P(x, y)$.
Pregunta: Quina condició exacta i matemàtica ha de complir aquest punt per poder formar part de la circumferència?
Exacte! La condició és l'equidistància.
Tots els punts $P$ de la circumferència han d'estar exactament a distància $R$ del centre.
I com traduïm aquesta distància a una equació amb $x$ i $y$?
El mòdul del vector $CP$ ha de ser $R$.
Deduiu l'equació d'una circumferència de radi $R$ i comproveu-la dibuixant-la a Geogebra.
Tota paràbola neix de dos elements fixos al pla:
Obrim el compàs una distància qualsevol $r$.
Punxem al Focus i tracem un arc per trobar tots els punts del pla que estan a distància $r$ d'ell.
Ara busquem els punts que estiguin a aquesta mateixa distància $r$ de la recta.
Trancem una línia paral·lela a la Directriu.
El punt d'intersecció!
Aquest punt $P$ pertany a la paràbola perquè compleix l'equidistància màgica:
El lloc geomètric:
Arrossega el lliscador superior per obrir i tancar el compàs (modificar la distància $r$).
La unió de tots els punts $P$ genera la paràbola perfecta!
L'el·lipse és la "germana gran" de la circumferència.
En comptes d'un centre, en té dos, que anomenem Focus ($F_1$ i $F_2$).
La regla d'or de l'el·lipse és que la suma de les distàncies des de qualsevol punt als dos focus sempre és constant.
Mètode 1: Regla i Compàs
Si sabem que la suma total ha de ser 10, i obrim el compàs a una distància $r$ per a $F_1$...
Quina obertura necessitem per a l'arc des de $F_2$ per completar la suma?
Exacte! L'obertura de l'altre compàs serà 10 - $r$.
On els dos arcs es tallen, hi tenim un punt perfecte de l'el·lipse.
Mou el lliscador per veure com es troben diferents punts del pla!
Mètode 2: El Cordill (o del Jardiner)
Per trobar tots els punts de cop sense fer servir el compàs, podem lligar un cordill als focus i tensar-lo amb un llapis.
Mou el punt $P$ amb el ratolí! Fixa't com canvia cada tros de cordill, però la suma total es manté 10.
El Lloc Geomètric:
Tots els punts per on passa el cordill tensat formen l'el·lipse!
Pots seguir movent el punt per veure com ressegueix perfectament el lloc geomètric dibuixat.