Probabilitat

L'atzar sota el rigor de la mesura

Formació d'Aprofundiment en Probabilitat per a Professorat

"Déu no juega als daus amb l'univers."

— Albert Einstein

1. El Determinisme Clàssic

Durant segles hem cregut en un univers predictible: si coneguéssim la posició i velocitat de cada partícula, el futur seria cert.

L'atzar seria només la nostra ignorància sobre les condicions inicials (com el llançament d'un dau clàssic).

2. L'Atzar Quàntic i el Test de Bell

La física moderna (Bell, Aspect) va demostrar que la natura, en el seu nivell més fonamental, és intrínsecament aleatòria.

No és que ens falti informació; és que el resultat no està escrit enlloc fins que es mesura.

3. Un nou paradigma matemàtic

Per tant, la probabilitat deixa de ser un simple pegat per a la nostra ignorància humana.

Es converteix en el llenguatge fonamental de la realitat.

Esquema de The BIG Bell Test (Novembre 2016)

1. El problema de la "Llibertat d'Elecció"

Per comprovar les desigualtats de Bell, calia decidir com mesurar les partícules de forma totalment aleatòria i a l'instant.

Si es feia amb màquines, quedava un dubte teòric: i si la màquina no era atzarosa sinó que obeïa a les "variables ocultes" d'Einstein?

2. The BIG Bell Test (ICFO)

L'any 2016, l'ICFO (Castelldefels) va coordinar un experiment global. La idea? Fer servir el lliure albir humà!

Més de 100.000 voluntaris (inclosos instituts de Catalunya) van fer de Bellsters.

A través d'un videojoc, teclejaven seqüències de 0s i 1s per generar un atzar impredictible que s'enviava a laboratoris d'arreu del món.

3. L'univers és probabilístic

Els resultats van violar les desigualtats de Bell sistemàticament. L'atzar absolut existeix i l'univers quàntic és probabilístic.

"Challenging local realism with human choices"
Nature 557, 212–216 (2018).

Llançament d'un dau cúbic (6 elements)

1. Definició i El Dau

L'Espai Mostral ($E$) és el conjunt de tots els resultats possibles d'un experiment aleatori.

Exemple: El Dau

Llançar un dau cúbic i mirar la cara superior.

$E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$

2. Exemple: Tres iogurts

Experiment: Una persona prova 3 iogurts (A, B i C) i els ordena.

El resultat depèn de l'ordre... Són les permutacions de 3 elements!

$E = \left\{ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA\right\}$

3. Exemple: Dues monedes

Experiment: Llançar dues monedes a l'aire.

$E = \{(CC), \mathbf{(C+)}, \mathbf{(+C)}, (++)\}$

Són iguals $C+$ i $+C$?

Les tractem com a diferents (o llançades en ordre) per garantir que els 4 resultats tinguin la mateixa probabilitat ($\frac{1}{4}$).

4. Exemple: Moneda i Dau

Experiment (Asimètric):

Llancem una moneda.
Si surt Cara ($C$), tornem a llançar moneda.
Si surt Creu ($+$), llancem un dau.

$E = \{CC, C+, +1, +2, +3, +4, +5, +6\}$

Qualsevol subconjunt d'E és un succés

1. Què és un Succés o Esdeveniment?

És qualsevol subconjunt de l'espai mostral ($E$) d'un experiment aleatori.

Dit d'una altra forma: és qualsevol resultat (o conjunt de resultats) possible que puguem enunciar o que ens interessi mesurar.

Exemple amb un dau:

Si $E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$, un succés pot ser "Treure parell".

$A = \{2, 4, 6\}$

2. Tipus de Successos (I)

Succés elemental o simple:
És un únic element de l'espai mostral.
Ex: "Treure un 3" $\rightarrow \{3\}$
Succés compost:
Engloba més d'un element de l'espai mostral.
Ex: "Treure més de 4" $\rightarrow \{5, 6\}$

3. Tipus de Successos (II)

Succés segur:
Tindrà lloc sempre. Inclou absolutament tot. És exactament igual a l'espai mostral ($E$).
Succés impossible:
No tindrà lloc mai, cap element el compleix. És igual al conjunt buit ($\emptyset$).

4. Exemple pràctic: Dues monedes

L'experiment de llançar dues vegades una moneda té com a espai mostral:

$E = \{(CC), (C+), (+C), (++)\}$

$A =$ "obtenir dues creus"
$A = \{(++)\}$ $\rightarrow$ Succés elemental.
$B =$ "obtenir, mínim, una cara"
$B = \{(CC), (C+), (+C)\}$ $\rightarrow$ Succés compost.

A = Més de 8 | B = Entre 6 i 11

1. Intersecció ($A \cap B$)

Es llegeix "A i B". Són els elements que compleixen les DUES condicions alhora (es troben a $A$ i a $B$).

Exemple: Suma de dos daus

$A$ = "treure més de 8" = $\{9, 10, 11, 12\}$
$B$ = "treure entre 6 i 11" = $\{6, 7, 8, 9, 10, 11\}$

$A \cap B = \{9, 10, 11\}$

2. Unió ($A \cup B$)

Es llegeix "A o B". Conté els elements que es troben a $A$, a $B$ o a ambdós. Consisteix en ajuntar-los tots (sense repetir-los).

Apareix associada a expressions com "alguna" o "com a mínim una".

$A \cup B = \{6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}$

3. Contrari o Complementari ($\overline{A}$)

Es llegeix "no A". És el format per TOTS els elements de l'espai mostral ($E$) que NO pertanyen a $A$.

Sabem que $A \cup \overline{A} = E$.

Si $A$ és "treure més de 8", llavors $\overline{A}$ és "treure 8 o menys":

$\overline{A} = \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$

Visualització de les negacions

Les Lleis de Morgan

Ens permeten relacionar el contrari de les unions i interseccions. Són vitals per resoldre problemes!

1a Llei: Negació de la unió

$\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$

"El contrari d'ALGUN és NINGÚ (ni A ni B)". Es pinta tot allò que queda fora dels cercles.

Les Lleis de Morgan

Ens permeten relacionar el contrari de les unions i interseccions. Són vitals per resoldre problemes!

2a Llei: Negació de la intersecció

$\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$

"El contrari de TOTS DOS ALHORA és QUE FALLI ALMENYS UN DELS DOS". Es pinta tot l'espai excepte la zona on es creuen.

S = Spotify | I = Instagram

Traducció a l'Àlgebra de Successos

Triem una persona a l'atzar. Siguin els successos $S$ = Spotify, i $I$ = Instagram:

Utilitza alguna de les dues: $S \cup I$
Spotify SÍ, però Instagram NO: $S \cap \overline{I}$
No utilitza CAP de les dues:
$\overline{S} \cap \overline{I} = \overline{S \cup I}$
NOMÉS n'utilitza una:
$(S \cap \overline{I}) \cup (\overline{S} \cap I)$

Cercles disjunts = Intersecció buida

Successos Incompatibles

Diem que dos successos són incompatibles si no tenen cap element en comú i, per tant, és impossible que tinguin lloc a la vegada.

$A \cap B = \emptyset$

Exemple: Parell vs Senar

$A$ = "treure parell" = $\{2, 4, 6, 8, 10, 12\}$
$B$ = "treure senar" = $\{3, 5, 7, 9, 11\}$

$A$ i $B$ no poden passar alhora. Els seus cercles no es toquen.

La mesura de l'esperabilitat

La Probabilitat és una branca de les matemàtiques que busca mesurar de forma objectiva l'atzar.

Assignem a cada succés ($S$) d'un experiment aleatori un nombre real comprès entre 0 i 1 per indicar quina "esperança" o certesa tenim que passi.

$0 \le P(S) \le 1$

Succés impossible: $P = 0$ (0%)

Succés segur: $P = 1$ (100%)

Tirades totals (N): 0

El Mètode de la Freqüència Relativa

Quan podem repetir un experiment infinites vegades en condicions idèntiques, la proporció de vegades (o freqüència relativa) que té lloc un determinat resultat és una estimació de la probabilitat d'aquest resultat.

$P(S) = \lim_{N \to \infty} f_r(S)$

Quan no podem repetir l'experiment

A la vida real ens trobem amb situacions úniques on no podem calcular la probabilitat matemàticament ni podem fer servir la Llei dels Grans Nombres.

(Ja que l'experiment no es pot repetir o és molt costós de repetir).

L'exemple de l'esquerda:

Ha aparegut una esquerda greu al sostre d'un edifici històric. Quina és la probabilitat que el sostre caigui? Evidentment, no podem ensorrar l'edifici mil vegades per mirar què passa.

En aquests casos, els experts avaluen la situació i donen un valor estimat basat en el seu coneixement (ex: "Hi ha un 80% de probabilitat d'esfondrament"). És una mesura molt rigorosa però subjectiva.

La Llei de Laplace

Quan tots els resultats possibles d'un experiment tenen exactament la mateixa probabilitat de sortir (són equiprobables), apliquem la regla fonamental:

$P(A) = \frac{\text{Casos Favorables}}{\text{Casos Possibles}}$

L'experiment de l'urna

Són idèntiques al tacte. Les remenem bé i en traiem una a l'atzar.

La pregunta:
Quina és la probabilitat d'extreure una bola que sigui de color VERMELL?

Comptem i calculem

Possibles: 10 boles en total a l'urna.
Favorables: 3 boles són vermelles.

$P(\text{Vermella}) = \frac{\color{#ef4444}{3}}{\color{#334155}{10}}$

De comptar a mesurar

A l'urna podíem comptar boles fàcilment.

Però imaginem que ara llancem un dard completament a cegues contra aquesta diana quadrada de $20\text{x}20$ cm.

El problema dels espais continus

L'espai mostral és continu. Això vol dir que hi ha infinits punts on el dard es pot clavar.

Si els "casos possibles" són infinits... com fem la divisió de Laplace sense que ens doni zero?

El concepte de "Mesura"

La solució és substituir la quantitat aïllada per la idea d'extensió matemàtica o Mesura.

$P(S) = \frac{\text{Mesura}(S)}{\text{Mesura}(E)}$

Tipus de mesures

Temps (ex: esperar l'autobús)
Longitud (ex: probabilitat de tallar un cable)
Àrea o Volum.

En la nostra diana plana, la "mesura" natural és l'Àrea. Volem encertar al centre vermell (radi $r=4$ cm):

Mesura($E$): Àrea del quadrat $\rightarrow 20 \cdot 20 = \mathbf{400 \text{ cm}^2}$
Mesura($S$): Àrea del cercle $\rightarrow \pi \cdot 4^2 \approx \mathbf{50,3 \text{ cm}^2}$

Com que el dard cau a qualsevol lloc de manera equiprobable, la probabilitat és directament proporcional a l'àrea:

$P(\text{Diana}) = \frac{\color{#ef4444}{50,3}}{\color{#0ea5e9}{400}} \approx \mathbf{0,126}$

1. Probabilitat del succés impossible

$P(\emptyset) = 0$

El succés impossible, per definició, no pot passar. Per exemple, si llancem un dau de 6 cares numerades de l'1 al 6, és impossible que surti un $7$.

1. Probabilitat del succés impossible

Observació important: Que un succés tingui probabilitat 0 no el fa impossible! En mesures contínues, la probabilitat de triar a l'atzar algú que mesuri EXACTAMENT $1.750000...$m és $0$, però no és pas un succés impossible.

2. Probabilitat de tot l'espai mostral

$P(E) = 1$

Dins l'espai mostral hi tenim tot el que es considera possible. Per tant, la probabilitat que passi algun dels successos del conjunt és del $100\%$, és un fet segur.

2. Probabilitat de tot l'espai mostral

Observació important: A l'inrevés no funciona! Probabilitat 1 no implica que sigui totalment segur. (Exemple: la probabilitat de triar un nombre irracional d'entre tots els reals és 1, però podries ensopegar per casualitat amb un de racional).

3. Probabilitat del succés contrari

$P(\overline{A}) = 1 - P(A)$

Si la probabilitat del total és 1, la probabilitat que NO passi una cosa és complementar el que falta fins a 1. D'aquí es dedueix que $P(A \cup \overline{A}) = 1$.

3. Probabilitat del succés contrari

Truc Molt Important!

Sovint és més senzill calcular que no passi una cosa. Per exemple, si ens demanen la probabilitat que n'hi hagi "almenys un", és molt més ràpid calcular la probabilitat de "cap" i restar-ho a 1.

4. Probabilitat de la unió ("O")

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

$P(A)$

$P(B)$

Provisional

S'ha sumat la intersecció dues vegades (una amb $A$ i una amb $B$). Cal restar-la un cop.

4. Probabilitat de la unió (Intersecció)

Alerta!

En general no hi ha fórmula directa per deduir la intersecció $P(A \cap B)$ només sabent $P(A)$ i $P(B)$. Només podrem fer-ho fàcilment si són successos independents (que ho veurem properament).

El problema directe

En una classe de $n$ alumnes, quina és la probabilitat que almenys dos facin els anys el mateix dia?

Un càlcul gairebé impossible:
Si ho ataquem de cara, hauríem de sumar els casos on coincideixen exactament 2, exactament 3, dues parelles diferents... Un laberint combinatori!

L'estratègia del contrari

Quan llegim la paraula "almenys", pensa automàticament en el succés contrari ($\overline{A}$).

Quin és el contrari d'"almenys dos coincideixen"?
El contrari és que absolutament tots hagin nascut en un dia diferent.

$P(\text{Coincidència}) = 1 - P(\text{Tots Diferents})$

Per calcular que tots neixin en dies diferents, comptarem casos:

Casos Possibles: Cada alumne pot néixer en qualsevol dels 365 dies. En total hi ha $\mathbf{365^n}$ combinacions de naixements.
Casos Favorables: El 1r té 365 dies, el 2n en té 364 (per no coincidir), el 3r en té 363... fins a l'alumne $n$ que té $(365 - n + 1)$ opcions.

$P(\text{Diferents}) = \frac{365 \cdot 364 \cdot 363 \cdots (365-n+1)}{365^n}$

Probabilitat que dos coincideixin:
50.73%

El resultat final

Restem aquesta fracció d'1 i tenim la probabilitat buscada.

$P(A) = \mathbf{1 -} \left( \frac{365 \cdot 364 \cdots (365-n+1)}{365^n} \right)$

La paradoxa en acció

Un resultat antintuïtiu:
Amb només 23 persones, ja superem la frontera del 50% de probabilitat. A partir de 50 alumnes, la coincidència és gairebé del 100%!

L'experiment del nombre real

Imaginem un experiment aleatori que consisteix a triar un nombre real ($x$) a l'atzar dins de l'interval $[0, 1]$.

Quina és la probabilitat que el nombre triat sigui Racional ($\mathbb{Q}$)?

Diferents mides d'infinit

Per respondre, cal recordar una propietat fascinant de les matemàtiques:

Els naturals ($\mathbb{N}$), enters ($\mathbb{Z}$) i racionals ($\mathbb{Q}$) formen conjunts numerables. Són infinits, però podríem arribar a "llistar-los" un darrere l'altre (com si fossin punts aïllats).
En canvi, els nombres irracionals (decimals infinits sense patró, com $\sqrt{2}/2$ o $\pi/4$) són no numerables. Són un infinit d'un ordre superior que omple tot el "continu" de la recta.

El càlcul de la mesura

Com que els racionals són només "punts solts" infinitament fins i sense amplada dins del continu de la recta, la seva longitud total sumada és absolutament nul·la. És a dir, la "mesura" de $\mathbb{Q}$ és $0$.

Si apliquem la Llei de Laplace per a mesures contínues:

$P(\text{Racional}) = \frac{\text{Mesura}(\mathbb{Q})}{\text{Mesura}([0,1])} = \frac{0}{1} = 0$

La gran paradoxa resolta

Acabem de deduir matemàticament que $P(\text{Racional}) = 0$. Però atenció: si l'atzar fa que triem justament el nombre $0.5$ (que és racional), el succés s'haurà complert!

Un succés amb Probabilitat 0 NO és necessàriament Impossible (és "gairebé impossible").
Pel succés contrari, $P(\text{Irracional}) = 1$, però NO és un succés Segur (ja que podríem treure un racional i fallar).