Rectes al pla

L'Equació Explícita d'una Recta

Fins ara coneixem les rectes com a funcions. Donats dos punts, podem trobar l'equació explícita de la recta que els uneix:

$$ y = mx + n $$

  • $m$: Pendent de la recta.
  • $n$: Ordenada a l'origen.

👉 Mou els punts $A$ i $B$. Què passa amb l'equació si poses els dos punts en vertical (un damunt de l'altre)?

L'Equació Vectorial de la Recta

Per evitar els problemes de les rectes verticals, podem definir qualsevol recta usant vectors!

Només necessitem:

  • Un punt de pas $A$.
  • Un vector director $\vec{v}$.

$$ P = A + k \cdot \vec{v} $$

👉 Mou el lliscador $k$ per allargar o escurçar el vector verd. Observa com el punt $P$ dibuixa la recta!

De Vectorial a Explícita (Teoria)

$\mathbf{P = A + k \cdot \vec{v}} \quad \xrightarrow{\text{vull trobar}} \quad \mathbf{y = mx + n}$
1. $m = \frac{v_y}{v_x}$
2. $n = a_y - m \cdot a_x$
3. $y = mx + n$

Coneixem un punt de pas $A(a_x, a_y)$ i un vector director $\vec{v}=(v_x, v_y)$.

👉 Prem la fletxa per veure com trobar la $m$ i la $n$ pas a pas.

Pas 1: Trobem el pendent ($m$)

El pendent el podem deduir directament del vector director $\vec{v}=(v_x, v_y)$, dividint l'avanç vertical entre l'horitzontal:

Pas 1: Trobem el pendent ($m$)

$$ m = \frac{v_y}{v_x} $$
⚠️ Alerta! Si $v_x = 0$, la divisió no es pot fer (recta vertical). L'equació explícita no existeix per aquestes rectes.

Pas 2: Trobem l'ordenada a l'origen ($n$)

Com que la recta passa pel punt de pas $A(a_x, a_y)$, aquest punt ha de complir l'equació $y = mx + n$.

Substituïm les coordenades del punt i aïllem la $n$:

$$ a_y = m \cdot a_x + n \quad \implies \quad n = a_y - m \cdot a_x $$

Estructura Final

Ja tenim els dos elements necessaris per escriure l'equació:

$$ y = mx + n $$

Posició Relativa (Explícita)

✂️ Secants
Tenen diferent pendent i per tant es tallen en un únic punt.
$$ m_1 \neq m_2 $$

👉 Mou els lliscadors per igualar els pendents ($m$) o les ordenades ($n$).

Posició Relativa (Vectorial)

✂️ Secants
Els vectors directors tenen diferent direcció. Per tant, les rectes es tallen en un punt.
$$ \frac{u_y}{u_x} \neq \frac{v_y}{v_x} $$

👉 Mou els vectors a l'origen ($\vec{u}, \vec{v}$) o els punts de pas ($A, B$).

Punt de Tall (Explícita)

Els punt de tall han de complir les dues equacions a la vegada. Caldrà resoldre el sistema:

$$ \begin{cases} y = m_1 x + n_1 \\ y = m_2 x + n_2 \end{cases} $$

Pot ser únic, n'hi pot haver infinits o bé cap.

👉 Mou els pendents ($m$) i ordenades ($n$) per comprovar-ho.

🎯 Única Solució
Són rectes secants. El sistema ens donarà com a resultat les coordenades $(x, y)$ de l'únic punt on es tallen.

Punt de Tall (Vectorial)

Per trobar un punt de tall exacte, hem d'igualar les coordenades de les dues rectes. Caldrà resoldre l'equació vectorial:

$ A+ k\cdot\vec{u}=B+t\cdot \vec{v} $

Aquest és un sistema d'equacions on les incògnites són els paràmetres $k$ i $t$. Si el resolem, sabrem quant ens hem de moure per cada recta per trobar-nos.

👉 Mou els lliscadors inferiors ($k$ i $t$) per conduir els punts fins a fer-los xocar!

🚂 Viatjant...
Els punts $P_1$ i $P_2$ tenen coordenades diferents. Ajusta la $k$ i la $t$ per fer-los coincidir al punt de tall.