2 Funcions
2 Funcions
2.1 Imatge i antiimatge
2.1.1
Digueu quines de les gràfiques de les següents funcions passen pel punt \((1,-1)\):
\(f(x)=x^2-1\)
\(f(x)=-\frac{\sqrt{x^2+3}}{2}\)
\(f(x)=x^4-2x^2+3x-2\)
2.1.2
Trobeu el valor de \(a\) per tal que la funció \[\begin{equation*} f(x)=\frac{2x+a}{x^2+4} \end{equation*}\] passi pel punt \((-1,3)\).
2.2 Domini, punts de tall
2.2.1
Trobeu el domini i els punts de tall amb els eixos de les següents funcions
\(f(x)=\frac{2x+3}{x^2+1}\)
\(f(x)=\frac{2x+1}{x^2-3x+2}\)
\(f(x)=\sqrt{2x+4}\)
\(f(x)=\sqrt{x^2-4}\)
\(f(x)=\sqrt[3]{x^2-3x+2}\)
2.2.2
Trobeu els dominis i els punts de tall de les següents funcions
\(f(x)=\sqrt{\frac{x+3}{x-1}}\)
\(f(x)=\sqrt{\frac{x^2+x-6}{x+1}}\)
2.2.3
Discutiu segons els valors del paràmetre \(b\) el domini i els punts de tall amb els eixos de la següent funció \[\begin{equation*} f(x)=\frac{x^2-4}{x^{2}+bx+1} \end{equation*}\]
2.2.4
Trobeu el domini de la funció \[\begin{equation*} f(x)=\sqrt{x^3 - 4 x^2 + x + 6} \end{equation*}\]
El radicand ha de ser positiu o nul. Busquem arrels del polinomi \(P(x) = x^3 - 4 x^2 + x + 6\). Com és de grau 3 buscarem arrels enteres. Els candidats són els divisors del terme independent (\(6\)): \(\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6\).
Provem, per Ruffini, amb \(x=-1\):
Com que el residu és \(0\), \(-1\) és una arrel. El polinomi resultant és \(x^2 - 5x + 6\). Ara trobem les altres arrels resolent l’equació de segon grau: \[x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2} \implies \begin{cases} x_2 = 3 \\ x_3 = 2 \end{cases}\] Les arrels són \(-1, 2\) i \(3\). Situem aquests punts a la recta real i estudiem el signe del polinomi en cada interval resultant:
El domini és la unió dels intervals on el radicand és positiu o nul: \[\text{Dom}(f) = [-1, 2] \cup [3, +\infty)\]
2.2.5
Trobeu el domini de la funció \[\begin{equation*} f(x)=\frac{2x}{x^5 - 5 x^4 + 9 x^3 - 15 x^2 + 18 x} \end{equation*}\]
El domini d’una funció racional són tots els reals excepte els valors que anul·len el denominador. Hem de resoldre l’equació \(x^5 - 5 x^4 + 9 x^3 - 15 x^2 + 18 x = 0\).
Primer, traiem factor comú \(x\): \[x(x^4 - 5 x^3 + 9 x^2 - 15 x + 18) = 0\] Ja tenim la primera arrel: \(x_1 = 0\).
Ara busquem les arrels del polinomi de grau 4: \(Q(x) = x^4 - 5 x^3 + 9 x^2 - 15 x + 18\). Els divisors del terme independent (\(18\)) són \(\pm 1, \pm 2, \pm 3, \dots\) Comencem provant amb el candidat més senzill, \(x=1\):
\[ \begin{array}{r|rrrrr} & 1 & -5 & 9 & -15&18 \\ 1 & & 1 & -4 & 5 &-10\\ \hline & 1 & -4 & 5 & -10&8 \end{array} \]
Com veiem, el residu és \(8 \neq 0\), per tant \(x=1\) no és arrel. Provem amb el següent candidat, \(x=2\):
Aquí el residu és \(0\), així que \(x_2 = 2\) sí que és arrel. El polinomi es redueix a \(x^3 - 3x^2 + 3x - 9\). Continuem aplicant Ruffini sobre aquest resultat, provant ara amb \(x=3\): \[ \begin{array}{r|rrrrr} & 1 & -5 & 9 & -15&18 \\ 3 & & 3 & -6 & 9 &-18\\ \hline & 1 & -2 & 3 & -6&0 \end{array} \]
El residu és \(0\), per tant \(x_3 = 3\) és arrel. El quocient resultant és \(x^2 + 3\). Si l’igualem a 0: \[x^2 + 3 = 0 \implies x^2 = -3 \implies x = \pm\sqrt{-3} \notin \mathbb{R}\] Aquesta part no té solucions reals.
Per tant, els punts a excloure del domini són \(0, 2\) i \(3\). Representem la recta real amb aquests punts buits:
Finalment, el domini és: \[\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{0, 2, 3\}\]
2.2.6
Trobeu el domini i els punts de tall de les següents funcions
- \(\displaystyle f(x)= \begin{dcases} \frac{1}{x^2-1}&\text{si }x<1\\ \frac{x^2-4}{x-3} \end{dcases}\)
2.3 Funcions a trossos
2.3.1
Trobeu el domini i els punts de tall amb els eixòs de la següent funció \[\begin{equation*} f(x)= \begin{dcases} \sqrt{x^2+x-6}&\text{si }x\le 1\\ \frac{x^2-4x+4}{x^2-x-2}&\text{si }x\ge 1 \end{dcases} \end{equation*}\]
2.3.2
Feu la gràfica de la següent funció: \[\begin{equation*} f(x)= \begin{dcases} 2x-3&\text{si }x<2\\ x^2-6x+7&\text{si }x\ge 2 \end{dcases} \end{equation*}\]
2.4 Factorització de polinomis
2.4.1
Considereu el polinomi: \[\begin{equation*}
p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots +a_nx^n
\end{equation*}\] amb \(a_i\) coeficients enters.
Demostreu que, si \(x=c\) és una arrel entera de \(p(x)\), aleshores \(c\) divideix \(a_0\).
2.4.2
Factoritzeu els segünets polimonis i comproveu el resultat desfent els parèntesis de la factorització:
\(p(x)=x^2-2x+1\)
\(p(x)=x^2-4\)
\(p(x)=3x^2-6x-9\)
\(p(x)=x^4-x^3-2x^2\)
2.4.3
Trobeu el residu i el quocient de les següents divisions. Comproveu la relació entre els 4 polinomis implicats (divident, divisor, quocient i residu).
\(\left( x^2-2x+3 \right):(x^2+4)\)
\((x^4-x^3+2x^2+1):(x^2-2x+1)\)
\((x^4+x^3+x^2+x+1):(x)\)
\((x^6+x^4+2x^3+x^2):(x^2)\)
Trobem el quocient i el residu i comprovem la relació \(D = d \cdot q + r\).
\((x^2 - 2x + 3) : (x^2 + 4)\)
Fem la divisió: \[ \begin{array}{rl} \begin{array}[t]{r@{\;}rrr} & x^2 & -2x & +3 \\ - & x^2 & & +4 \\ \hline & & -2x & -1 \end{array} & \begin{array}[t]{l} \begin{array}{|l} x^2 + 4 \\ \hline \end{array} \\[-2.5ex] 1 \end{array} \end{array} \] Resultat: \(q(x) = 1\), \(r(x) = -2x - 1\).
Comprovació: \((x^2 + 4) \cdot 1 + (-2x - 1) = x^2 - 2x + 3 \quad \checkmark\)\((x^4 - x^3 + 2x^2 + 1) : (x^2 - 2x + 1)\)
Fem la divisió: \[ \begin{array}{rl} \begin{array}[t]{r@{\;}rrrrr} & x^4 & -x^3 & +2x^2 & & +1 \\ - & x^4 & -2x^3 & +x^2 & & \\ \hline \\[-2.5ex] & & x^3 & +x^2 & & +1 \\ - & & x^3 & -2x^2 & +x & \\ \hline \\[-2.5ex] & & & 3x^2 & -x & +1 \\ - & & & 3x^2 & -6x & +3 \\ \hline \\[-2.5ex] & & & & 5x & -2 \end{array} & \begin{array}[t]{l} \begin{array}{|l} x^2 - 2x + 1 \\ \hline \end{array} \\[-2.5ex] x^2 + x + 3 \end{array} \end{array} \] Resultat: \(q(x) = x^2 + x + 3\), \(r(x) = 5x - 2\).
Comprovació: \((x^2 - 2x + 1)(x^2 + x + 3) + (5x - 2) = x^4 - x^3 + 2x^2 + 1 \quad \checkmark\)\((x^4 + x^3 + x^2 + x + 1) : x\)
Simplifiquem la fracció directament: \[\frac{x^4 + x^3 + x^2 + x + 1}{x} = x^3 + x^2 + x + 1 + \frac{1}{x}\] Quocient: \(q(x) = x^3 + x^2 + x + 1\), Residu: \(r(x) = 1\).\((x^6 + x^4 + 2x^3 + x^2) : x^2\)
Simplifiquem: \[\frac{x^6 + x^4 + 2x^3 + x^2}{x^2} = x^4 + x^2 + 2x + 1\] Quocient: \(q(x) = x^4 + x^2 + 2x + 1\), Residu: \(r(x) = 0\).
2.4.4
Factoritzeu els següents polinomis utilitzant la regla de Ruffini per trobar les arrels enteres:
\(p(x)=x^3 - 2x^2 - x + 2\)
\(p(x)=x^3 + 4x^2 + x - 6\)
\(p(x)=x^4 - 5x^2 + 4\)
\(p(x)=2x^3 - 3x^2 - 3x + 2\)
\(p(x)=x^3 - 7x + 6\)
\(p(x)=x^3 - 3x - 2\)
\(p(x)=x^3 - 6x^2 + 11x - 6\)
\(p(x)=x^4 - 13x^2 + 36\)
\(p(x)=x^3 - 2x^2 - x + 2\). Provem amb \(x=1\): \[ \begin{array}{r|rrrr} & 1 & -2 & -1 & 2 \\ 1 & & 1 & -1 & -2 \\ \hline & 1 & -1 & -2 & 0 \end{array} \] Queda \(x^2-x-2\). Factoritzant: \((x-1)(x+1)(x-2)\).
\(p(x)=x^3 + 4x^2 + x - 6\). Provem amb \(x=1\): \[ \begin{array}{r|rrrr} & 1 & -4 & 1 & 6 \\ -1 & & -1 & 5 & -6 \\ \hline & 1 & -5 & 6 & 0 \end{array} \] Queda \(x^2+5x+6\) de quocient i residu 0. Factoritzant: \((x-1)(x+2)(x+3)\).
\(p(x)=x^4 - 5x^2 + 4\). Provem amb \(x=1\): \[ \begin{array}{r|rrrrr} & 1 & 0 & -5 & 0 & 4 \\ 1 & & 1 & 1 & -4 & -4 \\ \hline & 1 & 1 & -4 & -4 & 0 \end{array} \] Seguim factoritzant el quocient \(x^3+x^2-4x-4\). Arrels finals: \((x-1)(x+1)(x-2)(x+2)\).
\(p(x)=2x^3 - 3x^2 - 3x + 2\). Provem amb \(x=-1\): \[ \begin{array}{r|rrrr} & 2 & -3 & -3 & 2 \\ -1 & & -2 & 5 & -2 \\ \hline & 2 & -5 & 2 & 0 \end{array} \] Queda \(2x^2-5x+2\). Resolem l’equació de 2n grau (\(x=2, x=1/2\)). Factorització: \((x+1)(x-2)(2x-1)\).
\(p(x)=x^3 - 7x + 6\). (Observa que falta el terme \(x^2\), Ruffini posarà un 0). Provem amb \(x=1\): \[ \begin{array}{r|rrrr} & 1 & 0 & -7 & 6 \\ 1 & & 1 & 1 & -6 \\ \hline & 1 & 1 & -6 & 0 \end{array} \] Queda \(x^2+x-6\). Factoritzant: \((x-1)(x-2)(x+3)\).
\(p(x)=x^3 - 3x - 2\). Provem amb \(x=-1\): \[ \begin{array}{r|rrrr} & 1 & 0 & -3 & -2 \\ -1 & & -1 & 1 & 2 \\ \hline & 1 & -1 & -2 & 0 \end{array} \] Queda \(x^2-x-2\). Factoritzant: \((x+1)^2(x-2)\).
\(p(x)=x^3 - 6x^2 + 11x - 6\). Provem amb \(x=1\): \[ \begin{array}{r|rrrr} & 1 & -6 & 11 & -6 \\ 1 & & 1 & -5 & 6 \\ \hline & 1 & -5 & 6 & 0 \end{array} \] Queda \(x^2-5x+6\). Factoritzant: \((x-1)(x-2)(x-3)\).
\(p(x)=x^4 - 13x^2 + 36\). Biquadrada. Provem amb \(x=2\): \[ \begin{array}{r|rrrrr} & 1 & 0 & -13 & 0 & 36 \\ 2 & & 2 & 4 & -18 & -36 \\ \hline & 1 & 2 & -9 & -18 & 0 \end{array} \] Si seguim factoritzant: \((x-2)(x+2)(x-3)(x+3)\).
2.5 Operacions amb funcions
2.5.1
Considereu les funcions \[\begin{equation*} f(x)=\frac{x^2-5x+4}{x^3-7x-6}\quad g(x)=\sqrt{x^2-4} \end{equation*}\]
Trobeu el domini de \(f\) i \(g\)
Trobeu els punts de tall de \(f\) i \(g\) amb els eixos.
Trobeu el domini i els punts de tall de les funcions \((f\cdot g)(x)\) i \((f/g)(x)\)
Trobeu el domini i els punts de tall de les funcions \[\begin{equation*} h(x)= \begin{dcases} f(x)&\text{si }x\le -1\\ g(x)&\text{si } x>-1 \end{dcases} \quad i(x)= \begin{dcases} (f\cdot g)&\text{si } x<0\\ (f/g)&\text{si }x\ge 0 \end{dcases} \end{equation*}\]
- Dominis de \(f\) i \(g\)
Per a \(f(x)\), el denominador no pot ser nul. Busquem les arrels de \(x^3 - 7x - 6\). Provem amb els divisors de 6 (\(\pm 1, \pm 2, \dots\)). Provem \(x=-1\):
El residu és 0. Resolem l’equació de 2n grau resultant \(x^2 - x - 6 = 0\): \[x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4(1)(-6)}}{2} = \frac{1 \pm 5}{2} \implies \begin{cases} x = 3 \\ x = -2 \end{cases}\] Les arrels del denominador són \(\{-2, -1, 3\}\). \[\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{-2, -1, 3\}\]
Per a \(g(x)\), el radicand ha de ser no negatiu: \(x^2 - 4 \ge 0 \implies x^2 \ge 4 \implies |x| \ge 2\). \[\text{Dom}(g) = (-\infty, -2] \cup [2, +\infty)\]
- Punts de tall amb els eixos
Funció \(f(x)\):
Eix Y (\(x=0\)): \(f(0) = 4/(-6) = -2/3\). Punt: \((0, -2/3)\).
Eix X (\(f(x)=0\)): Numerator \(x^2-5x+4=0\). \[x = \frac{5 \pm \sqrt{25-16}}{2} = \frac{5 \pm 3}{2} \implies x=4, x=1\] Com que \(1, 4 \in \text{Dom}(f)\), els punts són \((1,0)\) i \((4,0)\).
Funció \(g(x)\):
Eix Y (\(x=0\)): \(0 \notin \text{Dom}(g)\), per tant no talla l’eix vertical.
Eix X (\(g(x)=0\)): \(x^2-4=0 \implies x=\pm 2\). Punts: \((-2,0)\) i \((2,0)\).
- Operacions \((f\cdot g)\) i \((f/g)\)
El domini base per a les operacions és la intersecció \(\text{Dom}(f) \cap \text{Dom}(g)\).
La intersecció és: \(D_{\cap} = (-\infty, -2) \cup [2, 3) \cup (3, +\infty)\). (El \(-2\) s’exclou perquè no està a \(f\), el \(2\) s’inclou).
Producte \((f \cdot g)\):
Domini: \(D_{\cap} = (-\infty, -2) \cup [2, 3) \cup (3, +\infty)\).
Tall Eixos:
Eix Y: No definit en 0.
Eix X: \(f(x)=0\) o \(g(x)=0\) dins del domini. Arrels possibles: \(1, 4\) (de \(f\)) i \(\pm 2\) (de \(g\)). Comprovem validesa al domini comú: \(1 \notin D_{\cap}\), \(-2 \notin D_{\cap}\). \(4 \in D_{\cap}\), \(2 \in D_{\cap}\). Punts: \((2,0)\) i \((4,0)\).
Quocient \((f / g)\):
Domini: \(D_{\cap} \setminus \{x \mid g(x)=0\}\). Hem de treure \(\pm 2\). El \(-2\) ja estava fora, ara traiem el \(2\). Dom: \((-\infty, -2) \cup (2, 3) \cup (3, +\infty)\).
Tall Eixos: Només on \(f(x)=0\). Arrels \(1, 4\). El \(1\) no és al domini. El \(4\) sí. Punt: \((4,0)\).
- Funcions a trossos \(h(x)\) i \(i(x)\)
Funció \(h(x)\):
\[h(x)= \begin{cases} f(x) & \text{si } x \le -1 \\ g(x) & \text{si } x > -1 \end{cases}\]
Estudiem el domini per parts:
Zona \(x \le -1\) (funció \(f\)): El domini de \(f\) exclou \(\{-2, -1, 3\}\). Dins la zona \(x \le -1\), hem d’excloure el \(-2\) i el \(-1\).
Zona \(x > -1\) (funció \(g\)): El domini de \(g\) és \((-\infty, -2] \cup [2, +\infty)\). Dins la zona \(x > -1\), només ens queda \([2, +\infty)\).
\[\text{Dom}(h) = (-\infty, -2) \cup (-2, -1) \cup [2, +\infty)\] Dit d’una altra manera:
Si \(x \le -1\) (fem servir \(f\)): Intersecció \((-\infty, -1] \cap \text{Dom}(f) \implies (-\infty, -2) \cup (-2, -1)\). (\(f\) no definida en -1).
Si \(x > -1\) (fem servir \(g\)): Intersecció \((-1, +\infty) \cap \text{Dom}(g) \implies [2, +\infty)\).
\(\text{Dom}(h) = (-\infty, -2) \cup (-2, -1) \cup [2, +\infty)\).
Punts de tall:
Eix Y (\(x=0\)): Toca branca \(g\). \(0 \notin \text{Dom}(g)\). Cap tall.
Eix X: A \(f\) (zona \(\le -1\)) no hi ha arrels (\(1,4 > -1\)). A \(g\) (zona \(>-1\)) arrels \(\pm 2\). Només \(2\) és vàlida. Punt: \((2,0)\).
Funció \(i(x)\):
\[i(x)= \begin{cases} f(x)\cdot g(x) & \text{si } x < 0 \\ f(x)/g(x) & \text{si } x \ge 0 \end{cases}\]
Zona \(x < 0\) (Producte): El domini intersecció era \((-\infty, -2) \cup [2, 3) \cup (3, \infty)\). Dins \(x < 0\), només serveix \((-\infty, -2)\).
Zona \(x \ge 0\) (Quocient): El domini del quocient era \((-\infty, -2) \cup (2, 3) \cup (3, \infty)\). Dins \(x \ge 0\), ens queda \((2, 3) \cup (3, \infty)\).
\[\text{Dom}(i) = (-\infty, -2) \cup (2, 3) \cup (3, +\infty)\]
Si \(x < 0\) (fem servir \(f\cdot g\)): Domini \((-\infty, -2)\).
Si \(x \ge 0\) (fem servir \(f/g\)): Domini \((2, 3) \cup (3, +\infty)\).
\(\text{Dom}(i) = (-\infty, -2) \cup (2, 3) \cup (3, +\infty)\).
Punts de tall:
Eix Y (\(x=0\)): Branca \(f/g\). No definit.
Eix X: A \(x<0\), arrels de producte (\(2, 4, -2\)) cap és vàlida (\(-2\) obert). A \(x \ge 0\), arrel de quocient (\(4\)). Punt: \((4,0)\).
2.5.2
Considereu la funció \[\begin{equation*} f(x)=x^6 - 3 x^5 + 3 x^4 - 3 x^3 + 2 x^2 \end{equation*}\]
Trobeu els punts de tall amb els eixos
Trobeu el domini i punts de tall amb els eixos de la funció \((1/f)(x)\)
Trobeu el domini i punts de tall amb els eixos de la funció \(g(x)=\sqrt{f(x)}\)
Trobeu el domini i punts de tall amb els eixos de la funció \[\begin{equation*} h(x)= \begin{dcases} \left( 1/f \right)(x)&\text{si }x<1\\ \sqrt{f(x)}&\text{si }x\ge 1 \end{dcases} \end{equation*}\]
Primer factoritzem el polinomi \(f(x) = x^6 - 3 x^5 + 3 x^4 - 3 x^3 + 2 x^2\). Traiem factor comú \(x^2\): \[f(x) = x^2 (x^4 - 3x^3 + 3x^2 - 3x + 2)\]
Ara apliquem la regla de Ruffini al polinomi del parèntesi, \(P(x) = x^4 - 3x^3 + 3x^2 - 3x + 2\). Provem amb \(x=1\): \[ \begin{array}{r|rrrrr} & 1 & -3 & 3 & -3&2 \\ 1 & & 1 & -2 & 1 &-2\\ \hline & 1 & -2 & 1 & -2&0 \end{array} \]
Obtenim el quocient \(x^3 - 2x^2 + x - 2\). Tornem a aplicar Ruffini a aquest nou polinomi provant amb \(x=2\):
\[ \begin{array}{r|rrrr} & 1 & -2 & 1 & -2 \\ 2 & & 2 & 0 & 2 \\ \hline & 1 & 0 & 1 & 0 \end{array} \]
El residu és \(0\) i el quocient és \(x^2+1\). Aquest últim factor no té arrels reals (\(x^2+1=0\) no té solució). Per tant, la factorització completa és: \[\begin{equation*} f(x) = x^2 (x-1) (x-2) (x^2+1) \end{equation*}\]
Punts de tall de \(f(x)\):
Eix Y: \(f(0)=0 \Rightarrow (0,0)\).
Eix X: Arrels trobades \(x=0, 1, 2\). Punts: \((0,0), (1,0), (2,0)\).
Funció \((1/f)(x)\):
Domini: \(\mathbb{R} \setminus \{0, 1, 2\}\) (valors que anul·len el denominador).
Punts de tall: No talla l’eix Y (0 no és del domini) ni l’eix X (\(1 \neq 0\)).
Funció \(g(x)=\sqrt{f(x)}\): Cal estudiar el signe de \(f(x)\). Com \(f(x)\) és un polinomi de grau parell, \(f\) serà positiva si \(x\) és prou gran, indpendentment del signe de \(x\). D’altra banda, \(x=0\) és un arrel doble i \(f\) no canviarà el signe. En canvi les dues altres arrels són simples, i \(f\) canviarà de signe.
També ho podem pensar de la següent manerea: els factors \(x^2\) i \((x^2+1)\) són sempre positius. El signe depèn de \((x-1)(x-2)\).
Sigui com sigui, el signe de \(f\) quedarà de la següent manera:
Domini: \((-\infty, 1] \cup [2, +\infty)\).
Punts de tall: \((0,0), (1,0), (2,0)\).
Funció \(h(x)\):
Si \(x < 1\): La funció és \(1/f\). Hem d’excloure \(x=0\). Interval: \((-\infty, 0) \cup (0, 1)\).
Si \(x \ge 1\): La funció és \(\sqrt{f}\). Vàlid quan \(f \ge 0\), és a dir, \(x=1\) o \(x \ge 2\).
Domini final: \((-\infty, 0) \cup (0, 1] \cup [2, +\infty)\). Punts de tall: \((1,0)\) i \((2,0)\). (\(x=0\) no és del domini).
2.6 Composició i inversa
2.6.1
Considereu les funcions: \[\begin{equation*} f(x)=\frac{x^2+3}{x-3} \quad g(x)=2x+1 \end{equation*}\]
Trobeu el domini de \(f\) i el de \(g\)
Calculeu \(f\circ g\) i \(g\circ f\).
A partir de \(\Dom(f)\) i \(\Dom(g)\) trobeu \(\Dom(f\circ g)\) i \(\Dom(g\circ f)\).
\(\text{Dom}(f)=\mathbb{R}\setminus\{3\}\) i \(\text{Dom}(g)=\mathbb{R}\).
Calculem les composicions de les funcions:
\((f\circ g)(x) = f(g(x)) = f(2x+1) = \frac{(2x+1)^2+3}{(2x+1)-3} = \frac{4x^2+4x+1+3}{2x-2} = \frac{4x^2+4x+4}{2x-2} = \frac{2x^2+2x+2}{x-1}\)
\((g\circ f)(x) = g(f(x)) = g\left(\frac{x^2+3}{x-3}\right) = 2\left(\frac{x^2+3}{x-3}\right)+1 = \frac{2x^2+6}{x-3} + \frac{x-3}{x-3} = \frac{2x^2+x+3}{x-3}\)
Determinació dels dominis:
Per a \(\text{Dom}(f\circ g)\), busquem els valors on \(g(x)=3\) per excloure’ls: \(2x+1=3 \Rightarrow 2x=2 \Rightarrow x=1\). Per tant, \(\text{Dom}(f\circ g) = \mathbb{R}\setminus\{1\}\).
Per a \(\text{Dom}(g\circ f)\), com que \(g\) és una funció polinòmica, la composició només fallarà quan la funció interior \(f\) no estigui definida. Com que \(\text{Dom}(f)=\mathbb{R}\setminus\{3\}\), aleshores \(\text{Dom}(g\circ f) = \mathbb{R}\setminus\{3\}\).
2.6.2
Trobeu les funcions inverses de les següents funcions i comproveu el resultat (fent la composició).
\(f(x)=2x+3\)
\(f(x)=\frac{x+1}{3}\)
\(f(x)=\frac{x+2}{x+3}\)
\(f(x)=x^2-3x+1\)
Només cal escriure la variable \(x\) en funció de \(y\). És a dir, aïllar \(x\) de l’equació \(f(x)=y\). A l’hora de comprovar és preferible comprovar que \(\left(f^{-1}\circ f\right)(x)=x\).
\(f(x)=2x+3\). Aïllem la \(x\) de manera directa: \[\begin{align*} y &= 2x+3 \\ y-3 &= 2x \implies x=\frac{y-3}{2} \end{align*}\] Per tant, la inversa és \(f^{-1}(x)=\frac{x-3}{2}\). Comprovació: \[\begin{equation*} (f^{-1}\circ f)(x) = \frac{(2x+3)-3}{2} = \frac{2x}{2} = x \end{equation*}\]
\(f(x)=\frac{x+1}{3}\). Procedim de manera similar: \[\begin{align*} y &= \frac{x+1}{3} \\ 3y &= x+1 \implies x=3y-1 \end{align*}\] La inversa és \(f^{-1}(x)=3x-1\). Comprovació: \[\begin{equation*} (f^{-1}\circ f)(x) = 3\left(\frac{x+1}{3}\right)-1 = (x+1)-1 = x \end{equation*}\]
\(f(x)=\frac{x+2}{x+3}\). En aquest cas, com que la \(x\) apareix al numerador i al denominador, hem de passar el denominador multiplicant i agrupar tots els termes amb \(x\) a un costat per treure factor comú: \[\begin{align*} y &= \frac{x+2}{x+3} \\ y(x+3) &= x+2 \\ xy + 3y &= x + 2 \\ xy - x &= 2 - 3y \\ x(y-1) &= 2 - 3y \implies x = \frac{2-3y}{y-1} \end{align*}\] La inversa és \(f^{-1}(x)=\frac{2-3x}{x-1}\). Comprovació: Substituïm \(f(x)\) dins de la inversa: \[\begin{align*} (f^{-1}\circ f)(x) &= \frac{2-3\left(\frac{x+2}{x+3}\right)}{\frac{x+2}{x+3}-1} \\ &= \frac{\frac{2(x+3) - 3(x+2)}{x+3}}{\frac{(x+2) - (x+3)}{x+3}} \\ &= \frac{2x+6-3x-6}{x+2-x-3} = \frac{-x}{-1} = x \end{align*}\]
\(f(x)=x^2-3x+1\). Per aïllar la \(x\) quan tenim termes quadràtics i lineals barrejats, hem de tractar l’expressió com una equació de segon grau igualada a zero, on \(y\) forma part del terme independent: \[\begin{align*} y &= x^2-3x+1 \\ 0 &= x^2 - 3x + (1-y) \end{align*}\] Apliquem la fórmula general \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\) amb \(a=1\), \(b=-3\) i \(c=(1-y)\): \[\begin{align*} x &= \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(1-y)}}{2(1)} \\ x &= \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 + 4y}}{2} \\ x &= \frac{3 \pm \sqrt{5 + 4y}}{2} \end{align*}\] Fixem-nos que tenim dues opcions. Això és degut a que, com la funció \(f\) és una paràbola, cada valor de \(y\) que quedi per sobre el seu vèrtex té dues antiimatges. Per tal que sigui funció, escollim una de les branques (per exemple, la positiva). La inversa és: Les dues funcions inverses seran: \[\begin{equation*} f^{-1}(x) = \frac{3 + \sqrt{5+4x}}{2}\quad \text{o} \quad f^{-1}(x) = \frac{3 - \sqrt{5+4x}}{2} \end{equation*}\]
2.6.3
Trobeu la inversa de la següent funció \[\begin{equation*} f(x)= \begin{dcases} \frac{x+6}{2}&\text{Si }x\le 0\\ 2x+3&\text{Si }x>0 \end{dcases} \end{equation*}\]
2.6.4
Calculeu les inverses de les següents funcions i comproveu el resultat:
\[f(x) = \frac{5}{x + 2}\]
\[g(x) = \sqrt{4x - 8}\]
\[h(x) = \frac{3x + 2}{2x - 1}\]
\[p(x) = 2 + \sqrt[3]{x - 1}\]
\[q(x) = \frac{x}{3 - x}\]
\[r(x) = 5 - \sqrt{2x}\]
\[s(x) = 3\tan(x)\]
\[t(x) = 2^{x} + 5\]
- \(f(x) = \frac{5}{x + 2}\). Sigui \(y = f(x)\).
Càlcul: Aïllem \(x\): \[y = \frac{5}{x + 2} \iff x + 2 = \frac{5}{y} \iff x = \frac{5}{y} - 2 = \frac{5 - 2y}{y}\] Fent el canvi de variable final (\(y \to x\)): \[\boxed{f^{-1}(x) = \frac{5 - 2x}{x}}\]
Comprovació (\(f^{-1}(f(x)) = x\)): \[f^{-1}(f(x)) = \frac{5 - 2f(x)}{f(x)} = \frac{5 - 2\left(\frac{5}{x+2}\right)}{\frac{5}{x+2}} = \frac{\frac{5(x+2) - 10}{x+2}}{\frac{5}{x+2}} = \frac{5x + 10 - 10}{5} = \frac{5x}{5} = x\]
\(g(x) = \sqrt{4x - 8}\). Sigui \(y = g(x)\).
Càlcul: Aïllem \(x\): \[y = \sqrt{4x - 8} \implies y^2 = 4x - 8 \iff 4x = y^2 + 8 \iff x = \frac{y^2}{4} + 2\] Fent el canvi de variable final: \[\boxed{g^{-1}(x) = \frac{x^2}{4} + 2}\]
Comprovació (\(g^{-1}(g(x)) = x\)): \[g^{-1}(g(x)) = \frac{(g(x))^2}{4} + 2 = \frac{(\sqrt{4x-8})^2}{4} + 2 = \frac{4x - 8}{4} + 2 = (x - 2) + 2 = x\]
- \(h(x) = \frac{3x + 2}{2x - 1}\). Sigui \(y = h(x)\).
Càlcul: Aïllem \(x\): \[y = \frac{3x + 2}{2x - 1} \iff y(2x - 1) = 3x + 2 \iff 2xy - y = 3x + 2\] Agrupem les \(x\): \[2xy - 3x = y + 2 \iff x(2y - 3) = y + 2 \iff x = \frac{y + 2}{2y - 3}\] Fent el canvi de variable final: \[\boxed{h^{-1}(x) = \frac{x + 2}{2x - 3}}\]
Comprovació (\(h^{-1}(h(x)) = x\)): \[h^{-1}(h(x)) = \frac{h(x) + 2}{2h(x) - 3} = \frac{\frac{3x+2}{2x-1} + 2}{2\left(\frac{3x+2}{2x-1}\right) - 3} = \frac{\frac{3x+2 + 2(2x-1)}{2x-1}}{\frac{2(3x+2) - 3(2x-1)}{2x-1}}\] \[= \frac{3x + 2 + 4x - 2}{6x + 4 - 6x + 3} = \frac{7x}{7} = x\]
\(p(x) = 2 + \sqrt[3]{x - 1}\). Sigui \(y = p(x)\).
Càlcul: Aïllem \(x\): \[y = 2 + \sqrt[3]{x - 1} \iff y - 2 = \sqrt[3]{x - 1} \implies (y - 2)^3 = x - 1\] \[x = (y - 2)^3 + 1\] Fent el canvi de variable final: \[\boxed{p^{-1}(x) = (x - 2)^3 + 1}\]
Comprovació (\(p^{-1}(p(x)) = x\)): \[p^{-1}(p(x)) = (p(x) - 2)^3 + 1 = \left( (2 + \sqrt[3]{x - 1}) - 2 \right)^3 + 1 = (\sqrt[3]{x - 1})^3 + 1 = (x - 1) + 1 = x\]
\(q(x) = \frac{x}{3 - x}\). Sigui \(y = q(x)\).
Càlcul: Aïllem \(x\): \[y = \frac{x}{3 - x} \iff y(3 - x) = x \iff 3y - xy = x\] Agrupem les \(x\): \[3y = x + xy \iff 3y = x(1 + y) \iff x = \frac{3y}{1 + y}\] Fent el canvi de variable final: \[\boxed{q^{-1}(x) = \frac{3x}{1 + x}}\]
Comprovació (\(q^{-1}(q(x)) = x\)): \[q^{-1}(q(x)) = \frac{3q(x)}{1 + q(x)} = \frac{3\left(\frac{x}{3-x}\right)}{1 + \frac{x}{3-x}} = \frac{\frac{3x}{3-x}}{\frac{(3-x) + x}{3-x}} = \frac{3x}{3} = x\]
\(r(x) = 5 - \sqrt{2x}\). Sigui \(y = r(x)\).
Càlcul: Aïllem \(x\): \[y = 5 - \sqrt{2x} \iff \sqrt{2x} = 5 - y \implies 2x = (5 - y)^2\] \[x = \frac{(5 - y)^2}{2}\] Fent el canvi de variable final: \[\boxed{r^{-1}(x) = \frac{(x - 5)^2}{2}}\]
Comprovació (\(r^{-1}(r(x)) = x\)): \[r^{-1}(r(x)) = \frac{(r(x) - 5)^2}{2} = \frac{((5 - \sqrt{2x}) - 5)^2}{2} = \frac{(-\sqrt{2x})^2}{2} = \frac{2x}{2} = x\]
\(s(x) = 3\tan(x)\). Sigui \(y = s(x)\).
Càlcul: Aïllem \(x\): \[y = 3\tan(x) \iff \frac{y}{3} = \tan(x) \iff x = \arctan\left(\frac{y}{3}\right)\] Fent el canvi de variable final: \[\boxed{s^{-1}(x) = \arctan\left(\frac{x}{3}\right)}\]
Comprovació (\(s^{-1}(s(x)) = x\)): \[s^{-1}(s(x)) = \arctan\left(\frac{s(x)}{3}\right) = \arctan\left(\frac{3\tan(x)}{3}\right) = \arctan(\tan(x)) = x\]
\(t(x) = 2^{x} + 5\). Sigui \(y = t(x)\).
Càlcul: Aïllem \(x\): \[y = 2^{x} + 5 \iff y - 5 = 2^{x}\] Apliquem logaritmes en base 2: \[x = \log_2(y - 5)\] Fent el canvi de variable final: \[\boxed{t^{-1}(x) = \log_2(x - 5)}\]
Comprovació (\(t^{-1}(t(x)) = x\)): \[t^{-1}(t(x)) = \log_2(t(x) - 5) = \log_2((2^x + 5) - 5) = \log_2(2^x) = x\]
2.6.5
D’una funció \(f\) sabem que \[\begin{equation*} \D(f)=\R\backslash\left\{ -1,0,1,2,3 \right\} \end{equation*}\] Tenim també una altra funció \(g(x)\) la gràfica de la qual es mostra a continuació.
Trobeu el domini de la funció \((f\circ g)(x)\).
Preguntem-nos per a quins valors falla la funció \(f\circ g\). Això passarà quan falli la funció \(g\) (ja que és la primera que es fa) o bé quan aquesta retorni un valor on falla la funció \(f\). Gràficament veiem que la funció \(g\) no falla: \(\D(g)=\R\). Com la funció \(f(x)\) falla quan rep \(-1\), \(0\), \(1\) o \(2\), caldrà trobar per a quins valors de \(x\) la funció \(g\) retorna algun d’aquests valors: \[\begin{align*}
&g(x)=-1\\
&g(x)=0\\
&g(x)=1\\
&g(x)=2
\end{align*}\] Com la funció \(g\) és positiva, la primera equació no té solució. La quarta tampoc, perquè \(g\) no assoleix mai aquest valor.
La segona equació té només una solució: \(x=0\).
La tercera té dues solucions: \(x=-1\) i \(x=1\).
Per tant: \[\begin{equation*}
\D(f\circ g)=\R\backslash\left\{ 0,-1,1 \right\}
\end{equation*}\]
2.6.6
Calculeu les inverses de les següents funcions:
\[f(x) = \frac{4}{2x - 6}\]
\[g(x) = \sqrt[3]{1 - x}\]
\[h(x) = \frac{x + 5}{3 - 2x}\]
\[p(x) = \sqrt{x + 4} - 1\]
\[q(x) = 4\cos(x)\]
\[r(x) = 1 + \tan(2x)\]
\[f^{-1}(x) = \frac{2 + 3x}{x}\]
\[g^{-1}(x) = 1 - x^3\]
\[h^{-1}(x) = \frac{3x - 5}{2x + 1}\]
\[p^{-1}(x) = x^2 + 2x - 3\]
\[q^{-1}(x) = \arccos\left(\frac{x}{4}\right)\]
\[r^{-1}(x) = \frac{1}{2}\arctan(x - 1)\]
2.7 Continuïtat i límits laterals
2.7.1
Feu els següents límits indicant en tot moment si el valor que s’obté és “per la dreta” o “per l’esquerra”.
\(\displaystyle\lim_{x\to 2^{+}}x^2-2x+1\)
\(\displaystyle\lim_{x\to 2^{-}}x^2-2x+1\)
\(\displaystyle\lim_{x\to 0^-}f(x)\) on \[\begin{equation*} f(x)= \begin{dcases} x^2-1&\text{si }x<0\\ 2x+2&\text{si }x\ge 0 \end{dcases} \end{equation*}\]
\(\displaystyle\lim_{x\to -1^{+}}-1-x=\)
\(\displaystyle\lim_{x\to 0^-}\frac{1}{x}\)
\(\displaystyle\lim_{x\to 0^{-}}\frac{2x+1}{x^2}\)
2.7.2
Considereu la funció \[\begin{equation*} f(x)= \begin{cases} \displaystyle x^2-2x+a,&x<2\\ \\ \displaystyle ax-3,&x\ge2 \end{cases} \end{equation*}\] on \(a\in\RR\) és un paràmetre real. Trobeu el valor de \(a\) per tal que \(f\) sigui contínua en \(x=2\).
\(a=3\)
2.7.3
Considereu la gràfica de la següent figura:
Feu el següent:
Obtingueu \(f(1)\), \(f(3)\) i \(f(-2)\)
Feu els els límits laterals en \(x=-2\), \(x=1\) i \(x=3\)
Trobeu \(\lim_{x\to-\infty}f(x)\) i \(\lim_{x\to\infty}f(x)\)
Té alguna asímptota la funció \(f(x)\)? Quines són les seves equacions?
\(f(1)\approx 1.8\), \(f(3)=3\) i \(f(-2)\nexists\)
\[\begin{aligned} \lim_{x\to-2^-}f(x)&=-\infty\\ \lim_{x\to-2^+}f(x)&=+\infty\\ \lim_{x\to1^-}f(x)&\approx 1.8\\ \lim_{x\to1^+}f(x)&\approx -1\\ \lim_{x\to3^-}f(x)=\lim_{x\to 3^-}f(x)=3\\ \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} \lim_{x\to -\infty}f(x)=-1\\ \lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty \end{aligned}\]
2.7.4
Considereu la funció de la següent gràfica.
Trobeu-ne el domini
Calculeu \(\displaystyle\lim_{x\to -5}f(x)\), \(\displaystyle\lim_{x\to -4}f(x)\), \(\displaystyle\lim_{x\to-2}\) i \(\displaystyle\lim_{x\to 2}\), distingint entre límits laterlas, si cal.
Digueu quin tipus de discontinuïtats té aquesta funció.
\(D(f)=\R\backslash\left\{ -5,-4,-2 \right\}\)
\(\lim_{x\to -5}f(x)=-1\), \(\lim_{x\to -4^-}=-\infty\), \(\lim_{x\to -4^+}f(x)=+\infty\), \(\lim_{x\to -2^-}f(x)=+\infty\), \(\lim_{x\to -2^+}f(x)=-\infty\), \(\lim_{x\to 2^-}f(x)=0\) i \(\lim_{x\to 2^+}f(x)=1\)
Evitable en \(x=-5\), asimptòtica en \(x=-4\) i \(x=-2\), de salt en \(x=2\).
2.7.5
Considereu la funció \[\begin{equation*} f(x)= \begin{dcases} \frac{2x}{x^2+x}&\text{si }x<0\\ \frac{x^2-4}{x-2}&\text{si }x\ge 0 \end{dcases} \end{equation*}\]
Trobeu-ne el domini
Trobeu-ne els punts de tall amb els eixos
Estudieu la seva continuïtat
Trobeu, si n’hi ha, totes les asímptotes
Domini: Estudiem on s’anul·len els denominadors de cada branca dins del seu interval de definició:
Branca \(x < 0\): El denominador és \(x^2 + x\). S’anul·la si \(x^2 + x = 0 \implies x(x + 1) = 0 \implies x = 0\) i \(x = -1\). Com que estem en l’interval \(x < 0\), el valor \(x = 0\) no pertany estrictament a aquesta branca, però sí que excloem el punt \(x = -1\).
Branca \(x \ge 0\): El denominador és \(x - 2\). S’anul·la si \(x - 2 = 0 \implies x = 2\). Com que estem en l’interval \(x \ge 0\), excloem el punt \(x = 2\).
Per tant, el domini de la funció són tots els nombres reals excepte aquests dos valors: \[\begin{equation*} \text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{-1, 2\} \end{equation*}\]
- Punts de tall amb els eixos:
Tall amb l’eix \(y\) (fem \(x = 0\)): Com que \(x = 0\) pertany a la segona branca (\(x \ge 0\)), avaluem allà: \[\begin{equation*} f(0) = \frac{0^2 - 4}{0 - 2} = \frac{-4}{-2} = 2 \implies \text{Punt } (0, 2) \end{equation*}\]
Tall amb l’eix \(x\) (fem \(f(x) = 0\)): Igualem a zero cada branca en el seu interval:
Si \(x < 0\): \[\frac{2x}{x^2+x} = 0 \implies 2x = 0 \implies x = 0\] Però \(x=0\) no compleix la condició \(x < 0\), així que aquí no hi ha punt de tall.
Si \(x \ge 0\): \[\frac{x^2-4}{x-2} = 0 \implies x^2 - 4 = 0 \implies x = \pm 2\] El valor \(x = -2\) no compleix \(x \ge 0\). El valor \(x = 2\) compleix la condició però no pertany al domini (anul·la el denominador). Per tant, tampoc hi ha punt de tall.
L’únic punt de tall amb els eixos és el \((0, 2)\).
- Estudi de la continuïtat
Per defecte la funció serà contínua a tot arreu excepte als punts problemàtics. Aquests són:
Punts que no són del domini: \(x=-1\) i \(x=2\)
Canvis de branca en funcions a trossos: \(x=0\)
Estudiem doncs la continuïtat en cadascun d’aquests punts.
1. En \(x = -1\) (punt de no domini, branca esquerra)
Comencem apropant-nos a \(x=-1\) sense distingir entre dreta ni esquerra, per fer una primers inspecció: \[\begin{equation*}
\lim_{x\to -1} \frac{2x}{x^2+x} = \frac{-2}{0} \implies \text{As\'imptota vertical}
\end{equation*}\] Amb això ja sabem que la funció té una discontinuïat del tipus asimptòtica en \(x=2\), perquè s’anul·la un denominador però el numerador no. Cal estudiar però els límits laterals, per saber si per cada banda si la fucnió va a infinit o a menys infinit. Això ho fem estudiant el signe del denominador \(x^2+x\). Ja sabem que les seves arrels són \(x=0\) i \(x=-1\). Com és una paràbola còncava (\(\smile\)) i té dues arrels, la seqûencia de signes és \(+\) \(-\) \(+\):
Com que el numerador en \(x = -1\) val \(-2\) (negatiu), tenim: \[\begin{align*} \lim_{x\to -1^-} \frac{2x}{x^2+x} &= \frac{-2}{0^+} = -\infty \\[1.5ex] \lim_{x\to -1^+} \frac{2x}{x^2+x} &= \frac{-2}{0^-} = +\infty \end{align*}\] Hi ha una discontinuïtat asimptòtica de salt infinit en \(x = -1\).
2. En \(x = 2\) (punt de no domini, branca dreta): \[\begin{equation*} \lim_{x\to 2} \frac{x^2-4}{x-2} = \frac{0}{0} \implies \text{Indeterminaci\'o} \end{equation*}\] Factoritzem i simplifiquem: \[\begin{equation*} \lim_{x\to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = \lim_{x\to 2} (x+2) = 4 \end{equation*}\] Com que el límit existeix i és finit però la funció no està definida, hi ha una discontinuïtat evitable en \(x = 2\).
3. En \(x = 0\) (canvi de branca): Calculem \(f(0)\) i els límits laterals: \[\begin{align*} f(0) &= 2 \\ \lim_{x\to 0^-}f(x)&=\lim_{x\to 0^-} \frac{2x}{x^2+x} = =\frac{0}{0}\text{ Indet. Cal factoritzar}\\ &\lim_{x\to 0^-}\frac{2\cancel{x}}{\cancel{x}(x+1)} =\lim_{x\to 0^-} \frac{2}{x+1} = \frac{2}{1} = 2 \\ \lim_{x\to 0^+}f(x)&=\lim_{x\to 0^+} \frac{x^2-4}{x-2} = \frac{0^2-4}{0-2} = 2 \end{align*}\] Com que els límits laterals coincideixen amb el valor de la funció, \(f(x)\) és contínua en \(x = 0\).
Conclusió: La funció és contínua a tot \(\mathbb{R}\) excepte en \(x = -1\) (salt infinit) i en \(x = 2\) (evitable).
Asímptotes
Asímptotes verticals
En tenir una discontinuïtat asimptòtica en \(x=-1\), la funció té una asímptota vertical, l’equació de la qual és \(x=-1\).Asímptotes horitzontals
Per veure si té asímptotes horitzontals, haurem d’estudiar el seu comportament a l’infinit. Notem que, en ser una funció a trossos, caldrà escollir la branca addient segons si mirem a l’infinit i al menys infinit: \[\begin{align*} \lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}\frac{2x}{x^2+x}=0\\ \lim_{x\to\infty}f(x)=\lim_{x\to\infty}\frac{x^2-4}{x-2}=\infty \end{align*}\] La funció té una asímptota horitzontal per l’esquerra, l’equació de la qual és \(y=0\). Per la dreta no té.A continuació es mostra una gràfica de la funció. Observeu que surt tot tal i com hem previst:
Té una discontinuÏtat asímptotica en \(x=-1\). Per la seva dreta la funció se’n va “amunt” (\(+\infty\)) i per la sev esquerra se’n va “avall” (\(-\infty\)).
Té una discotinuïtat evitable en \(x=2\) (un forat)
És contínua en \(x=0\)
Té una asímptota horitzontal per l’esquerra en \(y=0\) i per la dreta no en té (se’n va “amunt”)
2.7.6
Discutiu la continuïtat de la funció \[\begin{equation*} f(x)= \begin{dcases} \frac{x+1}{x^2-1}&\text{ si}x\le 0\\ \frac{1}{\cos(x)}&\text{si }x> 0 \end{dcases} \end{equation*}\]
2.7.7
Considereu la funció \[\begin{equation*} f(x)= \begin{dcases} \frac{x^2}{x^2-1}&\text{si }x<0\\ \frac{x^2+x}{x^2-4}&\text{si }x\ge 0 \end{dcases} \end{equation*}\]
Trobeu-ne el domini
Discutiu-ne la continuïtat
Fels els límits \[\begin{equation*} \lim_{x\to+\infty}f(x)\qquad \lim_{x\to -\infty}f(x) \end{equation*}\]
\(D(f)=\RR\backslash\left\{ -1,2 \right\}\)
Té una discontinuïtat asimptòtica en \(x=-1\) (\(+\infty\) per l’esquerra i \(-\infty\) per la dreta). També té una discontinuïtat asimptòtica en \(x=2\) (\(-\infty\) per l’esquerra i \(+\infty\) per la dreta).
\(\lim_{x\to-\infty}f(x)=1\) i \(\lim_{x\to+\infty}f(x)=1\)
2.7.8
Estudieu la continuïtat de la funció \[f(x)=\frac{x-2}{x^3-x^2}\]
1. Estudi del domini
Primer, igualem el denominador a zero per trobar els punts singulars. Traiem factor comú \(x^2\): \[x^3 - x^2 = 0 \iff x^2(x-1) = 0\] D’aquí obtenim dues arrels:
\(x = 0\) (arrel doble).
\(x = 1\) (arrel simple).
Per tant, el domini és: \[\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{0, 1\}\] La funció és contínua en tot el seu domini (per ser racional). Els punts de discontinuïtat són \(x=0\) i \(x=1\).
2. Estudi del signe del denominador
Com que el numerador en \(x=0\) val \(-2\) i en \(x=1\) val \(-1\) (diferents de 0), els límits seran infinits (asímptotes verticals). Per determinar el signe de l’infinit, estudiem el signe del denominador \(D(x) = x^2(x-1)\) prop de les arrels:
3. Càlcul de límits laterals
Usant l’esquema anterior i sabent que el numerador és negatiu en aquests punts:
En \(x=0\) (Numerador \(\to -2\)): \[\lim_{x \to 0^-} f(x) = \frac{-2}{0^-} = +\infty, \quad \lim_{x \to 0^+} f(x) = \frac{-2}{0^-} = +\infty\] Tenim una asímptota vertical en \(x=0\) (ambdues branques cap a dalt).
En \(x=1\) (Numerador \(\to -1\)): \[\lim_{x \to 1^-} f(x) = \frac{-1}{0^-} = +\infty, \quad \lim_{x \to 1^+} f(x) = \frac{-1}{0^+} = -\infty\] Tenim una asímptota vertical en \(x=1\).
4. Representació gràfica
Finalment, visualitzem el comportament a prop de les discontinuïtats:
2.7.9
Considereu la funció \[\begin{equation*} f(x)= \begin{cases} \displaystyle \frac{x^2-2x}{x^3+3x^2-10x-24},&x\le2\\ \\ \displaystyle \frac{x^2-9}{x-5},&x>2 \end{cases} \end{equation*}\]
Trobeu el domini de la funció \(f(x)\). Haureu de fer Ruffini!
Trobeu els punts de tall amb els eixos.
Calculeu el comportament local (a prop) dels valors que no siguin del domini i també a prop de \(x=2\).
Discutiu quin tipus de discontinuïtats té la funció en aquests valors, si és que en té.
\(D(f)=\R\backslash\left\{ -4,-2,5 \right\}\)
Eix Y: \((0,0)\), eix X: \((0,0)\), \((2,0)\), \((3,0)\)
\[\begin{aligned} \lim_{x\to -4^-}f(x)&=-\infty\\ \lim_{x\to -4^+}f(x)&=+\infty\\ \lim_{x\to -2^-}f(x)&=+\infty\\ \lim_{x\to -2^+}f(x)&=-\infty\\ \lim_{x\to 5^-}f(x)&=-\infty\\ \lim_{x\to 5^+}f(x)&=+\infty\\ \lim_{x\to 2^-}f(x)&=0\\ \lim_{x\to 2^+}f(x)&=\frac{5}{3} \end{aligned}\]
Asimptòtica en \(x=-4\), \(x=-2\) i \(x=5\). De salt en \(x=2\).
2.7.10
Considereu les funcions de les gràfiques següents:
Estudieu la continuïtat de la funció \(f/g\)
Estudieu la continuïtat de la funció \(g/f\)
Les funcions \(f\) i \(g\), per separat, no presenten cap problema i són funcions contínues. Ara bé, en dividir-les poden aparèixer problemes si el denominador val \(0\). Analitzem els dos casos, segons qui estigui al denominador.
La funció \(f/g\) tindrà problemes pels valor de \(x\) que facin que \(g\) valgui \(0\). És a dir, als punts de tall de \(g\) amb l’eix horitzontal, que són \(x=-1\) i \(x=2\). Analitzem els dos casos per separat:
En \(x=-1\). Comencem apront-nos a \(x=-1\) per analitzar què passa. El valor de \(f(-1)\) no queda massa clar, assumirem que \(f(-1)=-3\). Per tant, el límit quedarà. \[\lim_{x\to -1}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{-3}{0}\] Podem afirmar que la fucnió \(f/g\) té una discontinuïtat asimptòtica en \(x=-1\). Ara caldria estudiar els límits laterals, per saber si s’aproxima a \(\infty\) o \(-\infty\) segons la banda. Fixem-nos que \(g\) és negativa a l’esquerra de \(x=-1\) i positiva a la seva dreta. Per tant, els límits laterals quedaran: \[\begin{aligned} \lim_{x\to -1^-}\frac{f(x)}{g(x)}&=\frac{-3}{0^-}=+\infty\\ \lim_{x\to -1^+}\frac{f(x)}{g(x)}&=\frac{-3}{0^+}=-\infty \end{aligned}\]
En \(x=2\). En aquest cas el numerador també val \(0\), ja que \(f(2)=0\). Per tant, tenim una indeterminació: \[\lim_{x\to 2}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{0}{0}\] Per resoldre-la caldria factoritzar \(f\) i \(g\) i cancel·lar l’arrel que tenen en comú (assumint que siguin polinomis). Fixem-nos que la funció \(g\) té un arrel doble en \(x=2\), mentre que \(f\) la té simple. Així, en factoritzar i simmplificar, el denominador seguirà tenint una arrel en \(x=2\). Ho podem resumir de la segúent manera: \[\lim_{x\to 2} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to 2}\frac{\cancel{(x-2)}\cdot P(x)}{(x-2)^{\cancel{2}}\cdot Q(x)}=\frac{P(2)}{0}\] amb \(P(2)\neq 0\). Així, la funció \(f/g\) també té una discontinuïtat del tipus asimptòtic en \(x=2\). Estudiem ara els límits laterals. Fixem-nos que a la dreta de \(x=2\) totes dues funcions són positives, mentre que a la seva esquerra la funció \(f\) és negativa i \(g\) positiva. Per tant tindrem: \[\begin{aligned} \lim_{x\to 2^-}\frac{f(x)}{g(x)}=-\infty\\ \lim_{x\to 2^+}\frac{f(x)}{g(x)}=+\infty \end{aligned}\]
A continuació es mostra un esbós de la funcio \(f/g\).
Pel que fa a la funció \(g/f\), podem aprofitar tots els càlculs i raonaments fets a l’apartat anterior. Aquest cop només tenim un punt problemàtic, \(x=2\), que és l’únic valor on s’anul·la la funció \(f\). Raonant igual que abans veiem ara que el límit serà: \[\begin{aligned} \lim_{x\to 2} \frac{g(x)}{f(x)}=\frac{(x-2)^{\cancel{2}}\cdot Q(2)}{\cancel{(x-2)}\cdot P(2)}=0 \end{aligned}\] Com el límit existeix, la funció té una discontinuïtat evitable en \(x=0\). A continuació podem veure una esbós de la gràfica de la funció \(g/f\):
2.7.11
Estudieu la continuïtat de la funció \[f(x)=\frac{x+2}{x^2+4x+4}\]
Té una discontinuïtat asimptòtica en \(x=-2\), per l’esquerra val \(-\infty\) i per la dreta \(+\infty\).