$$ \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\RR}{\mathbb{R}} \newcommand{\Nuc}{\text{Nuc}} %\newcommand{\vv}[1]{\overrightarrow{#1}} \newcommand{\vv}[1]{\vec{#1}} \newcommand{\D}{\text{Dom}} \newcommand{\Dom}{\text{Dom}} $$

1 Successions

1.1 Relacions de recurrència, progressions aritmètiques i geomètriques

1.1.1

Digueu si les següents succssions són aritmètiques o no. En cas afirmatiu trobeu \(a_1\), \(a_{50}\) i la diferència.

  1. \(a_n=\frac{n-3}{2}\)

  2. \(a_n=n^{2}-2n+3\)

  3. \(a_n=2n+3\)

  4. \(a_1=0\) i \(a_n=a_{n-1}-2\)

  5. \(a_n=\frac{2n}{3}-\frac{n}{5}\)

1.1.2

Visualitzeu el següent vídeo:

Feu servir el mateix raonament per sumar: \[\begin{equation*} 2+4+6+8+\dots+ 200= \end{equation*}\]

1.1.3

Una successsió geomètrica és aquella per la qual existeix algun valor, \(r\), anomenat raó pel qual la successió compleix: \[\begin{equation*} a_n=r\cdot a_{n-1} \end{equation*}\] Digueu si les següents successions són geomètriques. Doneu-ne la raó en cas que ho siguin.

  1. \(a_n=\left( \frac{1}{3^n} \right)\)

  2. \(a_n=2^{n+3}\)

  3. \(a_n=3^{2n}\)

  4. \(a_n=5^{2n-3}\)

  5. \(a_n=3^{-n+2}\)

1.1.4 Quadrats

Considereu el quadrat exterior de la figura, que anomenarem \(Q_1\). Construïm el quadrat \(Q_2\) unint els punts mitjos de cadascun dels quadrat \(Q_1\), el quadrat \(Q_3\) unint els punts mitjos del quadrat \(Q_2\), i així successivament. A la imatge hi teniu representats fins a \(Q_4\), però el procés de construcció es pot fer indefinidament.

  1. Suposant que el costat del primer quadrat val \(4\), quant val el perímetre del quadrat \(Q_{15}\)?

Diguem \(P_n\) al perímetre del quadrat obtingut al pas \(n\). Clarament tenim que \[\begin{equation*} P_n=4\cdot c_n \end{equation*}\] on \(c_n\) és el costat del quadrat \(n\)-èssim. Investiguem com s’obté la longitud del costat \(c_n\). La relació entre el costat d’un quadrat i el costat del següent quadrat ens la dona el teorema de Pitàgores: \[\begin{equation*} c_{n+1}^{2}=\left( \frac{c_n}{2} \right)^2+\left( \frac{c_n}{2} \right)^2 \end{equation*}\] d’on \[\begin{equation*} c_{n+1}^{2}=\frac{2c_n^2}{4}\Longrightarrow c_{n+1}^2=\frac{c_n^2}{2}\Longrightarrow c_{n+1}=\sqrt{\frac{c_n^2}{2}} \end{equation*}\] D’aquí traiem que \[\begin{equation*} c_{n+1}=\frac{c_n}{\sqrt{2}} \end{equation*}\] Multiplicant per 4 a banda i banda obtindrem la relació entre el perímetre d’un quadrat i el següent: \[\begin{equation*} P_{n+1}=4\frac{c_n}{\sqrt{2}}\Longrightarrow P_{n+1}=\frac{P_n}{\sqrt{2}} \end{equation*}\] Per tant, els perímetres segueixen una successió geomètrica de raó \(\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\). Com el perímetre inicial és de 16, el terme general serà: \[\begin{equation*} P_n=16\cdot \left( \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{n-1} \end{equation*}\] El perímetre del 15\(^{\text{\`e}}\) quadrat serà: \[\begin{equation*} P_{15}=16\cdot \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^{14} \end{equation*}\]

  1. Si repetíssim el procés indefinidament, quant valdria la suma dels perímetres de tots els quadrats?

1.1.5

Sabent que una successió aritmètica compleix que \(a_2=4\) i \(a_{15}=20\), trobeu-ne la diferència, el terme general i el terme \(a_{0}\).

1.1.6

La següent successió aritmètica té l’expressió \(a_n=a_0+n\cdot d\), on \(d\) és la diferència. La successió també es pot escriure com \(a_n=a_3+\cdots\). Completeu-ne l’expressió.

1.1.7

D’una successió aritmètica compleix que:

  • \(a_3=5\)

  • \(\sum_{n=1}^{40}=5000\)

Trobeu-ne el terme general.

1.1.8

Demostreu que la següent successió és geomètrica: \[a_n=4^{2n-3}\] Expresseu-la com a relació de recorrència.

1.1.9

Trobeu la suma dels 100 primers múltiples de 6.

1.1.10

Trobeu la suma dels 100 primers múltiples de 6 però que no siguin múltiples de 5.

1.1.11

Un corredor decideix córrer els dos últims metres que li falten per arribar a la meta de manera que cada passa mesura la meitat de l’anterior. Diguem que \(l\) és el que mesura la primera passa.

  1. Si anomenem \(n\) el nombre de passes que ha fet, escriviu en funció de \(l\) la successió que ens dona la distància que li falta per arribar a la meta.

  2. Digueu per a quins valors de \(l\) el corredor podrà creuar la meta en el algun moment i per a quins valors no hi arribarà mai.

1.1.12

Considereu l’exercici [ex:quadrats]. Feu el mateix amb l’àrea en lloc del perímetre.

1.1.13

D’una successió aritmètica sabem que

  • \(\displaystyle \sum_{i=1}^{50}a_i=200\)

  • \(\displaystyle \sum_{i=1}^{100}a_i=3000\)

Trobeu-ne el terme general.

1.1.14

Demostreu si les següents successions són aritmètiques, geomètriques o cap de les dues.

  1. \(a_n=\frac{n+1}{n}\)

  2. \(a_n=\frac{2^n}{4^{n+1}}\)

  3. \(a_n=2n+1\)

  4. \(a_n=n^2-3\)

1.1.15

Una pilota per energia en rebotar al terra, de manera que, després de cada bot, l’altura a la que arriba és \(\frac{3}{4}\) vegades l’altura anterior.

  1. Raoneu que la successió formada per les altura a la que arriba la pilota a cada bot segueix una successió geomètrica.

  2. Trobeu l’altura a la que arriba la pilota al cap de 15 rebots si s’ha llençat des d’una altura inicial de 2 metres.

  3. Trobeu la suma de les 30 primeres alçades

  4. Si suméssim totes les alçades indefinidament, quin valor acabaríem obtenint?

1.1.16

Obtingueu la suma dels 1000 primers múltiples de 2 però que no són múltiples de 3 ni de 7.

1.1.17

Considereu la successió donada en forma recorrent: \[\begin{equation*} a_n=2\frac{a_{n-1}}{a_{n-2}} \end{equation*}\] amb \(a_1=1\) i \(a_2=2\)

  1. Trobeu \(a_{1000}\)

  2. Calculeu \(\displaystyle \sum_{i=1}^{200}a_i\)

1.1.18 Successions geomètriques

Considereu les successions següents:

\[\begin{equation*} a_n=\frac{3^{2n+1}}{5^{n-1}} \qquad\text{i}\qquad b_n=\frac{2^{3n-1}}{7^{2n+1}}. \end{equation*}\]

  1. Demostreu que la successió \((a_n)\) és geomètrica calculant el quocient \[\frac{a_{n+1}}{a_n}.\] Indiqueu-ne la raó.

  2. Feu el mateix per a la successió \((b_n)\).

  3. Sense calcular explícitament els termes, determineu si cadascuna de les dues successions és creixent o decreixent.

  4. A partir de la raó obtinguda, indiqueu quin comportament espereu que tingui cadascuna de les successions quan \(n\) es fa molt gran.

1.1.19 La llebre i la meta

Una llebre es troba a \(20\) metres de la meta. En el primer salt recorre \(10\) metres. A partir d’aquest moment, cada salt té una longitud igual a la meitat de la longitud del salt anterior.

  1. Escriviu la longitud dels sis primers salts.

  2. Comproveu que les longituds dels salts formen una successió geomètrica i determineu-ne la raó.

  3. Si \(a_n\) representa la longitud, en metres, del salt número \(n\), determineu el terme general \(a_n\).

  4. Després del primer salt, a la llebre li queden \(10\) metres per arribar a la meta; després del segon, \(5\) metres; després del tercer, \(2{,}5\) metres.

    Si \(d_n\) representa la distància que queda fins a la meta després d’haver fet \(n\) salts, determineu el terme general de la successió \((d_n)\).

  5. Calculeu \[\lim_{n\to\infty}d_n\] i interpreteu el resultat en el context del problema.

  6. La llebre arriba exactament a la meta després d’un nombre finit de salts? Justifiqueu la resposta.

  7. Determineu quants salts haurà fet com a mínim quan es trobi a menys de \(10\) cm de la meta.

1.2 Límits de successions

Límits senzills

1.2.1 Primers límits de successions

Calculeu els límits de les successions següents. Justifiqueu en cada cas quin és el comportament dels diferents termes quan \(n\) tendeix a infinit.

  1. \[a_n=2-\frac{1}{n^2+1}.\]

  2. \[b_n=5+\frac{3}{n}.\]

  3. \[c_n=\frac{n^2-4}{2n}.\]

  4. \[d_n=\frac{2n}{n^2-4}.\]

  5. \[e_n=-3+\frac{5}{n^3}.\]

  6. \[f_n=\frac{n^3+2}{4n^2}.\]

Compareu especialment els apartats c) i d). Expliqueu per què, tot i contenir les mateixes expressions, el comportament de les dues successions és molt diferent.

Successions racionals

1.2.2

Calculeu el límit de les següents successions

  1. \(a_n=\frac{n^2-3n-1}{2n^2+3n+1}\)

  2. \(a_n=\frac{-n^3+2n+1}{n^4+3n^2+2n-1}\)

  3. \(a_n=\frac{2n^2-3n+1}{3n+2}\)

  4. \(a_n=\frac{n^{5}+2n^4+3n-2}{-n^2+3n+2}\)

  5. \(a_n=\frac{n^2+2n+1}{2n^2-3n+10}-\frac{3n^3+10}{2n^3-2n+6}\)

Successions exponencials

1.2.3

Calculeu el límit de les següents successions

  1. \(a_n=\left( 2+\frac{1}{n^2+1} \right)^{n^2-3}\)

  2. \(a_n=\left( \frac{3n^2+n+10}{4n^2-5n+1} \right)^{-n^3+10}\)

  3. \(a_n=\left( \pi+\frac{n^2-1}{n^4+2n^3-2n+1} \right)^{\frac{2n^2-n-1}{4n^2-2n+1}}\)

  4. \(a_n=1-\left( \frac{13}{10} \right)^{-n^2}\)

  5. \(\lim \frac{\left( \frac{1}{2} \right)^{2n}}{\left( \frac{1}{4} \right)^{n}}=\)

  6. \(a_n=\left( 1+\frac{1}{2n^{2}} \right)^{3n^{3}}\)

  7. \(a_n=\left( 1+\frac{2}{3n^{2}+2n+1} \right)^{n^{2}-6n+1}\)

  8. \(a_n=\left( 2-\frac{3n^{2}-1}{3n^{2}+2n+1} \right)^{n+1}\)

  9. \(a_n=\left( 1+\frac{n}{n^{2}-2n+1} \right)^{-n^{2}+1}\)

Indeterminació \(\infty-\infty\)

1.2.4

Calculeu, si existeixen, els límits de les següents successions

  1. \(\lim_{n\to\infty} \frac{2n^3-1}{n^2}-\frac{3n^2+1}{2n}=\)

  2. \(\lim_{n\to\infty}\frac{n^3+n}{n^2+n}-\frac{n^3-1}{n^2-1}=\)

  3. \(\lim_{n\to\infty} \frac{n^4-n^3+2n+2}{n^2-1}-\frac{n^2+5n-1}{n+2}=\)

  4. \(\lim_{n\to\infty} \frac{2n^2-3}{n+2}-\frac{-n^2+5}{n-2}=\)

  5. \(\lim_{n\to\infty} \frac{n^5-n^4+2n^2-1}{n^3+2n^2-6n+2}-\frac{n^4-3n^2+1}{n^2+3}=\)

  1. Simplificant els termes de grau més baix obtenim: \[\lim \frac{2n^3-1}{n^2}-\frac{3n^2+1}{2n}=\lim_{n\to\infty}2n-\frac{2n}{3}=\liminf \frac{4n}{3}=\infty\]

  2. Si simplifiquem els ordre més petits el límit s’anul·len els més grans. Per tant, cal considerar els ordre més baixos també i agrupar. Resulta que, al numerador, s’anul·len tots els ordres fins a grau 2. Al denominador, en canvi, ens queda grau 5. Per tant, el límit és 0: \[\begin{align*} \lim\frac{n^3+n}{n^2+n}-\frac{n^3-1}{n^2-1}&=\liminf \frac{(n^3+n)(n^2-1)-(n^3-1)(n^2+n)}{(n^3+n)(n^2-1)}=\\ &=\frac{\cancel{n^5}-\cancel{n^5}+\cancel{n^3}-\cancel{n^3}+n^2+\cdots}{n^5+\cdots}=0 \end{align*}\]

  3. Simplifcant els ordres més petits obtenim que el prime terme és de grau 2 i el segon (el que resta) de grau 1. Per tant, la succssió és divergent (el límit no existeix): \[\begin{align*} \lim \frac{n^4-n^3+2n+2}{n^2-1}-\frac{n^2+5n-1}{n+2}=\liminf \frac{n^4}{n^2}-\frac{n^2}{n}=\liminf n^2-n=\infty \end{align*}\]

  4. No es tracta cap indeterminació, el límit dona \(\infty+\infty\) perquè hi ha un doble signe negatiu. Per tant, la successió és divergent.

  5. En aquest cas, en simplificar els ordres més petits, els ordre més grans s’anul·len. Per tant, hem de tenir en compte els ordres més petits:

    \[\begin{align*} \liminf &\frac{n^5-n^4+2n^2-1}{n^3+2n^2-6n+2}-\frac{n^4-3n^2+1}{n^2+3}\\ &=\liminf \frac{(n^5-n^4+2n^2-1)(n^2+3)-(n^4-3n^2+1)(n^3+2n^2-6n+2)}{(n^3+2n^2-6n+2)(n^2+3)}=\\ &=\liminf \frac{\cancel{n^7}-\cancel{n^7}-n^6-2n^6+\cdots}{n^5+\cdots}=-\infty \end{align*}\]

1.2.5

Calculeu el límit de les següents successions

  1. \(a_n=\frac{n^2-3n+1}{n+3}-\frac{n^3-2n^2+3n+1}{n^2-1}\)

  2. \(a_n=\frac{n^{4}+3n+1}{n^2-1}-\frac{n^3+2n-1}{n+1}\)

  3. \(a_n=\frac{n^5+3n^2-2n+1}{n^4+10n^3-5n^2+1}-\frac{n^5+6n^4-10n^3+3n^2-2n+2}{n^3-n^2+n-2}\)

  1. \[a_n=\frac{n^2-3n+1}{n+3}-\frac{n^3-2n^2+3n+1}{n^2-1}.\] Menyspreant ordres menors: \[\frac{n^2-3n+1}{n+3}\sim n, \quad \frac{n^3-2n^2+3n+1}{n^2-1}\sim n.\] Dominants s’anul·len → cal agrupar: \[\frac{(n^2-3n+1)(n^2-1)-(n^3-2n^2+3n+1)(n+3)}{(n+3)(n^2-1)}.\] Numerador dominant: \[n^4-n^3 - (n^4+3n^3)=-4n^3.\] Denominador dominant \((n^3)\), per tant \[\liminf a_n =\liminf \frac{-4 n^3}{n^3}=-4.\] \[\boxed{-4.}\]

  2. \[a_n=\frac{n^4+3n+1}{n^2-1}-\frac{n^3+2n-1}{n+1}.\] Menyspreant ordres menors: \[\frac{n^4+3n+1}{n^2-1}\sim n^2, \quad \frac{n^3+2n-1}{n+1}\sim n^2.\] Dominants s’anul·len → agrupar: \[\frac{(n^4+3n+1)(n+1)-(n^3+2n-1)(n^2-1)}{(n^2-1)(n+1)}.\] Numerador dominant: \[n^4 n = n^5 \quad \text{(cancel·lat amb } n^3 n^2=n^5 \text{)}, \quad 3 n n = 3 n^2 \text{(dominant seg\"uent)}, \text{etc.}\] Simplificant els primers termes dominants, s’obté \(\liminf a_n=\liminf n=\infty\). \[\boxed{+\infty.}\]

  3. \[a_n=\frac{n^5+3n^2-2n+1}{n^4+10n^3-5n^2+1}-\frac{n^5+6n^4-10n^3+\cdots}{n^3-n^2+n-2}.\]

    Menyspreant ordres menors: \[\frac{n^5+\cdots}{n^4+\cdots}\sim n, \quad \frac{n^5+\cdots}{n^3+\cdots}\sim n^2.\] El segon terme domina, per tant \(a_n \to -\infty\). \[\boxed{-\infty.}\]

1.2.6

Calculeu el límit de les següents successions

  1. \(a_n=\frac{n^2-3n+1}{n+3}-\frac{n^3-2n^2+3n+1}{n^2-1}\)

  2. \(a_n=\frac{n^{4}+3n+1}{n^2-1}-\frac{n^3+2n-1}{n+1}\)

  3. \(a_n=\frac{n^5+3n^2-2n+1}{n^4+10n^3-5n^2+1}-\frac{n^5+6n^4-10n^3+3n^2-2n+2}{n^3-n^2+n-2}\)

1.2.7

Calculeu els límits, si existeixen, de les següents successions:

  1. \(a_n=\lim_{n \to \infty} \left( \frac{n^3 + 2n}{n^2 + 1} - n \right)\)

  2. \(a_n=\lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{x^2 + 5x + 4} - \sqrt{x^2 + 3x - 1} \right)\)

  3. \(a_n = \frac{2n^2 + 3n}{n + 1} - 2n\)

  4. \(a_n = \sqrt{n^2 + 3n} - \sqrt{n^2 + n}\)

  5. \(a_n=\lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{x^2 + 2x} - \sqrt{x^2 + x} \right)\)

  6. \(a_n=\frac{2n^3-3n^2+4n+1}{n+1}-\frac{4n^4-2n^3+4n+1}{2n^2-3n+1}\)

  7. \(a_n=\frac{4n^{10}+5n^9-3n^2+3n+10}{n^7-2n^4+5n^2+1}-\frac{3n^{20}-2n^{15}+3n^{2}+3n-5}{5n^{18}-3n^{5}+1000n^3-2n^2+30}\)

  1. \[a_n = \frac{n^3+2n}{n^2+1} - n\] Menyspreant ordres menors: \[\frac{n^3+2n}{n^2+1}\sim n, \quad n\sim n.\] Dominants s’anul·len → cal agrupar: \[\frac{n^3+2n - n(n^2+1)}{n^2+1} = \frac{n}{n^2+1} \to 0.\] \(\boxed{0.}\)

  2. \[a_n = \sqrt{x^2+5x+4}-\sqrt{x^2+3x-1}.\] Dominants s’anul·len → multipliquem pel conjugat: \[\frac{(x^2+5x+4)-(x^2+3x-1)}{\sqrt{x^2+5x+4}+\sqrt{x^2+3x-1}} = \frac{2x+5}{\sqrt{x^2+5x+4}+\sqrt{x^2+3x-1}}.\] Menyspreant els termes menors dins les arrels: \[\frac{2x+5}{x+x} \sim \frac{2x}{2x} = 1.\] \(\boxed{1.}\)

  3. \[a_n = \frac{2n^2+3n}{n+1}-2n.\] Dominants s’anul·len → cal agrupar: \[\frac{2n^2+3n - 2n(n+1)}{n+1} = \frac{n}{n+1} \to 1.\] \(\boxed{1.}\)

  4. \[a_n = \sqrt{n^2+3n}-\sqrt{n^2+n}.\] Multipliquem pel conjugat i menyspreem termes menors: \[\frac{2n}{\sqrt{n^2+3n}+\sqrt{n^2+n}} \sim \frac{2n}{n+n}=1.\] \(\boxed{1.}\)

  5. \[a_n = \sqrt{x^2+2x}-\sqrt{x^2+x}.\] Multiplicant pel conjugat i menyspreant termes petits dins arrels: \[\frac{x}{\sqrt{x^2+2x}+\sqrt{x^2+x}} \sim \frac{x}{x+x} = \frac12.\] \(\boxed{1/2.}\)

  6. \[a_n = \frac{2n^3-3n^2+4n+1}{n+1}-\frac{4n^4-2n^3+4n+1}{2n^2-3n+1}.\] Menyspreant ordres menors: \[\frac{2n^3+\cdots}{n+1} \sim 2n^2, \quad \frac{4n^4+\cdots}{2n^2+\cdots} \sim 2n^2.\] Dominants s’anul·len → cal agrupar: \[\text{numerador dominant } \sim -7 n^3, \quad \text{denominador dominant } \sim n^3 \implies a_n \sim -7 \to -\infty.\] \(\boxed{-\infty.}\)

  7. \[a_n = \frac{4n^{10}+5n^9-3n^2+\cdots}{n^7-2n^4+\cdots}-\frac{3n^{20}-2n^{15}+\cdots}{5n^{18}-3n^5+\cdots}.\] Menyspreant ordres menors: \[\frac{4n^{10}}{n^7} \sim 4 n^3, \quad \frac{3 n^{20}}{5 n^{18}} \sim \frac{3}{5} n^2.\] Primer terme domina → \(a_n \to +\infty\). \(\boxed{+\infty.}\)

Indeterminació del tipus \(1^{\infty}\)

1.2.8

Calculeu els límits, si existeixen, de les següents successions:

  1. \(a_n=\left( 1+\frac{2}{3n+1} \right)^{2n}\)

  2. \(a_n=\left( 1-\frac{2}{n} \right)^{2n}\)

  3. \(a_n = \left( 1 + \frac{1}{\sqrt{n}} \right)^{\sqrt{n}}\)

  4. \(a_n = \left( \frac{2n^2 + 1}{2n^2} \right)^{n}\)

  5. \(a_n = \left( \frac{n+1}{n} \right)^{n^2}\)

  6. \(a_n = \left( \frac{n+1}{n} \right)^n\)

  1. \[a_n = \left( 1+\frac{2}{3n+1} \right)^{2n}.\] La base ja està en forma \(1+X\) amb \(X = \frac{2}{3n+1}\to 0\). Exponent \(2n \to \infty\) → indeterminació \(1^\infty\).

    Reescrivim \(X = \frac{1}{(3n+1)/2}\) i apliquem la regla: \[\left(1+\frac{2}{3n+1}\right)^{2n} = \left[\left(1+\frac{1}{(3n+1)/2}\right)^{(3n+1)/2}\right]^{\frac{4n}{3n+1}} \to e^{4/3}.\] \(\boxed{e^{4/3}}\)

  2. \[a_n = \left(1-\frac{2}{n}\right)^{2n}.\] \(X = -2/n\to 0\), exponent \(2n\to\infty\). \[\left(1-\frac{2}{n}\right)^{2n} = \left[\left(1+\frac{-2}{n}\right)^n\right]^2 \to (e^{-2})^2 = e^{-4}.\] \(\boxed{e^{-4}}\)

  3. \[a_n = \left(1+\frac{1}{\sqrt{n}}\right)^{\sqrt{n}}.\] \(X = 1/\sqrt{n} \to 0\), exponent \(\sqrt{n}\to\infty\): \[\left(1+\frac{1}{\sqrt{n}}\right)^{\sqrt{n}} \to e^1 = e.\] \(\boxed{e}\)

  4. \[a_n = \left(\frac{2n^2+1}{2n^2}\right)^n = \left(1+\frac{1}{2n^2}\right)^n.\] \[\left(1+\frac{1}{2n^2}\right)^n = \left[\left(1+\frac{1}{2n^2}\right)^{2n^2}\right]^{1/2} \to \sqrt{e}.\] \(\boxed{\sqrt{e}}\)

  5. \[a_n = \left(\frac{n+1}{n}\right)^{n^2} = \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^2} = \left[\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right]^n \to e^n \to +\infty.\] \(\boxed{+\infty}\)

  6. \[a_n = \left(\frac{n+1}{n}\right)^n = \left(1+\frac{1}{n}\right)^n \to e.\] \(\boxed{e}\)

1.2.9

Calculeu el límit de les següents successions

  1. \(a_n=\left( 1+\frac{1}{n^2-1} \right)^{2n^{2}-3n+1}\)

  2. \(a_n=\left( 1+\frac{3}{n+4} \right)^{4n-2}\)

  3. \(a_n=\left(2- \frac{n+1}{n-1} \right)^{3n-1}\)

  4. \(a_n=\left( \frac{n-1}{n+2} \right)^{2n+1}\)

1.2.10

Sabent que \(b\in\R\), calculeu el límit \[\begin{equation*} \lim_{n\to\infty}\left( 1 + \frac{b}{n} \right)^n \end{equation*}\]

1.2.11

Sabent que \(c\in\R\) i \(\lim_{n\to\infty}b_n=\infty\), trobeu una fórmula per calcular el límit: \[\lim_{n\to\infty}\left( 1 + \frac{c}{b_n} \right)^{b_n}\] Apliqueu-la per calcular \[\lim_{n\to\infty}\left( 1+\frac{4}{n^2} \right)^{n^2}\]

1.2.12

Sabent que \(\lim_{n\to\infty}a_n=0\) i \(\lim_{n\to\infty}b_n=\infty\), trobeu una fórmula per calcular \[\left( 1+a_n \right)^{b_n}\] Feu-la servir per calcular \[\begin{equation*} \lim_{n\to\infty}\left( 1+\frac{4}{n^{2}} \right)^{3n^2} \end{equation*}\]

1.2.13

Sabent que \(\lim_{n\to\infty}a_n=1\) i que \(\lim_{n\to\infty}b_n=\infty\), trobeu una fórmula per calcular \[\begin{equation*} \lim_{n\to\infty}a_n^{b_n} \end{equation*}\] Feu-la servir per calcular \[\begin{equation*} \lim_{n\to\infty}\left(\frac{2n^2+2n+1}{2n^{2}-3n+10}\right)^{4n+1} \end{equation*}\]

1.3 Límits barrejats

1.3.1

Calculeu els següents límits, si existeixen:

  1. \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} \left( \frac{2n^2+3n-1}{2n^2+2n-2} \right)^{2n}\)

  2. \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} \sqrt{4n^4-3n^2-2n-1}-\sqrt{4n^4+2n^2-3n+1}\)

  3. \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left( 1-\frac{2n^3+1}{3n^2+2n-1} \right)^{2n^3-1}\)

  4. \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} \frac{3n^2-2n+3}{5n^2+2n+1}\)

  5. \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{n^2+3n+4}{n+1}-\frac{2n^2 +n+1}{2n+3}\)

  6. \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} \frac{n^5-2n^4+3n+1}{n^3+2n^2-3n-3}-\frac{n^4+3n^3+2n^2-10}{n^2+2n+2}\)

1.3.2

Calculeu el següent següent límit d’una successió: \[\begin{equation*} \lim_{n \to \infty} \left( \sqrt{n^2 + 2n} - n \right) ^{2n} \end{equation*}\]

Primer analitzem la base de la potència per veure si tenim una indeterminació. Multipliquem i dividim pel conjugat: \[\begin{align*} \lim_{n\to\infty} (\sqrt{n^2+2n} - n) &= \lim_{n\to\infty} \frac{(\sqrt{n^2+2n} - n)(\sqrt{n^2+2n} + n)}{\sqrt{n^2+2n} + n} \\ &= \lim_{n\to\infty} \frac{n^2 + 2n - n^2}{\sqrt{n^2+2n} + n} \\ &= \lim_{n\to\infty} \frac{2n}{\sqrt{n^2+2n} + n} \\ &= \lim_{n\to\infty} \frac{2n}{n\sqrt{1+\frac{2}{n}} + n} = \frac{2n}{2n} = 1 \end{align*}\]

Per tant, tenim una indeterminació del tipus \(1^\infty\). Apliquem la fórmula del número \(e\): \[\lim_{n\to\infty} (a_n)^{b_n} = e^{\lim_{n\to\infty} (a_n - 1) \cdot b_n}\]

Calculem el límit de l’exponent: \[\begin{align*} L &= \lim_{n\to\infty} \left( \frac{2n}{\sqrt{n^2+2n} + n} - 1 \right) \cdot 2n \\ &= \lim_{n\to\infty} \left( \frac{2n - (\sqrt{n^2+2n} + n)}{\sqrt{n^2+2n} + n} \right) \cdot 2n \\ &= \lim_{n\to\infty} \left( \frac{n - \sqrt{n^2+2n}}{\sqrt{n^2+2n} + n} \right) \cdot 2n \end{align*}\]

Per resoldre aquesta part, tornem a multiplicar pel conjugat, aquest cop el del numerador (\(n + \sqrt{n^2+2n}\)): \[\begin{align*} n - \sqrt{n^2+2n} &= \frac{(n - \sqrt{n^2+2n})(n + \sqrt{n^2+2n})}{n + \sqrt{n^2+2n}} \\ &= \frac{n^2 - (n^2 + 2n)}{n + \sqrt{n^2+2n}} = \frac{-2n}{n + \sqrt{n^2+2n}} \end{align*}\]

Substituïm això en l’expressió del límit \(L\): \[\begin{align*} L &= \lim_{n\to\infty} \frac{\frac{-2n}{n + \sqrt{n^2+2n}}}{\sqrt{n^2+2n} + n} \cdot 2n \\ &= \lim_{n\to\infty} \frac{-2n \cdot 2n}{(n + \sqrt{n^2+2n})(\sqrt{n^2+2n} + n)} \\ &\sim \lim_{n\to\infty} \frac{-4n^2}{(2n)(2n)} = \frac{-4n^2}{4n^2} = -1 \end{align*}\]

Finalment, el resultat del límit original és: \[\boxed{e^{-1} = \frac{1}{e}}\]

1.3.3

Calculeu el següent límit:

\[\begin{equation*} \lim_{n \to \infty} \left( \frac{n^2}{n-1} - \frac{n^2+1}{n} \right)^{2n^2+1} \end{equation*}\]

Primer simplifiquem la base fent denominador comú: \[\begin{align*} \frac{n^2}{n-1} - \frac{n^2+1}{n} &= \frac{n^3 - (n^2+1)(n-1)}{n(n-1)} \\ &= \frac{n^3 - (n^3 - n^2 + n - 1)}{n^2 - n} \\ &= \frac{n^3 - n^3 + n^2 - n + 1}{n^2 - n} \\ &= \frac{n^2 - n + 1}{n^2 - n} \end{align*}\]

Si calculem el límit de la base quan \(n \to \infty\): \[\lim_{n\to\infty} \frac{n^2 - n + 1}{n^2 - n} = 1\] Així doncs, tenim una indeterminació del tipus \(1^\infty\). Apliquem de nou la fórmula: \[\lim_{n\to\infty} (a_n)^{b_n} = e^{\lim_{n\to\infty} (a_n - 1) \cdot b_n}\]

Calculem l’exponent: \[\begin{align*} L &= \lim_{n\to\infty} \left( \frac{n^2 - n + 1}{n^2 - n} - 1 \right) \cdot (2n^2 + 1) \\ &= \lim_{n\to\infty} \left( \frac{n^2 - n + 1 - (n^2 - n)}{n^2 - n} \right) \cdot (2n^2 + 1) \\ &= \lim_{n\to\infty} \left( \frac{1}{n^2 - n} \right) \cdot (2n^2 + 1) \\ &= \lim_{n\to\infty} \frac{2n^2 + 1}{n^2 - n} \end{align*}\]

Com que els graus del numerador i del denominador són iguals (grau 2), dividim els coeficients principals: \[L = \frac{2}{1} = 2\]

Per tant, el resultat final del límit és: \[\boxed{e^2}\]

1.3.4

Calculeu els següents límits:

  1. \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left( \frac{n^2+1}{n-1}-\frac{n^2+2}{n+1} \right)^{2n+1}\)

  2. \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left( \frac{n^2+5n}{n+1}-\frac{n^2+n}{n-1} \right)^{\frac{n^2+1}{2n^2+2n-1}}\)

  3. \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left( \frac{3n^2+4n}{n+1}-3n \right)^{2n+1}\)

  4. \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left( \frac{n^2+n}{n+1}-\frac{2n^2}{2n+1} \right)^{\frac{2n^2+1}{2n-1}}\)

  5. \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n}{2}- \frac{n^2}{2n+1} \right)^{\frac{2n+1}{4n+3}}\)

  1. \(2^{\infty}=\infty\)

  2. \(\sqrt{2}\)

  3. \(\frac{1}{e^2}\)

  4. \(0\)

  5. \(\frac{1}{2}\)

1.3.5

Considereu la següent successió: \[ a_n=\dfrac{kn^3+2n^2-2n+1}{2n^3+2n^2-n+3} \] Trobeu el valor de \(k\) per tal que \[ \lim_{n\to\infty}a_n=\dfrac{2}{3} \]

1.3.6

Trobeu tots els valors de \(k\) pels quals es compleix \[ \lim_{n\to\infty}\left(\dfrac{2n^2+n-1}{kn^2-n+2}\right)^{\frac{-n^2-n-1}{3n+4}}=0 \]