$$ \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\RR}{\mathbb{R}} \newcommand{\Nuc}{\text{Nuc}} %\newcommand{\vv}[1]{\overrightarrow{#1}} \newcommand{\vv}[1]{\vec{#1}} \newcommand{\D}{\text{Dom}} \newcommand{\Dom}{\text{Dom}} $$

4 Geometria al pla

4.1 Vectors

4.1.1

Calculeu l’angle que formen els següents vectors amb l’eix d’abscisses:

  1. \((1,3)\)

  2. \((-1,-3)\)

  3. \((1,-2)\)

  4. \((-2,4)\)

  5. \((-2,-3)\)

4.1.2

Calculeu el valor del paràmetre \(k\) per tal que els vectors \(\vec{u} = (k, -2)\) i \(\vec{v} = (3, 4)\) tinguin la mateixa direcció

4.1.3

Calculeu el valor del paràmetre \(k\) per tal que els vectors \(\vec{u} = (0, -2)\) i \(\vec{v} = (3, k)\) tinguin la mateixa direcció.

4.1.4

Els punts \(A=(3,1)\), \(B=(1,5)\), \(C=(3,9)\), \(D=(7,9)\), \(E=(9,5)\) i \(F=(7,1)\) són els vèrtexs d’un hexàgon. Digueu si es tracta d’un hexàgon regular o no.

4.1.5

Trobeu les coordenades exactes dels dos punts que es troben a distància \(2\) del punt \((1,3)\) en la direcció del vector \((1,3)\).

4.1.6

D’un segment, \(AB\) sabem que \(A=(2,0)\) i que el seu punt mig és el punt \((3,-4)\). Trobeu les coordenades el punt \(B\).

4.1.7

Considereu els punts \(A=(2,1)\), \(B=(6,1)\) i \(C=(4,5)\)

  1. Comproveu que es tracta d’un triangle isòscel·les.

  2. Trobeu el seu perímetre i la seva àrea.

4.1.8

Trobeu:

  1. \(\text{proj}_{(2,1)}(3,2)\)

  2. \(\text{proj}_{(0,1)}(2,-3)\)

  3. \(\text{proj}_{(1,-3)}(3,1)\)

4.1.9

Trobeu l’angle entre els vectors \((1,-2)\) i \((1,5)\).

4.1.10

Trobeu el baricentre d’un triangle de vèrtexs \(A=(0,0)\), \(B=(2,0)\) i \(C=(2,3)\).

4.1.11

D’un triangle coneixem dos vèrtexs, \(V_1=(1,0)\) i \(V_2=(0,3)\), i el seu baricentre, \(B=(2,1)\). Trobeu les coordenades del tercer vèrtex.

Sabem que el baricentre d’un triangle es troba a \(1/3\) entre el punt mig de dos vèrtexs i el vèrtex oposat. Si \(M=\frac{V_1+V_2}{2}\) és el punt mitjà entre \(V_1\) i \(V_2\), el tercer vèrtex l’obtindrem col·locant el vector \(\vv{MB}\) allargat el triple sortint de \(M\): \[\begin{aligned} V_3&=M+3\cdot \vv{MB}=M+3(B-M)=M+3B-3M=3B-2\cdot M\\ &=3\cdot B-\cancel{2}\cdot \frac{V_1+V_2}{\cancel{2}}=3B-V_1-V_2=(6,3)-(1,0)-(0,3)=\boxed{(5,0)} \end{aligned}\]

4.1.12

Els punts \(A=(1,3)\) i \(B=(-1,2)\) són dos vèrtexs consecutius d’un rectangle d’àrea \(8\). Trobeu els 4 possibles altres vèrtexs.

4.1.13

Els punts \(A=(1,1)\) i \(B=(2,5)\) pertanyen al costat desigual d’un triangle isòsceles d’àrea \(3\sqrt{15}\). Trobeu les coordenades de tots els possibles altres vèrtexs.

Vegeu la construcció dinàmica més avall.

Com l’àrea és \(3\sqrt{15}\) i el costat desigual mesura \(\Vert\vec{AB}\Vert=\Vert(2,5)-(1,1)\Vert=\Vert(1,4)\Vert=\sqrt{17}\), l’altura del triangle serà: \[\frac{\sqrt{17}\cdot h}{2}=3\sqrt{15}\Longrightarrow h=\frac{6\sqrt{15}}{\sqrt{17}}\] Per trobar el tercer vèrtex només caldrà girar el vector \(\vec{AB}\) \(90^\circ\), posar-lo sortint del punt mig del segment \(AB\) i fer que tingui mòdul \(h\). Per tal que tingui mòdul \(h\) caldrà normalitzar-lo (dividint entre el seu mòdul) i multiplicar-lo per \(h\). És a dir, els dos altres possibles vèrtexs seran: \[\begin{aligned} C&=\frac{A+B}{2}+\frac{\frac{6\sqrt{15}}{\sqrt{17}}}{\sqrt{17}}\cdot\left(4,-1 \right)=\frac{A+B}{2}+\frac{6\sqrt{15}}{17}(4,-1)=(6.96,1.63)\\ C'&=\frac{A+B}{2}-\frac{6\sqrt{15}}{17}\cdot\left(4,-1 \right)=(-3.96,4.36) \end{aligned}\]

Pas 1 de 6
Pas 1: Longitud de la base i l'altura. Sabem que l'àrea és \(3\sqrt{15}\). Calculem el costat desigual, que actua com a base: \(b = \Vert\vec{AB}\Vert = \Vert(1,4)\Vert = \sqrt{17}\). A partir de l'àrea, aïllem l'altura exacta: \(h = \frac{2 \cdot 3\sqrt{15}}{\sqrt{17}} = \frac{6\sqrt{15}}{\sqrt{17}} \approx 5.64\).

4.2 Rectes

4.2.1

Donada la recta \[r:\,(x,y)=(1,3)+\lambda\cdot (1,2)\]

  1. Digueu si els punts \((-1,-1)\), \((0,1)\) i \((3,6)\) pertanyen a la recta o no.

  2. Trobeu l’equació vectorial de la recta que és paral·lela a recta \(r\) però que passi pel punt \((2,3)\).

  3. Trobeu l’equació vectorial de la recta perpendicular a \(r\) que passi pel punt \((0,0)\).

a) Per comprovar si un punt pertany a la recta, substituïm les seves coordenades \((x,y)\) a l’equació de la recta \(r\) i comprovem si obtenim el mateix valor per al paràmetre \(\lambda\) en ambdues components.

  • Punt \((-1,-1)\): \[(-1,-1) = (1,3) + \lambda\cdot (1,2)\] Això ens dona el següent sistema: \[-1 = 1 + \lambda \implies \lambda = -2\] \[-1 = 3 + 2\lambda \implies -1 = 3 + 2(-2) \implies -1 = -1\] Com que la igualtat es compleix, el punt \((-1,-1)\) sí que pertany a la recta.

  • Punt \((0,1)\): \[(0,1) = (1,3) + \lambda\cdot (1,2)\] \[0 = 1 + \lambda \implies \lambda = -1\] \[1 = 3 + 2(-1) \implies 1 = 3 - 2 \implies 1 = 1\] Com que la igualtat es compleix, el punt \((0,1)\) sí que pertany a la recta.

  • Punt \((3,6)\): \[(3,6) = (1,3) + \lambda\cdot (1,2)\] \[3 = 1 + \lambda \implies \lambda = 2\] \[6 = 3 + 2(2) \implies 6 = 3 + 4 \implies 6 \neq 7\] Com que arribem a una contradicció (\(6 \neq 7\)), el punt \((3,6)\) no pertany a la recta.

b) Dues rectes paral·leles tenen el mateix vector director (o un de proporcional). Per tant, el vector director de la nova recta serà el mateix que el de la recta \(r\), és a dir, \(\vec{v} = (1,2)\). Com que la recta ha de passar pel punt \(P=(2,3)\), la seva equació vectorial és: \[(x,y) = (2,3) + \mu\cdot (1,2)\]

c) Un vector perpendicular al vector director de \(r\), \(\vec{v} = (1,2)\), s’obté intercanviant les seves components i canviant el signe d’una d’elles. Així doncs, un vector director ortogonal pot ser \(\vec{u} = (-2,1)\) (també seria vàlid \((2,-1)\)). Com que la recta ha de passar pel punt origen \((0,0)\), la seva equació vectorial és: \[(x,y) = (0,0) + \mu\cdot (-2,1)\] (Que també es pot expressar simplement com \((x,y) = \mu\cdot (-2,1)\)).

4.2.2

Donat un triangle de vèrtexs \(A=(1,0)\), \(B=(0,3)\) i \(C=(-1,-1)\) trobeu:

  1. Les equacions vectorials de les tres mitjanes

  2. Les equacions vectorials de les tres mediatrius

  3. Les equacions vectorials de les tres altures

Donats els vèrtexs \(A=(1,0)\), \(B=(0,3)\) i \(C=(-1,-1)\):

a) Equacions vectorials de les tres mitjanes

Una mitjana és la recta que uneix un vèrtex amb el punt mitjà del costat oposat.

  1. Mitjana des de \(A\): El punt mitjà del costat \(BC\) és \(M_{BC} = \frac{(0,3) + (-1,-1)}{2} = (-0.5, 1)\). El vector director és \(\vec{v}_A = M_{BC} - A = (-1.5, 1)\). (També podem usar un vector proporcional com \((-3, 2)\) per evitar decimals). \[m_A:\, (x,y) = (1,0) + \lambda \cdot (-3, 2)\]

  2. Mitjana des de \(B\): El punt mitjà del costat \(AC\) és \(M_{AC} = \frac{(1,0) + (-1,-1)}{2} = (0, -0.5)\). El vector director és \(\vec{v}_B = M_{AC} - B = (0, -3.5)\). (Proporcionalment, \((0, 1)\)). \[m_B:\, (x,y) = (0,3) + \lambda \cdot (0, 1)\]

  3. Mitjana des de \(C\): El punt mitjà del costat \(AB\) és \(M_{AB} = \frac{(1,0) + (0,3)}{2} = (0.5, 1.5)\). El vector director és \(\vec{v}_C = M_{AB} - C = (1.5, 2.5)\). (Proporcionalment, \((3, 5)\)). \[m_C:\, (x,y) = (-1,-1) + \lambda \cdot (3, 5)\]

b) Equacions vectorials de les tres mediatrius

Una mediatriu és la recta perpendicular a un costat que passa pel seu punt mitjà.

  1. Mediatriu de \(BC\): Passa per \(M_{BC} = (-0.5, 1)\). El vector del costat és \(\vec{BC} = C - B = (-1, -4)\). Un vector perpendicular és \((4, -1)\). \[med_{BC}:\, (x,y) = (-0.5, 1) + \mu \cdot (4, -1)\]

  2. Mediatriu de \(AC\): Passa per \(M_{AC} = (0, -0.5)\). El vector del costat és \(\vec{AC} = C - A = (-2, -1)\). Un vector perpendicular és \((1, -2)\). \[med_{AC}:\, (x,y) = (0, -0.5) + \mu \cdot (1, -2)\]

  3. Mediatriu de \(AB\): Passa per \(M_{AB} = (0.5, 1.5)\). El vector del costat és \(\vec{AB} = B - A = (-1, 3)\). Un vector perpendicular és \((3, 1)\). \[med_{AB}:\, (x,y) = (0.5, 1.5) + \mu \cdot (3, 1)\]

c) Equacions vectorials de les tres altures

Una altura és la recta que passa per un vèrtex i és perpendicular al costat oposat. Els vectors directors seran els mateixos que hem trobat per a les mediatrius, però ara agafem els vèrtexs com a punts de pas.

  1. Altura des d’ \(A\): Passa per \(A(1,0)\) i el seu vector director és el perpendicular a \(BC\), és a dir, \((4, -1)\). \[h_A:\, (x,y) = (1,0) + k \cdot (4, -1)\]

  2. Altura des de \(B\): Passa per \(B(0,3)\) i el seu vector director és el perpendicular a \(AC\), és a dir, \((1, -2)\). \[h_B:\, (x,y) = (0,3) + k \cdot (1, -2)\]

  3. Altura des de \(C\): Passa per \(C(-1,-1)\) i el seu vector director és el perpendicular a \(AB\), és a dir, \((3, 1)\). \[h_C:\, (x,y) = (-1,-1) + k \cdot (3, 1)\]

4.2.3

Considereu la recta l’equació general de la qual és \[r:\, 2x-y+3=0\] Digueu si el vector \((3,6)\) és un vector director o no.

Si \((3,6)\) és un vector director aleshores haurà de ser perpendicular al vector gradient \((2,-1)\). Ho comprovem fent servir el producte escalar: \[(3,6)\cdot (2,-1)=6-6=0\] Efectivament, és un vector director.

4.2.4

Trobeu el valor de \(q\) per tal que les rectes \[\begin{aligned} r:\,&(x,y)=(2,3)+\lambda (3q,2q)\\ s:\,& qx-y+3=0 \end{aligned}\] siguin:

  1. Paral·leles

  2. Perpendiculars

4.2.5

Donats els puns \(A=(1,2)\), \(B=(-1,3)\) i \(C=(2,3)\), trobeu el circumcentre (punt on es tallen les mediatrius) del triangle \(ABC\). Comproveu que aquest punt és el centre de la circumferència circumscrita al triangle. És a dir, és el centre de la circumferència que passa pels tres vertexs del triangle.

Donats els punts \(A=(1,2)\), \(B=(-1,3)\) i \(C=(2,3)\), calcularem les mediatrius per trobar el circumcentre.

1. Mediatriu del segment \(AB\) (\(med_{AB}\)) * Punt mitjà de \(AB\): \(M_{AB} = \left(\frac{1-1}{2}, \frac{2+3}{2}\right) = (0, 2.5)\). * Vector del costat: \(\vec{AB} = B - A = (-2, 1)\). * Un vector perpendicular a \(\vec{AB}\) és \(\vec{v} = (1, 2)\). * Equació de la mediatriu: \(2x - y + C = 0\). Imposant que passi per \((0, 2.5)\): \(2(0) - 2.5 + C = 0 \implies C = 2.5\). \[med_{AB}:\, 2x - y + 2.5 = 0 \implies y = 2x + 2.5\]

2. Mediatriu del segment \(BC\) (\(med_{BC}\)) * Punt mitjà de \(BC\): \(M_{BC} = \left(\frac{-1+2}{2}, \frac{3+3}{2}\right) = (0.5, 3)\). * Vector del costat: \(\vec{BC} = C - B = (3, 0)\). * Com que el costat és horitzontal, la mediatriu és una recta vertical que passa pel punt mitjà: \[med_{BC}:\, x = 0.5\]

3. Càlcul del Circumcentre (\(O\)) Substituïm \(x = 0.5\) a l’equació de la primera mediatriu: \(y = 2(0.5) + 2.5 = 1 + 2.5 = 3.5\). El circumcentre és el punt: \[O = (0.5, 3.5)\]

4. Comprovació de la circumferència circumscrita Calculem el quadrat del radi \(R^2\) des de \(O\) a cada vèrtex: * \(d(O, A)^2 = (1 - 0.5)^2 + (2 - 3.5)^2 = 0.5^2 + (-1.5)^2 = 0.25 + 2.25 = 2.5\) * \(d(O, B)^2 = (-1 - 0.5)^2 + (3 - 3.5)^2 = (-1.5)^2 + (-0.5)^2 = 2.25 + 0.25 = 2.5\) * \(d(O, C)^2 = (2 - 0.5)^2 + (3 - 3.5)^2 = 1.5^2 + (-0.5)^2 = 2.25 + 0.25 = 2.5\)

Com que la distància és la mateixa en tots els casos, queda demostrat que \(O(0.5, 3.5)\) és el centre de la circumferència que passa per \(A\), \(B\) i \(C\).

4.2.6

Donat un triangle de vèrtexs \(A=(0,2)\), \(B=(1,4)\) i \(C=(-2,1)\), trobeu:

  1. Les coordenades del baricentre

  2. Les coordenades del punt on es tallen les mediatrius (circumcentre)

  3. Les coordenades del punt on es tallen les altures (ortocentre)

  1. El baricentre es troba a un terç entre el punt mig d’un costat i el vèrtex oposat: \[\begin{aligned} B&=M_{AB}+\frac{1}{3}\vv{MC}=\frac{A+B}{2}+\frac{C-M}{3}=\frac{3A+3B+2C-2M}{6}\\ &=\frac{3A+3B+2C-\cancel{2}\frac{A+B}{\cancel{2}}}{6}=\frac{3A+3B+2C-A-B}{6}\\ &=\frac{2A+2B+2C}{6}=\frac{A+B+C}{3}= \frac{(0,2)+(1,4)+(-2,1)}{3} =\frac{(-1,7)}{3}\\ &=\boxed{\left( -\frac{1}{3},\frac{7}{3} \right)} \end{aligned}\]

  2. Només caldrà calcular la intersecció entre dues mediatrius, \(m_{AB}\) i \(m_{BC}\), per exemple. Els vectors gradients seran \(B-A=(1,2)\) i \(B-C=(-3,-3)\), respectivament. Per comoditat, canviarem el gradient de \(m_{BC}\) pel vector \((1,1)\), que té la mateixa direcció que \((-3,-3)\). Per tant, les equacions generals seran: \[\begin{aligned} m_{AB}:&x+2y+C_{AB}=0\\ m_{BC}:&x+y+C_{BC}=0 \end{aligned}\] Ara cal trobar les constants \(C_{AB}\) i \(C_{BC}\) imposant que aquestes rectes passin per \(M_{AB}=\frac{A+B}{2}=\left( \frac{1}{2},3 \right)\) i \(M_{BC}=\frac{B+C}{2}=\left( -\frac{1}{2},\frac{5}{2} \right)\), respectivament: \[\begin{aligned} \frac{1}{2}+2\cdot 3+C_{AB}=0\Longrightarrow C_{AB}=-\frac{13}{2}\\ -\frac{1}{2}+\frac{5}{2}+C_{BC}=0\Longrightarrow C_{BC}=-2 \end{aligned}\] Ara, per trobar el punt d’intersecció només caldrà resoldre el següent sistema: \[\left. \begin{aligned} x+2y-\frac{13}{2}=0\\ x+y-2=0 \end{aligned} \right\}\] Fent reducció restant la primera equació menys la segona obtenim: \[y-\frac{13}{2}+2=0\Longrightarrow y=\frac{9}{2}\] Substituïnt a la segona equació obtenim \[x+\frac{9}{2}-2=0\Longrightarrow x=-\frac{5}{2}\] i circumcentre serà el punt \(\left( -\frac{5}{2},\frac{9}{2} \right)\).

  3. Les alterures són paral·leles a les mediatrius, però passant pel vèrtex oposat enlloc del punt mig. Així només recalcular les constants \(C\) de l’apartat anterior: \[\begin{aligned} h_{c}:&x+2y+C_C=0\\ h_A:&x+y+C_A=0 \end{aligned}\] Imposant ara que \(h_c\) passi per \(C\) i \(h_A\) passi per \(A\) obtenim: \[\begin{aligned} -2+2\cdot 1+C_C=0\Longrightarrow C_C=0\\ 0+2+C_a=0\Longrightarrow C_A=-2 \end{aligned}\] Ara, per trobar l’ortocentre, només caldrà resoldre els sistema: \[\left. \begin{aligned} x+2y=0\\ x+y-2=0 \end{aligned} \right\}\] Restant la primera equació menys la segona obtenim \(y+2=0\Longrightarrow y=-2\), i substituïnt a la segona equació obtenim \(x-2-2=0\Longrightarrow x=4\). Per tant, l’ortocentre estarà al punt \((4,-2)\).

4.2.7

Considereu la recta \(r:\, 2x-y+2=0\) i el punt \(P=(0,0)\).

  1. Trobeu l’equació de la recta \(s\) perpendicular a \(r\) que passa per \(P\).

  2. Trobeu el punt de tall entre \(r\) i \(s\).

  3. Trobeu el punt simètric del punt \(P\) respecte la recta \(r\).

Podeu seguir la solució a l’applet de Geogebra:

https://www.geogebra.org/classic/thdrkash

  1. Una recta perpendicular a \(r\) serà de la forma \(x+2y+C=0\), ja que només cal girar el gradient \(90^\circ\). Ara imposem que passi per \(P\): \(0+0+C=0\Longrightarrow C=0\), i la recta serà \(x+2y=0\).

  2. Només cal resoldre el sistema \[\left. \begin{aligned} 2x-y+2=0\\ x+2y=0 \end{aligned} \right\}\] Si multipliquem la segona equació per \(2\) i li restem la primera obtenim l’equació \(5y-2=0\Longrightarrow y=\frac{2}{5}\). Substituïm a la segona obtenim \(x+2\cdot \frac{2}{5}=0\Longrightarrow x=-\frac{4}{5}\). L’ortocentre serà doncs el punt \(\left( -\frac{4}{5},\frac{2}{5} \right)=\left( -0.8,0.4 \right)\).

  3. Anomenem \(Q=(-\frac{4}{5},\frac{2}{5})\) al punt d’intersecció que hem trobat a l’apartat anterior. Per trobar el punt simètric de \(P\) respecte de \(r\) només cal situar a \(Q\) el vecotr \(\vv{PQ}\): \[P'=Q+\vv{PQ}=Q+Q-P=2Q-P\]

4.3 Distàncies

4.3.1

Trobeu al distància entre el punt \(P=(1,3)\) i la recta \(r:\,(x,y)=(2,2)+\lambda (1,1)\)

Per tal de trobar \(d(P,r)\) ens aniria bé escriure la recta \(r\) en forma general. Com \((1,1)\) és un vector director, el vector \((1,-1)\) en serà el gradient, i la recta serà: \[x-y+C=0\] Ara trobem \(C\) imposant que el punt \((2,2)\) compleixi l’equació: \[2-2+C=0\Longrightarrow C=0\] Per tant, la recta en forma general tindrà la forma \(x-y=0\). Ara podem aplicar la fórmula de la distància entre un punt i la recta: \[d(P,r)=\frac{\left|1\cdot 1-1\cdot 3\right|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\boxed{\sqrt{2}}\]

4.3.2

Considereu el punt \(P(2,3)\) i la recta \(r:\, 2x+y+1=0\).

  1. Trobeu \(d(P,r)\)

  2. Trobeu el punt simètric de \(P\) respecte de \(r\).

a. Trobeu \(d(P, r)\) Per trobar la distància d’un punt \(P(2, 3)\) a una recta \(r: 2x + y + 1 = 0\), apliquem directament la fórmula de la distància: \[d(P, r) = \frac{|A \cdot x_p + B \cdot y_p + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}\] \[d(P, r) = \frac{|2(2) + 1(3) + 1|}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \frac{|4 + 3 + 1|}{\sqrt{5}} = \frac{8}{\sqrt{5}} = \frac{8\sqrt{5}}{5} \approx 3.58 \text{ u}\]

b. Trobeu el punt simètric de \(P\) respecte de \(r\) Seguirem un procés de tres passos geomètrics:

1. Recta perpendicular (\(s\)): Busquem una recta \(s\) perpendicular a \(r\) que passi per \(P\). El vector normal de \(r\) és \(\vec{n}_r = (2, 1)\). Si el girem 90 graus, obtenim el vector normal de la recta perpendicular: \(\vec{n}_s = (-1, 2)\). Per tant, l’equació general de \(s\) serà de la forma \(-x + 2y + C = 0\) (o \(x - 2y + C' = 0\)). Imposem que passi per \(P(2, 3)\) per trobar la constant: \[2 - 2(3) + C = 0 \implies 2 - 6 + C = 0 \implies C = 4\] Així doncs, la recta perpendicular és \(s: x - 2y + 4 = 0\).

2. Punt d’intersecció (\(O\)): Trobem el punt on es tallen les dues rectes resolent el sistema d’equacions format per \(r\) i \(s\): \[\begin{cases} 2x + y + 1 = 0 \\ x - 2y + 4 = 0 \end{cases}\] Multipliquem la primera equació per 2 i sumem: \(4x + 2y + 2 = 0\) \(x - 2y + 4 = 0\) ——————- \(5x + 6 = 0 \implies x = -1.2\) Substituïm per trobar la \(y\): \(2(-1.2) + y + 1 = 0 \implies -2.4 + y + 1 = 0 \implies y = 1.4\). El punt d’intersecció (la projecció de \(P\) sobre \(r\)) és \(O(-1.2, 1.4)\).

3. Translació del vector per trobar el simètric (\(P'\)): Considerem el vector que va de \(P\) a \(O\): \[\vec{PO} = O - P = (-1.2 - 2, 1.4 - 3) = (-3.2, -1.6)\] Per trobar el punt simètric \(P'\), només cal agafar aquest mateix vector i col·locar-lo sortint de \(O\) (és a dir, sumar el vector al punt d’intersecció): \[P' = O + \vec{PO} = (-1.2 + (-3.2), 1.4 + (-1.6)) = (-4.4, -0.2)\]

Pas 1 de 4
Pas 1: Distància Punt-Recta. Apliquem la fórmula de la distància per al punt \(P(2,3)\) i la recta \(r: 2x+y+1=0\):
\[d(P, r) = \frac{|2(2) + 1(3) + 1|}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \frac{8}{\sqrt{5}} = \frac{8\sqrt{5}}{5} \approx 3.58 \text{ u}\]
(Pots arrossegar el punt \(P\) al gràfic per veure com s'actualitza el càlcul. Ara també pots fer zoom i moure't pel gràfic!).

4.3.3

Trobeu la posició relativa entre les rectes: \[\begin{aligned} r:&(x,y)=(3,1)+\lambda (2,-1)\\ s:&2x+4y+4=0 \end{aligned}\]

  1. Trobeu la posició relativa entre elles

  2. En cas que siguin secants trobeu-ne l’angle de tall i el punt d’intersecció. En cas que siguin paral·leles trobeu-ne la distància entre elles. En cas que siguin coincidents no feu res més.

  1. Observem que els vector directors de \(r\) i el normal de \(s\) són perpendiculars: \[(2,-1)\cdot (2,4)=4-4=0\] Per tant, les rectes són paral·lels i bé la mateixa. Per distingir-ho comprovem si el punt \((3,1)\) pertany a \(s\) simplement comprovant si compleix l’equació: \[2\cdot 3+4\cdot 1+4=6+4+4=14\neq 0\] Per tant, les dues rectes són paral·leles.

  2. Per trobar la distància entre elles només caldrà calcular la distància entre un punt qualsevol d’una d’elles i l’altra. Com \(s\) està en vectorial escollim el punt \(P=(3,1)\) de la recta \(r\), i obtenim: \[d(r,s)=d(P,s)=\frac{\left| 2\cdot 3+4\cdot 1+4 \right|}{\sqrt{2^2+4^2}}=\frac{14}{\sqrt{20}}=\frac{14}{\sqrt{4\cdot5}}=\frac{\cancel{2}\cdot 7}{\cancel{2}\sqrt{5}}=\boxed{\frac{7\sqrt{5}}{5}}\]

4.3.4

D’un triangle d’àrea \(4\) en coneixem dos vèrtex, \(V_1=(-1,2)\) i \(V_2=(1,0)\). Trobeu les coordenades del tercer vèrtex sabent que aquest es troba sobre la recta \(2x+y-4=0\).

Podeu seguir la solució a l’applet de Geogebra:

https://www.geogebra.org/classic/hxmn4m8f

L’àrea d’un triangle és la meitat del producte d’una base per l’altura corresponent. Com tenim dos vèrtexs podem calcular una base: \[b=\norm{\vv{V_1V_2}}=\norm{(2,-2)}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\] Per tant, l’altura serà \[\frac{h\cdot \cancel{2}\sqrt{2}}{\cancel{2}}=4\Longrightarrow h=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}\] Ara ens caldrà trobar un punt de la recta \(r:\, 2x+y-4=0\) que estigui a distància \(h\) de la recta que passa per \(V_1\) i \(V_2\). Trobem aquesta darrera recta en forma general. El gradient l’obtindrem girant \(90^\circ\) el vector \(\vv{V_1V_2}=V_2-V_1=(2,-2)\), que serà el vector \((2,2)\). Ara, per facilitar els càlculs, agafem com a gradient el vector \((1,1)\), que té la mateixa direcció que el vector \((2,2)\). Per tant, la recta que passa per \(V_1\) i \(V_2\) té és de la forma \[x+y+C=0\] Trobem \(C\) imposant que passi per \(V_2\): \(1+0+C=0\Longrightarrow C=-1\), i la recta que passa per aquests dos vèrtexs és la recta \[s:\,x+y-1=0\] Ara ens caldrà buscar un punt de la recta de l’enuciat que estigui a distància \(2\sqrt{2}\) de \(r\): \[d\left( (x,y),r \right)=\frac{\left| x+y-1 \right|}{\sqrt{1^2+1^2}}=2\sqrt{2}\] Com el punt \((x,y)\) ha de ser de la recta \(2x+y-4=0\), podem aïllar \(y=-2x+4\) i substituir-ho a l’equació anterior: \[\frac{x-2x+4-1}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}\Longrightarrow \left| -x+3 \right|=2\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}\Longrightarrow \left| -x+3 \right|=4\] L’equació \(\left| 3-x \right|=4\) té dues possibles solucions: \(3-x=4\Longrightarrow x=-1\) o bé \(-(3-x)=4\Longrightarrow x=-7\). Substituïnt a l’equació de la recta de l’enunciat trobem els corresponents valors de \(y\), i obtenim els punts: \[V_3=(-1,6)\qquad V_3=(7,-10)\]

Pas 1 de 6
Pas 1: Plantejament geomètric. Coneixem dos vèrtexs, \(V_1(-1, 2)\) i \(V_2(1, 0)\), i sabem que el tercer vèrtex, \(V_3\), viu sobre la recta \(2x + y - 4 = 0\).

(Mou el punt \(V_3\) sobre la recta taronja per veure com canvia el triangle. També pots arrossegar el fons per moure't o fer zoom!).

4.3.5

Demostreu que el baricentre d’un triangle es troba a distància \(\frac{1}{3}\) entre el punt mig d’un costat i el vèrtex oposat.

4.3.6

Donades les rectes \[\begin{aligned} r:\,&(x,y)=(2,0)+\lambda (1,-1)\\ s:\,&\frac{x-2}{3}=y+1 \end{aligned}\]

  1. Trobeu-ne la posició relativa

  2. En cas que sigui paral·les trobe-ne la distància entre ells, en cas que sigui iguals no feu res, i en cas que siguin secants trobeu-ne el punt d’intersecció i l’angle de tall

4.3.7

Trobeu tots els punts que es troben a la mateixa distància de les rectes \[\begin{aligned} r:\,2x+3y+1=0\\ s:\,y=-\frac{2}{3}x+4 \end{aligned}\]

Fixem-nos que les rectes són paral·leles. En efecte, si passem \(s\) a general tenim \(s:\, 2x+3y-12=0\). Com els gradients són iguals, però les constant no ho són, les rectes tenen la mateixa direcció però passen per punts diferents: són paral·leles.
Els punts que es troben a la mateixa distància de les rectes es trobaran sobre una altra recta que estarà entre \(r\) i \(s\). Diguem \(P=(x,y)\) a un punt d’aquesta recta. Aleshores \(P=(x,y)\) haurà de complir: \[d(P,r)=d(P,s)\Longrightarrow \frac{\left| 2x+3y+1 \right|}{\cancel{\sqrt{13}}}=\frac{\left| 2x+3y-12 \right|}{\cancel{\sqrt{13}}}\] Per tant, l’equació de la recta vindrà de l’equació: \[\left| 2x+3y+1 \right|=\left| 2x+3y-12 \right|\] Ara caldrà eliminar els valors absoluts. Una equació de l’estil \(\left| f(x) \right|=\left| g(x) \right|\) té \(4\) opcions, que acaben sent dues: \[\begin{aligned} &f(x)=g(x)\\ &-f(x)=g(x)\\ &f(x)=-g(x)\text{ Com la segona}\\ &-f(x)=-g(x)\Longrightarrow f(x)=g(x)\text{ Com la primera} \end{aligned}\] Per tant provem: \[\begin{aligned} &2x+3y+1=2x+3y-12\Longrightarrow 1=-12?\text{ No pot ser}\\ &-(2x+3y+1)=2x+3y-12\Longrightarrow -2x-3y-1=2x+3y-12\Longrightarrow \boxed{4x+6y-11=0} \end{aligned}\] I aquesta darrera és la solució.

4.4 Llocs geomètrics

4.4.1

Trobeu l’equació de la circumferència que:

  1. Té centre \((1,-2)\) i radi \(2\).

  2. Té centre \((1,4)\) i és tangent a l’eix d’ordenades

  3. Té centre \((1,4)\) i és tangent a l’eix d’abscisses

  4. Està circumscrita al triangle de vèrtexs \((1,0)\), \((0,3)\) i \((0,0)\).

  5. Té centre \((1,3)\) i és tangent a la recta \(2x+3y+2=0\)

  6. Té centre \((2,5)\) i és tangent a la circumferència \(x^2+(y+2)^2=4\) (alerta que n’hi ha dues!)

  7. Té centre \((1,2)\) i és tangent a la circumferència \((x-1)^2+(y-1)^2=25\) (alerta que n’hi ha dues!).

4.4.2

Trobeu l’equació de la circumferència que passa pels punts \(A=(0,0)\), \(B=(1,1)\) i \(C=(4,0)\).

Es tracta de la circumferència circumscrita al triangle \(ABC\), el centre de la qual es troba al punt on es tallen les mediatrius. Trobem-les.

  • Mediatriu \(AB\). Com és perpendicular a \(AB\), el vector \(\vv{AB}\) serà el gradient: \(\vv{AB}=B-A=(1,1)\). Per tant la recta té la forma \(x+y+C=0\). Ara imposem que passi pel punt mig del segment \(AB\), \(M=\frac{A+B}{2}=(\frac{1}{2},\frac{1}{2})\), d’on traiem que \(c=-1\).

  • Mediatriu \(AC\). Com els punts \(A\) i \(C\) es troben a l’eix d’abscisses, la mediatriu serà una recta vertical passant per la meitat: \(x=2\). Sinó, procedint com amb la mediatriu del segment \(AB\) obtindríem el mateix.

Ara caldria trobar el punt on es tallen aquestes mediatrius, cosa que farem resolent el sistema: \[\left. x+y-1=0\\ x=2 \right\}\] I el centre de la circumferència serà el punt \(O=(2,-1)\).
Ara ens cal trobar el radi. Aquest serà la distància entre el punt \(O\) i qualsevol dels 3 vèrtexs: \[R=d(O,B)=d(O,C)=d(O,A)=\sqrt{2^2+(-1)^2}=\sqrt{5}\] Per tant, l’equació de la circumferència que estem buscant serà: \[\boxed{(x-2)^2+(y+1)^2=5}\] Recordeu que el radi apareix elevat al quadrat i l’arrel marxa.