$$ \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\RR}{\mathbb{R}} \newcommand{\Nuc}{\text{Nuc}} %\newcommand{\vv}[1]{\overrightarrow{#1}} \newcommand{\vv}[1]{\vec{#1}} \newcommand{\D}{\text{Dom}} \newcommand{\Dom}{\text{Dom}} $$

2. Derivades

Exercicis de matemàtiques de 2n de batxillerat CCSS · Curs 2026–2027.

Els colors indiquen el nivell de dificultat. Les solucions disponibles es poden desplegar sota l’enunciat. Es conserva la numeració del dossier original.

2.1 Taxa de variació mitjana

Exercici 2.1.1

La funció \(f(x)=x^{3}+2\) sempre és sempre creixent. Calcula’n la variació mitjana a cadascun dels intervals següents: \([-3,-1]\), \([0,2]\) i \([5,7]\). En quin dels tres intervals té un creixement més ràpid?

Exercici 2.1.2

Considera la funció \(f(x)=3x+1\). Demostra que la seva variació mitjana sempre és la mateixa, independent de l’interval \([a,b]\).

Exercici 2.1.3

Quant val la variació mitjana de la funció \(f(x)=5\) en qualsevol interval \([a,b]\)?

Exercici 2.1.4

Una empresa tecnològica està analitzant el seu benefici mensual (en milers d’euros) durant el primer semestre de l’any. El benefici ve donat per la funció següent: \[B(t) = at^3 - 12t^2 + 24t + k\] on \(t\) és el temps en mesos des de l’inici de l’any, i \(k\) i \(a\) són paràmetres constants.

Dades conegudes:

  • Al mes 1, el benefici era de \(30\) milers d’euros, és a dir: \(B(1) = 30\).

  • La variació mitjana del benefici entre el mes 1 i el mes 4 és de \(6\) milers d’euros per mes.

Apartats:

  1. Calcula els valors dels paràmetres \(a\) i \(k\).

  2. Amb aquests valors, calculeu el benefici esperat al mes 6 i interpreteu el resultat.

  3. Amb els valors trobats, calculeu \(\text{TVN}_{[1.9,2.1]}\) per aproximar \(f'(2)\). Interpreteu el resultat.

2.2 Derivades

Exercici 2.2.5

Mitjançant la definició de derivada, calculeu

  1. \(f'(0)\), \(f'(-1)\) i \(f'(10)\) si \(f(x)=3x+2\).

  2. \(f'(1)\) si \(f(x)=2x^2-3x+2\)

  3. \(f'(0)\) si \(f(x)=\frac{x}{x+1}\)

Mitjançant la definició de derivada:

  1. \(f(x)=3x+2\). Per la definició, \[f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} =\lim_{h\to 0}\frac{3(a+h)+2-(3a+2)}{h} =\lim_{h\to 0}\frac{3h}{h}=3.\] Per tant \(f'(0)=3,\; f'(-1)=3,\; f'(10)=3\).

  2. \(f(x)=2x^2-3x+2\). Calculem \(f'(1)\): \[f'(1)=\lim_{h\to 0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h} =\lim_{h\to 0}\frac{2(1+h)^2-3(1+h)+2-(2-3+2)}{h}.\] Expandint el numerador: \[2(1+2h+h^2)-3-3h+2-(1)=2+4h+2h^2-3-3h+2-1= (4h+2h^2-3h)+0 = h+2h^2.\] Així \[f'(1)=\lim_{h\to 0}\frac{h+2h^2}{h}=\lim_{h\to 0}(1+2h)=1.\]

  3. \(f(x)=\dfrac{x}{x+1}\). Calculem \(f'(0)\) mitjançant la definició: \[f'(0)=\lim_{h\to 0}\frac{\frac{0+h}{0+h+1}-\frac{0}{0+1}}{h} =\lim_{h\to 0}\frac{\frac{h}{1+h}}{h} =\lim_{h\to 0}\frac{1}{1+h}=\frac{1}{1}=1.\]

Exercici 2.2.6

Mitjançant la definició de derivada comproveu que, si \(f(x)=4x^{3}\), aleshores \[ f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=12x^2 \]

Demostrem per la definició que si \(f(x)=4x^3\) aleshores \(f'(x)=12x^2\).

Per la definició de derivada, \[f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} =\lim_{h\to 0}\frac{4(x+h)^3-4x^3}{h} =4\lim_{h\to 0}\frac{(x^3+3x^2h+3xh^2+h^3)-x^3}{h}.\] Simplificant el numerador dins del límit: \[4\lim_{h\to 0}\frac{3x^2h+3xh^2+h^3}{h} =4\lim_{h\to 0}\big(3x^2+3xh+h^2\big).\] Prenent el límit quan \(h\to0\) s’obté \[f'(x)=4\cdot 3x^2=12x^2,\] com volíem demostrar.

Exercici 2.2.7

Calculeu les derivades de les següents funcions:

  1. \(f(x)=x^2\cdot \ln(x)\)

  2. \(f(x)=(x^{3}-2x^{2}+4x-2)\cdot \sqrt{x}\)

  3. \(f(x)=\frac{x^2-1}{3x^3-2x^2+1}\)

  4. \(f(x)=\frac{2x^{3}\cdot \ln(x)}{x^2-3}\)

Càlcul de derivades.

  1. \(f(x)=x^2\ln(x)\). Aplicant la regla del producte, \[f'(x)=2x\ln(x)+x^2\cdot\frac{1}{x}=2x\ln(x)+x = x\big(2\ln(x)+1\big).\]

  2. \(f(x)=(x^{3}-2x^{2}+4x-2)\sqrt{x}=(x^{3}-2x^{2}+4x-2)\,x^{1/2}\). Aplicant la regla del producte: \[f'(x)=(3x^2-4x+4)\,x^{1/2}+(x^{3}-2x^{2}+4x-2)\cdot\frac{1}{2}x^{-1/2}.\] Si es vol, això també es pot escriure com \[f'(x)=\sqrt{x}\,(3x^2-4x+4)+\frac{x^{3}-2x^{2}+4x-2}{2\sqrt{x}}.\]

  3. \(f(x)=\dfrac{x^2-1}{3x^3-2x^2+1}\). Aplicant la regla del quocient, si \(u=x^2-1\) i \(v=3x^3-2x^2+1\), \[f'(x)=\frac{u'v-uv'}{v^2}=\frac{2x(3x^3-2x^2+1)-(x^2-1)(9x^2-4x)}{(3x^3-2x^2+1)^2}.\] Simplificant el numerador: \[2x(3x^3-2x^2+1)-(x^2-1)(9x^2-4x)=-3x^4+9x^2-2x,\] per tant \[f'(x)=\frac{-3x^4+9x^2-2x}{(3x^3-2x^2+1)^2}.\]

  4. \(f(x)=\dfrac{2x^{3}\ln(x)}{x^2-3}\). Amb \(u=2x^3\ln x\) i \(v=x^2-3\), \[u'=6x^2\ln x+2x^2=2x^2(3\ln x+1),\qquad v'=2x,\] i per la regla del quocient \[f'(x)=\frac{u'v-uv'}{v^2} =\frac{\big(6x^2\ln x+2x^2\big)(x^2-3)-(2x^3\ln x)(2x)}{(x^2-3)^2}.\] Una forma factorizada és \[f'(x)=\frac{2x^2\big((3\ln x+1)(x^2-3)-2x^2\ln x\big)}{(x^2-3)^2}.\] (Es pot desenvolupar i simplificar més si es desitja.)

Exercici 2.2.8

En quin valor de \(x\) la derivada de la funció \(f(x)=2x^2-2x+5\) es fa igual a \(2\)?

(En quin valor de \(x\) la derivada de \(f(x)=2x^2-2x+5\) és \(2\)?)

Calculem la derivada: \[f'(x)=\frac{d}{dx}(2x^2-2x+5)=4x-2.\] Volem \(f'(x)=2\), així que \[4x-2=2 \;\Longrightarrow\; 4x=4 \;\Longrightarrow\; x=1.\] Per tant la derivada val \(2\) en \(x=1\).

Exercici 2.2.9

Trobeu el pendent de la recta tangent a la funció \(f(x)=x^2-3x +4\) en \(x=0\).

Derivem: \[f'(x)=2x-3.\] Per \(x=0\) obtenim \[f'(0)=2\cdot 0-3=-3.\] Així, el pendent de la tangent en \(x=0\) és \(-3\).

Exercici 2.2.10

Calculeu el valor de \(k\) en la funció \[ f(x)=\frac{x^2+k}{x^2-k} \] per tal que es compleixi \(f'(2)=-24\).

(Trobar \(k\) tal que per \(f(x)=\dfrac{x^2+k}{x^2-k}\) es compleixi \(f'(2)=-24\).)

Posant \(u(x)=x^2+k\) i \(v(x)=x^2-k\) tenim \(u'=2x\) i \(v'=2x\). Per la regla del quocient, \[f'(x)=\frac{u'v-uv'}{v^2}=\frac{2x(x^2-k)- (x^2+k)2x}{(x^2-k)^2} =\frac{2x\big((x^2-k)-(x^2+k)\big)}{(x^2-k)^2}.\] Simplificant el factor: \[f'(x)=\frac{2x(-2k)}{(x^2-k)^2}=\frac{-4kx}{(x^2-k)^2}.\] Avaluant en \(x=2\): \[f'(2)=\frac{-4k\cdot 2}{(4-k)^2}=\frac{-8k}{(4-k)^2}.\] Exigim \(f'(2)=-24\), per tant \[\frac{-8k}{(4-k)^2}=-24.\] Dividint per \(-8\) s’obté \[\frac{k}{(4-k)^2}=3.\] Resolem l’equació quadràtica: \[k=3(4-k)^2=3(16-8k+k^2)=48-24k+3k^2,\] de manera que \[0=3k^2-25k+48.\] Calculem el discriminant: \(\Delta=25^2-4\cdot 3\cdot 48=625-576=49\), \(\sqrt{\Delta}=7\). Així \[k=\frac{25\pm 7}{6}.\] Per tant les solucions són \[k=\frac{32}{6}=\frac{16}{3}\quad\text{o}\quad k=\frac{18}{6}=3.\] (Comprovació ràpida: per ambdós valors \(4-k\neq 0\), de manera que l’expressió està ben definida.)

Exercici 2.2.11

Si \(f(x)=x^n\cdot e^x\), trobeu el valor de \(n\) per tal que \(f'(3)=0\).

(Si \(f(x)=x^n e^x\), trobeu \(n\) tal que \(f'(3)=0\).)

Derivem usant la regla del producte: \[f'(x)=\frac{d}{dx}(x^n)e^x + x^n\frac{d}{dx}(e^x) = n x^{\,n-1}e^x + x^n e^x = x^{\,n-1}e^x(n+x).\] Avaluant en \(x=3\): \[f'(3)=3^{\,n-1}e^{3}(n+3).\] Com que \(3^{\,n-1}>0\) i \(e^{3}>0\) per a qualsevol \(n\in\mathbb{R}\), l’expressió s’annul·la si i només si \(n+3=0\). Per tant \[n=-3.\]

Exercici 2.2.12

Calcula que en quins valors de \(x\) la la recta tangent a la funció \(f(x)=\frac{x}{1-x^2}\) té inclinació \(45^\circ\). (Nota: una recta amb inclinació \(45^\circ\) té pendent \(1\)).

(Trobar \(x\) tal que la tangent a \(f(x)=\dfrac{x}{1-x^2}\) té pendent \(1\).)

Derivem (fent servir la regla del quocient o producte): \[f(x)=\frac{x}{1-x^2},\qquad f'(x)=\frac{(1-x^2)-x(-2x)}{(1-x^2)^2} =\frac{1-x^2+2x^2}{(1-x^2)^2}=\frac{1+x^2}{(1-x^2)^2}.\] Volem \(f'(x)=1\), així que \[\frac{1+x^2}{(1-x^2)^2}=1 \;\Longrightarrow\; 1+x^2=(1-x^2)^2.\] Desenvolupant i simplificant: \[1+x^2=1-2x^2+x^4 \;\Longrightarrow\; 0=x^4-3x^2=x^2(x^2-3).\] Així les solucions són \(x=0\) i \(x^2=3\), és a dir \(x=0,\; x=\pm\sqrt{3}\). (Comprovem que \(1-x^2\neq 0\) per a aquestes solucions: \(\pm\sqrt{3}\neq\pm 1\), per tant són vàlides.)

Exercici 2.2.13

En quins punts de la corba \(y=x^3-3x^2\) la recta tangent és paral·lela a l’eix d’abscisses? En quins punts la tangent forma un angle de \(45^\circ\) amb l’eix d’abscisses?

(Punts on la tangent a \(y=x^3-3x^2\) és paral·lela a l’eix d’abscisses i on forma \(45^\circ\).)

Derivem: \[y'=3x^2-6x=3x(x-2).\]

(a) Tangent paral·lela a l’eix d’abscisses: això és \(y'=0\). Tenim \[3x(x-2)=0 \;\Longrightarrow\; x=0 \ \text{o}\ x=2.\] Els punts corresponents a la corba són \[x=0 \Rightarrow y=0^3-3\cdot 0^2=0,\quad\text{punt }(0,0),\] \[x=2 \Rightarrow y=2^3-3\cdot 2^2=8-12=-4,\quad\text{punt }(2,-4).\]

(b) Tangent amb angle \(45^\circ\) (pendent \(1\)): posem \(y'=1\): \[3x^2-6x=1 \;\Longrightarrow\; 3x^2-6x-1=0.\] Resolent la quadràtica: \[x=\frac{6\pm\sqrt{36+12}}{6}=\frac{6\pm\sqrt{48}}{6} =\frac{6\pm 4\sqrt{3}}{6}=1\pm\frac{2\sqrt{3}}{3}.\] Per obtenir els punts, calculem \(y=x^3-3x^2=x^2(x-3)\). Per \(x_1=1+\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\) i \(x_2=1-\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\) obtenim, després de simplificar, \[y_1=-\frac{10\sqrt{3}+18}{9},\qquad y_2=\frac{10\sqrt{3}-18}{9}.\] Per tant els punts on la tangent té pendent \(1\) són \[\Big(1+\tfrac{2\sqrt{3}}{3}\;,\; -\tfrac{10\sqrt{3}+18}{9}\Big) \quad\text{i}\quad \Big(1-\tfrac{2\sqrt{3}}{3}\;,\; \tfrac{10\sqrt{3}-18}{9}\Big).\]

Exercici 2.2.14

Deriveu les següents funcions

  1. \(f(x)=\sqrt{x^{2}+2x-3}\)

  2. \(f(x)=\ln\left( x^{10}+2x^2 \right)\)

  3. \(f(x)=e^{2x^3+2x+1}\cdot (x^2+1)\)

  4. \(f(x)=\frac{1}{x^{2}+3x+4}\)

  5. \(f(x)=\frac{\sqrt{2x^2-3x+1}}{x^3-1}\)

  6. \(f(x)=\ln(2x+3)\cdot \sqrt{x^2+1}\)

2.3 Monotonia i extrems relatius

Exercici 2.3.15

Troba els màxims i mínims relatius de la funció \[f(x) = x^3 - 3x^2 + 2.\]

Derivem: \[f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x-2).\] Punts crítics: \(x=0,2\).

Fem un estudi del signe de \(f'(x)\):

\[\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty,0) & (0,2) & (2,+\infty) \\ \hline f'(x) & + & - & + \\ \end{array}\]

Interpretació: - \(f'(x)\) passa de + a - a \(x=0\) \(\Rightarrow\) màxim relatiu. - \(f'(x)\) passa de - a + a \(x=2\) \(\Rightarrow\) mínim relatiu.

\(f(0)=2\), \(f(2)=-2\). \(\Rightarrow\) Màxim relatiu en \((0,2)\) i mínim relatiu en \((2,-2)\).

Exercici 2.3.16

Troba els màxims i mínims relatius de la funció \[f(x) = \frac{x}{x^2+1}.\]

Derivem: \[f'(x) = \frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}.\] Punts crítics: \(x = \pm 1\).

Estudi del signe de \(f'(x)\):

\[\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty,-1) & (-1,1) & (1,+\infty) \\ \hline f'(x) & - & + & - \\ \end{array}\]

Interpretació: - \(f'(x)\) passa de - a + a \(x=-1\) \(\Rightarrow\) mínim relatiu. - \(f'(x)\) passa de + a - a \(x=1\) \(\Rightarrow\) màxim relatiu.

\(f(-1)=-1/2\), \(f(1)=1/2\). \(\Rightarrow\) Màxim relatiu en \((1,1/2)\) i mínim relatiu en \((-1,-1/2)\).

Exercici 2.3.17

Troba els màxims i mínims relatius de la funció \[f(x) = x^4 - 4x^2 + 1.\]

Derivem: \[f'(x) = 4x^3 - 8x = 4x(x^2-2)\] Punts crítics: \(x=0\).

Estudi del signe de \(f'(x)\):

\[\begin{array}{c|cc} x & (-\infty,0) & (0,+\infty) \\ \hline f'(x) & - & + \\ \end{array}\]

Interpretació: - \(f'(x)\) passa de - a + a \(x=0\) \(\Rightarrow\) mínim relatiu.

\(f(0)=-1\) \(\Rightarrow\) Mínim relatiu en \((0,-1)\). No hi ha màxim relatiu.

Exercici 2.3.18

Troba els màxims i mínims relatius de la funció \[f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}.\]

Exercici 2.3.19 · PAU 2023, setembre

El nombre de kilograms de menjar que han gastat en un alberg d’animals durant una setmana concreta es pot calcular segons la funció \[ f(t)=10\left( -\frac{t^3}{8}+\frac{3t^2}{2}-\frac{9t}{2}+10 \right) \] on \(t\) és el temps en dies i va des de \(t=1\) (dilluns) fins a \(t=8\) (dilluns de la setmana següent).

  1. Calculeu quants kilograms de menjar es van gastar el primer dilluns i el dilluns següent. Trobeu quin dia d’aquella setmana es van gastar \(100\)kg de menjar.

  2. Determineu els dies de la setmana en què la despesa en menjar va ser més gran i els dies en què va ser més petita. Quants kilograms de menjar es van gastar aquests dies?

Exercici 2.3.20 · PAU 2021, S1 número 4

La funció \[ C(t)=3-\frac{1}{t^2-4t+5} \] en què t són els anys transcorregut i \(C(t)\) la quantitat de clients, expressada en milers, modelitza l’evolució d’una empresa que ha entrat en crisi. l’instant en què l’empresa deixa de perdre clients i calculeu quants clients té en aquell instant.
Trobeu l’instant en què el nombre de clients va ser mínim. Justifiqueu que es tracta d’un mínim i digueu quants clients hi havia en aquell moment.

Exercici 2.3.21 · PAU 2023, juny

El nombre de noves persones infectades per una malaltia, en milers, és donat per la funció següent: \[ f(t)=\frac{30t}{t^2-2t+4}\quad t\ge 0 \] en què \(t\) representa el temps transcorregut, en setmanes, des que es va iniciar la infecció.

  1. Quants malalts s’infectaran a la setmana 1 i quants la setmana 2? Podem pensar que, a llarg termini, aquesta infecció desapareixerà?

  2. En quin instant es produeix el nombre màxim d’infectats? Quin és aquest nombre?

Exercici 2.3.22

La gràfica de la funció \(f(x)=ax+b+\frac{8}{x}\) passa pel punt \((-2,6)\) i la recta tangent en aquest punt és paral·lela a l’eix de les abscisses.

  1. Calculeu el valor de \(a\)

  2. Calculeu el valor de \(b\)

Exercici 2.3.23

Un nutricionista, després de fer un estudi personalitzat a un pacient, li proposa una dieta. Segons el model del nutricionista, el pes en kilograms del pacient seguirà la funció \[ f(x)=\frac{63x+510}{x+6} \] en què \(x\) denota el nombre de mesos que fa que segueix la dieta.

  1. Justifiqueu que \(f(x)\) és estrictament decreixient quan \(x\ge 0\)

  2. Determineu el pes inicial del pacient i quant pesarà al cap de dos mesos de seguir la dieta segons el model. Cap a quin valor tendirà el seu pas a llarg termini? Argumenteu si aquest valor s’assolirà en algun moment.

Exercici 2.3.24

Considereu la funció \(f(x)=\frac{1}{x^2+1}\). Estudieu-ne el creixement i, si en té, determineu i classifiqueu els extrems relatius.

Exercici 2.3.25

Sabem que la derivada d’una funció, \(f'\), d’una funció \(f\), polinòmica de tercer grau, talla l’eix d’abscisses en els punts \(x=-1\) i \(x=2\).

  1. Justifiqueu si és possible que \(f'\) talli també l’eix d’abscisses en un altre punt diferent.

  2. Si ens diuen que \(f'(1)=2\), indiqueu i classifiqueu els màxim i mínims de \(f\).

Exercici 2.3.26 · PAU Juny 2021

Una fàbrica estima que el benefici mensual, en milers d’euros, per cada tona de confeti venuda és donat per la funció \[ f(x)=\frac{-0.2x^2+5x -20}{x}, \] en què \(x\) representa el nombre de tones de confeti venudes

  1. Determineu en quin interval de valors s’ha de trobar la variable \(x\) perquè la fàbrica no tingui pèrdues.

  2. Calculeu la quantitat de tones de confeti que proporciona el benefici màxim i digueu quin és aquest benefici

Exercici 2.3.27

Considereu la paràbola: \[f(x)=ax^2+bx+c\]

  1. Demostreu que té el vèrtex en \(x=-\frac{b}{2a}\)

  2. Demostreu que, si \(a>0\) es tracta d’un mínim, mentre que, si \(a<0\), serà un màxim.

Exercici 2.3.28 · PAU Juny 2024, número 1

Dues companyies de taxi, A i B, ofereixen tarifes diferents. La companyia A ofereix un cost fix de 20 € més 0,4€ per kilòmetre recorregut, mentre que el preu de la companyia B segueix la funció \(g(x) = 0,01x^2 + 0,1x + 10\), en què \(x\) representa el nombre de kilòmetres recorreguts.

  1. Quina de les dues companyies ofereix la tarifa més econòmica si fem un recorregut de 10 km? I si en fem un de 80 km? Calculeu la diferència de preu en cada cas. Hi ha cap cost fix en la tarifa de la companyia B només pel sol fet de pujar al taxi?

  2. Determineu per a quin nombre de kilòmetres recorreguts les dues tarifes coincidei-xen. Si considerem només els trajectes inferiors a aquesta quantitat, per a quin nombre de kilòmetres la diferència de preu entre una tarifa i l’altra és màxima? Quina és aquesta diferència màxima de preu?

  1. Distingim entre les dues tarifes:

    • Si fem servir la tarifa A pagarem \(20+10\cdot 0.4=24\)€

    • En canvi, si fem servir la tarifa B pagarm \(g(10)=21\)€

    Per tant, la tarifa B surt més econòmica per fer un recorregut de 10km.
    Si el recorregut és de 80km aleshores:

    • Tarifa A: \(20+0.4\cdot 80=52\)€

    • Tarifa B: \(g(80)=82\)€

    En aquest cas, la tarifa A surt més econòmica.
    Per veure si hi ha algun cost fix a la tarifa B només cal mirar què pagaríem si no féssim cap quilòmetre: \(f(0)=10\). Per tant, la tarifa B sí que té un cost fix, menor que el de la tarifa A.

  2. La funció que ens dóna el cost a la tarifa A segons el nombre de km recorreguts és \(f(x)=20+0.4x\). Per veure quan coincideixen les dues tarifes només cal igualar les dues funcions: \[f(x)=g(x)\Longrightarrow 20+0.4x=0.01x^2+0.1x+10\] Les solucions d’aquest equació són \(x=-20\) i \(x=50\). La primera solució no té sentit. Per tant, les dues tarifes coincidiran en el cas de recórrer 50km.
    Ara considerem recorreguts menors a 50km. Sabem que, en aquest cas, la tarifa B és més econòmica. La diferència entre les dues tarifes serà per tant \[G(x)=f(x)-g(x)=\left( 20+0.4x \right)-\left(0.01x^2+0.1x+10\right)=-0.01x^2+0.3x+10\] Ara voldríem veure quan aquest diferència és màxim. Derivem la funció \(G(x)\): \[G'(x)=-0.02x+0.3=0\Longrightarrow x=15\text{km}\] Verifiquem ara que es tracta d’un màxim. Com la funció \(G(x)\) és de fet una paràbola convexa, el vertex correspondrà a un màxim. A més, la diferència seria de: \[G(15)=f(15)-g(15)=12.25\text{€}\] Per tant, la diferència màxima entre les dues tarifes quan fem menys de 50 km és de 12.25€, cosa que s’assoleix en fer un trajecte de 15km.

Exercici 2.3.29 · PAU Juny 2025

Un inversor té uns diners invertits en un fons d’inversió molt volàtil. El valor de la seva inversió en euros durant un dia determinat és donat per la funció \[f(x)=\frac{x^3}{3}-\frac{35x^2}{2}+300x+250\] en què \(x\in[0,24]\) representa el temps en hores.

  1. Calculeu el valor inicial de la inversió en començar el dia i determineu quin benefici o pèrdua haurà tingut al cap de 24 hores. Trobeu també a quina hora del dia el valor de la inversió ha estat màxim i quin era aquest valor màxim.

  2. Hi ha algun moment del dia en què el valor de la inversió és negatiu? Quin és el valor mínim que assoleix?

Tenim la funció \[f(x)=\frac{x^3}{3}-\frac{35x^2}{2}+300x+250,\qquad x\in[0,24].\]

a) El valor inicial és: \[f(0)=250.\]

El valor a les 24 hores és: \[f(24)=\frac{24^3}{3}-\frac{35\cdot24^2}{2}+300\cdot24+250=1978.\] Així doncs, el benefici en 24 hores és: \[1978-250=1728 \text{ euros}.\]

Calculem ara el màxim del dia. Derivem: \[f'(x)=x^2-35x+300.\] Resolem \(f'(x)=0\): \[x=\frac{35\pm\sqrt{35^2-4\cdot300}}{2}=\frac{35\pm5}{2},\] és a dir, \(x=15\) i \(x=20\).

Mirem ara el signe de la derivada: \[\begin{array}{c|ccc} x & (0,15)& (15,20) & (20,+\infty) \\ \hline f'(x)&+ & - & + \\ f(x)&\nearrow&\searrow&\nearrow \end{array}\] Per tant, \(f(x)\) té un màxim relatiu en \(x=15\) i un mínim relatiu en \(x=20\).

Calculem quant val la inversió en \(x=20\): \(f(20)=1916\). Fixem-nos que aquest valor és inferior el que hem obtingut per \(x=24\), que és o no hem ” tallat” la funció. Per tant, la funció té un màxim relatiu en \(x=20\) però l’absolut és en \(x=24\).

b) Per veure si és negatiu en principi hauríem d’igualar la funció a 0 per veure si s’anul·la: \[f(x)=0\Longrightarrow \frac{x^3}{3}-\frac{35x^2}{2}+300x+250=0\] Malauradament, aquesta equació no sabem resoldre. Podem però trobar un argument alternatiu: comparant el valor mínim d’aquesta funció en \(x=15\) (\(f(15)=1937,5\)) i el valor en \(x=0\) (\(f(0)=250\)), veiem que el mínim absolut quan \(x\in [0,24]\) és 250. Per tant, la funció és sempre positiva, ja que el valor més petit també ho és.

Exercici 2.3.30 · PAU 2025

Un estudi estableix que el nombre de microorganismes vius en una mostra de laboratori, mesurat en desenes, és donat per la funció, \[ f(x)=\frac{15x}{9+x^2}+k \] en què \(x\) representa les hores transcorregudes des de l’inici de l’estudi.

  1. Determineu el valor de \(k\) si sabem que a l’inici de l’estudi hi havia 50 microorganis- mes. Quin és el valor màxim de microorganismes al qual s’arribarà? En quin instant s’assolirà el màxim?

  2. En quin valor s’estabilitzarà el nombre de microorganismes a llarg termini?

La funció que dona el nombre de microorganismes (mesurats en desenes) és: \[f(x)=\frac{15x}{9+x^2}+k.\]

a) Inicialment hi ha 50 microorganismes, és a dir, \(5\) desenes. Així: \[f(0)=k=5.\]

Anem a trobar el màxim. Derivant obtenim \[f'(x)=\frac{135-15x^2}{(9+x^2)^2}.\] Resolem \(f'(x)=0\): \[135-15x^2=0 \quad\Rightarrow\quad x=3.\]

Veiem ara si es tracta d’un màxim o no: \[\begin{array}{c|cc} x & (0,3)&(3,+\infty) \\ \hline f'(x)&+ & - \\ f(x)&\nearrow&\searrow \end{array}\] Efectivament, es tracta d’un màxim, i el seu valor és: \[f(3)=7{,}5,\] que en microorganismes reals són \(75\) microorganismes.

Per tant: \(k=5\), el màxim és de \(75\) microorganismes i s’assoleix a les \(3\) hores.

b) El límit a llarg termini és: \[\lim_{x\to\infty} f(x)=\lim_{x\to\infty} \frac{15x}{9+x^2}+k = 0 + 5 = 5.\] Això correspon a: \[5\cdot 10=50 \text{ microorganismes}.\]

Exercici 2.3.31 · PAU 2021

Considereu la funció real de variable real \(f(x)=4x^3+ax^2-2\).

  1. Determineu el valor del paràmetre real a per tal que la funció tingui un extrem relatiu en el punt d’abscissa \(x=-1\)

  2. Calculeu els intervals de creixement i decreixement de la funció \(f(x)\) quan \(a=12\). Indiqueu també els punts en què hi ha extrems relatius i classifiqueu-los.

Exercici 2.3.32

Trobeu els intervals de monotonia i els extrems relatius de les següents funcions. Classifiqueu els extrems mitjançant el test de la 2a derivada:

  1. \(f(x)=5x^2-8x+4\)

  2. \(f(x)=x^{3}-1\)

  3. \(f(x)=x^4+4\)

  4. \(f(x)=x^2-\dfrac{1}{x}\)

Exercici 2.3.33 · PAU Andalusia Juny 2026

Continuació de l’exercici 1.3.5
Considereu la funció \[ f(x)= \begin{cases} \frac{x^2}{20}&\text{si }0\le x<20\\ a+bx&\text{si }20\le x<50\\ 36-\frac{x^2}{100}&\text{si }50\le x\le 60 \end{cases} \]

  1. Trobeu els valors de \(a\) i \(b\) per tal que \(f\) sigui contínua en tot el seu domini.

  2. Per els valors \(a=26\) i \(b=-\frac{3}{10}\):

    1. Calculeu els extrems relatius de \(f\)

    2. Representeu gràficament \(f\)

    3. Calculeu l’àrea del recinte limitat per la gràfica de la funció \(f\) i l’eix d’abscises (NO ENTRA A CATALUNYA).