$$ \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\RR}{\mathbb{R}} \newcommand{\Nuc}{\text{Nuc}} %\newcommand{\vv}[1]{\overrightarrow{#1}} \newcommand{\vv}[1]{\vec{#1}} \newcommand{\D}{\text{Dom}} \newcommand{\Dom}{\text{Dom}} $$

1. Funcions

Exercicis de matemàtiques de 2n de batxillerat CCSS · Curs 2026–2027.

Els colors indiquen el nivell de dificultat. Les solucions disponibles es poden desplegar sota l’enunciat. Es conserva la numeració del dossier original.

1.1 Dominis, límits laterals i límits a l’infinit

Exercici 1.1.1

Per les següents funcions, trobeu:

  1. El domini

  2. Els punts de tall amb els eixos

  3. Els límits al \(+\infty\) i \(-\infty\)

  4. Els límits laterals als punts que no siguin del domini

  1. \(f(x)=\frac{x^2}{x^2+2x+1}\)

  2. \(f(x)=\frac{x+2}{x-1}\)

  3. \(f(x)=\frac{x+1}{x^2-1}\)

    1. Igualant a 0 el denominador trobarem els punts que no són del domini. En aquest cas només obtenim una solució (una arrel doble): \[ x^2+2x+1=0\Longrightarrow x=-1 \] Per tant tindrem que \[ D(f)=\mathbb{R}-\left\{ -1 \right\} \]

    2. Pel que fa als punts de tall, trobem primer amb l’eix d’ordenades (OY) avaluant en \(x=0\): \[ f(0)=\frac{0}{1}=0\Longrightarrow (0,0) \] Fixem-nos que, en ser l’origen de coordenades, també l’obtindrem com a tall amb l’altre eix. En efecte, en igualar a 0 el numerador obtenim: \[ x^2=0\Longrightarrow x=0\Longrightarrow (0,0) \]

    3. Fem ara els límits a l’infinit. Comencem simplificant els termes de grau més petit, tan al numerador com al denominador. Després cancel·lem: \[ \lim_{x\to+\infty}\frac{x^2}{x^2+\cancel{2x}-\cancel{1}}=\lim_{x\to+\infty}\frac{\cancel{x^2}}{\cancel{x^2}}=1 \] De fet, en simplificar, com marxen les \(x\), el límit al \(-\infty\) serà igual: \[ \lim_{x\to-\infty}f(x)=1 \]

    4. Finalment fem els límits laterals en \(x=-1\). Fem un primera inspecció subsituïnt per \(x=-1\): \[ \lim_{x\to -1}f(x)=\frac{1}{0} \] Com s’anul·la el denominador però no el numerador, el límit serà infinit. Caldrà veure’n el signe, cosa que segurament dependrà de la banda per on ens apropem a \(x=-1\). Per fer-ho només caldrà fer els límits laterals i estudiar el signe del denominador a cada banda de \(x=-1\). Com aquest valor és l’únic pel qual el denominador val 0 (és l’únic que no és del domini) en tindrem prou avaluant a cada banda de \(x=-1\). Si n’hi hagués més caldria tenir-los en compte. Per tant fem: Per tant, els límits laterals quedaran: \[\begin{aligned} &\lim_{x\to -1^-}f(x)=\frac{1}{0^+}=+\infty\\ &\lim_{x\to -1^+}f(x)=\frac{1}{0^+}=+\infty \end{aligned}\]

Exercici 1.1.2 · PAU 2020, S4 número 4, apartat a)

Considerem les funcions \(f(x)= x^2+ax+b\) i \(g(x)=-x^2+c\). Trobeu els valors dels paràmetres \(a\) i \(b\) per tal que les gràfiques de les funcions \(f\) i \(g\) es tallin als punts \((-1,3)\) i \((3,-5)\).

Exercici 1.1.3 · PAU Setembre 2016 a)

Considereu la funció \[ f(x)=\frac{x+1}{x^2+3} \]

  1. Determineu els punts en què la funció \(f\) talla cadascun dels eixos. Determineu també els intervals on la funció \(f\) és positiva.

Exercici 1.1.4

Feu els següents límits laterals.

  1. \(\lim_{x\to 2}f(x)\), on \(\begin{cases} x^{2}-4,&\text{si }x\le 2\\ \frac{x+2}{x+1}&\text{si }x>2 \end{cases}\)

  2. \(\lim_{x\to 0}f(x)\), on \(\begin{cases} \frac{x-2}{x-1}&\text{si }x<0\\ (x+2)2&\text{si }x\ge0 \end{cases}\)

  3. \(\lim_{x\to 0}f(x)\) i \(\lim_{x\to 2}f(x)\), on \[f(x)= \begin{cases} \frac{x}{x-2}&\text{si }x\le0\\ x^2+x&\text{si }0<x<2\\ \frac{x^2-5x+6}{x-2}&\text{si }x\ge 2 \end{cases}\]

Exercici 1.1.5

De les següents funcions, trobeu-ne el domini, feu els límits laterals als valors que no siguin del domini i digueu de quin tipus de discontinuïtat es tracta.

  1. \(f(x)=\frac{x-1}{x^2-x}\)

  2. \(f(x)=\frac{x^2-10x+25}{x^2-7x+10}\)

  3. \(f(x)=\frac{x^2-x-2}{x^2+2x+1}\)

Exercici 1.1.7

Considereu la funció de la gràfica

Trobeu

  1. el domini

  2. els valors de \(f(-1)\), \(f(0)\), \(f(2)\), \(f(2.5)\) i \(f(3)\).

  3. els límits laterals a \(x=-1\), \(x=2\), \(x=2.5\) i a \(x=3\).

  4. el valor de \(\lim_{x\to +\infty}f(x)\) i \(\lim_{x\to-\infty}f(x)\)

Exercici 1.1.8

De les següents funcions trobeu-ne el domini, els punts de tall amb eixos, estudieu-ne la continuïtat i trobeu les asímptotes verticals (fent els límits laterals) i horitzontals. Finalment, feu-ne un petit esbós.

  1. \(f(x)=\frac{x-1}{x^2-x}\)

  2. \(f(x)=\frac{x^2-5x+6}{x^2-5x+3}\)

  3. \(f(x)=\frac{x^2+2x+1}{x^2-x-2}\)

  4. \(f(x)= \begin{cases} \frac{x}{x-2}&\text{si }x\le0\\ x^2+x&\text{si }0<x<2\\ \frac{x^2-5x+6}{x-2}&\text{si }x\ge 2 \end{cases}\)

    1. Domini. Igualant el denominador a 0 trobem: \[ x^{2}-5x+3=0\Longrightarrow x=\frac{6\pm\sqrt{25-12}}{2}\Longrightarrow x=1.8\text{ i }x=1.19 \] Per tant tindrem que \[ D(f)=\mathbb{R}\backslash\left\{ 1.8,1.19 \right\} \]

    2. Punts de tall

      • Eix d’ordenades (eix OY). Només cal avaluar la funció en \(x=0\): \[ f(0)=\frac{6}{3}=2\Longrightarrow\boxed{(0,2)} \]

      • Eix d’abscisses (eix OX). Caldrà igualar el numerador a 0: \[ x^{2}-5x+6=0\Longrightarrow x=2\text{ i }x=3 \] Per tant, seran els punts \[ \boxed{(2,0)}\text{ i }\boxed{(3,0)} \]

    3. Continuïtat. Caldrà estudiar la continuïtat als punts que no siguin del comini.

      • En \(x=1.19\). Comencem fent el límit sense distingir els laterals: \[ \lim_{x\to 1.19}f(x)=\frac{1.36}{0} \] Com al numerador no hi tenim cap \(0\), sabem que es tractarà d’una discontinuïtat del tipus asimptòtic. Caldrà però fer els límits laterals. Per fer-ho estudiem el signe del denominador: Per tant tindrem: \[\begin{aligned} &\lim_{x\to1.19^-}f(x)=\frac{1.36}{0^+}=+\infty\\ &\lim_{x\to1.19^+}f(x)=\frac{1.36}{0^-}=-\infty \end{aligned}\]

      • En \(x=1.8\). Fem primer el límit sense distingir entre dreta i esquerra: \[ \lim_{x\to1.8}f(x)=\frac{0.24}{0} \] Per tant, tornarem a tenir una discontinuïtat asimptòtica en \(x=1.8\). Aprofitant els càlculs d’abans podem fer ràpidament els límits laterals: \[\begin{aligned} &\lim_{x\to1.8^+}f(x)=\frac{0.24}{0^+}=+\infty\\ &\lim_{x\to1.8^-}f(x)=\frac{0.24}{0^-}=-\infty \end{aligned}\]

    4. Finalment trobem les asímptotes:

      • Asímptotes verticals. Estan associades a les discontinuïtat asimptòtiques. Com en tenim dues, les rectes verticals (asímptotes)seran \[\begin{aligned} \boxed{x=1.19}\\ \boxed{x=1.8} \end{aligned}\]

      • Pel que fa a les horitzontals cal fer els límits al \(+\infty\) i \(-\infty\): \[\begin{aligned} &\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2\cancel{-5x+6}}{x^2\cancel{-5x+3}}=\lim_{x\to+\infty}\frac{\cancel{x^2}}{\cancel{x^2}}=1\\ \lim_{x\to-\infty}f(x)=1 \end{aligned}\] Per tant, la funció tindrà una asímptota horitzontal per la dreta i per l’esquerra, que serà la recta \[ \boxed{y=1} \]

    1. Domini. Igualem el denominador a 0 i obtenim: \[ x^2-x-2=0\Longrightarrow x=-1\text{ i }x=2\Longrightarrow \boxed{D(f)=\mathbb{R}\backslash\left\{ -1,2 \right\}} \]

    2. Punts de tall.

      • Amb l’eix d’ordenades (eix OY). Només cal mirar el valor de \(f\) quan \(x=0\): \[ f(0)=\frac{1}{-2}=-\frac{1}{2} \] El punt de tall serà doncs \(\boxed{(0,-\frac{1}{2})}\).

      • Amb l’eix d’abscisses (eix OX). Caldrà veure quan s’anul·la el numerador: \[ x^2+2x+1=0\Longrightarrow x=-1\text{ (arrel doble)} \] No obstant, com \(-1\) no és del domini perquè també s’anul·la el denominador, la funció no tallarà l’eix d’abscisses.

    3. Continuïtat. L’únic valor problemàtic serà \(x=-1\), que no és del domini. Comencem fent el límit sense distingir entre dreta i esquerra: \[ \lim_{x\to -1}f(x)=\frac{0}{0}\text{ Indeterminació} \] Per tal de resoldre la indeterminació factoritzem i simplifiquem. Com les arrels del denominador i numerador les hem buscat abans, ja tenim la feina feta i podem escriure: \[\begin{aligned} \lim_{x\to -1}\frac{x^+2x+1}{x^2-x-2}=\lim_{x\to -1}\frac{(x+1)^{\cancel{2}}}{(x-2)\cdot \cancel{(x+1)}}=\lim_{x\to -1}\frac{x+1}{x-2}=0 \end{aligned}\] Fixem-nos que els laterals seran iguals entre ells, ja que el límit no depèn de si \(x\) s’apropa a \(-1\) per la seva dreta o per la seva esquerra. Per tant tindrem \[ f(-1^+)=f(-1^-)\neq f(-1)\text{ (ja que no és del domini)} \] i la funció tindrà una discontinuïtat evitable en \(x=-1\).

    4. Asímptotes.

      • Pel que fa a les verticals, no n’hi ha perquè la funció no té cap discontinuïtat asimptòtica.

      • Per veure les horitzontal caldrà fer els límits a l’infinit: \[\begin{aligned} \lim_{x\to +\infty}\frac{x^2+\cancel{2x+1}}{x^2-\cancel{x-2}}=\lim_{x\to+\infty}\frac{\cancel{x^2}}{\cancel{x^2}}=1\\ \lim_{x\to -\infty}=1 \end{aligned}\] Per tant, la funció tindrà una asímptota horitzontal que serà la recta \(\boxed{y=1}\), tant per la dreta com per l’esquerra.

Exercici 1.1.9

Discutiu la continuïtat de les següents funcions:

  1. \(f(x)=\frac{x-3}{x^2+4}\)

  2. \(f(x)=\frac{x^2-9}{x+3}\)

  3. \(f(x)= \begin{cases} x^2-10&\text{si }x<-2\\ 2x+3&\text{si }x\ge -2 \end{cases}\)

  4. \(f(x)=\frac{x+1}{x^2+2x+1}\)

Exercici 1.1.10

Calculeu els següents límits

  1. \(\lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x^2-3x+2}\)

  2. \(\lim_{x\to -\infty}\frac{-x^2+2x+1}{2x+1}\)

  3. \(\lim_{x\to 0}\frac{x^3+2x^2-x}{x^2-x}\)

  4. \(\lim_{x\to 2}\frac{x^2+4}{x^2-5x+6}\)

1.2 Composició de funcions

Exercici 1.2.1

Escriviu les següents funcions com a composició de dues funcions. Per a cada exercici trobeu dues funcions \(f\) i \(g\).

  1. \((f\circ g)(x)=(x+2)^2\)

  2. \((f\circ g)(x)=\sqrt{x^2-3x+1}\)

  3. \((g\circ f)(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}\)

  4. \((g\circ f)(x)=e^{2x-3}\)

  5. \((f\circ g)(x)=\sqrt{x-3}+4\)

  6. \((f\circ g)(x)=\ln\left(\sqrt{x+2}\right)-\sqrt{x+2}\)

1.3 Funcions a trossos

Exercici 1.3.1

Considereu la funció \[ f(x)= \begin{cases} \frac{1}{x+2}&\text{si }x<2\\ \frac{x+1}{x^2+2}&\text{si }x\ge 2 \end{cases} \]

  1. Trobeu-ne el domini

  2. Estudieu-ne la continuïtat als punts que no són del domini

  3. Trobeu els límits al \(+\infty\) i al \(-\infty\).

Exercici 1.3.2

Considereu la funció de la gràfica

Discutiu-ne la continuïtat tot trobant els límits laterals allà on calgui. Trobeu també les asímptotes que pugui tenir, tant horitzontals com verticals.

Exercici 1.3.3

Trobeu el valor dels paràmetres \(a\) i \(b\) per tal que la funció \[ f(x)= \begin{cases} x^2-2x+a&\text{si }x<0\\ \frac{2x+b}{x^2+2}&\text{si }0\le x\le 1\\ x^2-2x+1&\text{si }x>1 \end{cases} \] sigui contínua.

Exercici 1.3.4

Trobeu el valor del paràmetre \(a\) per tal que la funció \[ f(x)= \begin{cases} x^2+2x-1&\text{si }x\le -2\\ \frac{x+a}{x^2+1}&\text{si }x>-2 \end{cases} \] sigui contínua.

Exercici 1.3.5 · PAU Andalusia Juny 2026

Considereu la funció \[ f(x)= \begin{cases} \frac{x^2}{20}&\text{si }0\le x<20\\ a+bx&\text{si }20\le x<50\\ 36-\frac{x^2}{100}&\text{si }50\le x\le 60 \end{cases} \]

  1. Trobeu els valors de \(a\) i \(b\) per tal que \(f\) sigui contínua en tot el seu domini.

  2. Continua a l’exercici 2.3.33.

Exercici 1.3.6 · PAU Madrid Juny 2026

Sigui la funció real de variable real definida per \[ f(x)= \begin{cases} \frac{x+2}{(x-2)^2}&\text{si }x<0\\ \frac{x^2+x^3}{x^2+1}&\text{si }x\ge 0 \end{cases} \]

  1. Determineu ronadament el domini de \(f\).

  2. Estudieu la continuïtat de \(f(x)\) en \(x=0\).

  3. Calculeu l’assímptota de \(f(x)\) quan \(x\to-\infty\).

  4. Calculeu l’assímptota de \(f(x)\) quan \(x\to+\infty\).

Exercici 1.3.7 · PAU Madrid 2025

Es considera la funció real de variable real definida per la següent expressió: \[ f(x)= \begin{cases} \frac{x^2+1}{x-1}&\text{si }x\le 0\\ \frac{x+a}{x+1}&\text{si }x>0 \end{cases} \]

  1. Determineu el valor del paràmetre real \(a\) per tal que la funció sigui contínua en \(x=0\).

  2. Calculeu les assímptotes de \(f(x)\)

Exercici 1.3.8 · Afluència a una exposició

Durant una jornada de portes obertes, el nombre de persones que hi ha en una exposició es pot aproximar mitjançant la funció \[P(t)= \begin{cases} 50+30t, & 0\leq t<3,\\[2mm] -10(t-5)^2+180, & 3\leq t\leq 7,\\[2mm] 350-30t, & 7<t\leq 10, \end{cases}\] on \(t\) representa el nombre d’hores transcorregudes des de l’obertura i \(P(t)\) el nombre de persones que hi ha a l’exposició.

  1. Comproveu que la funció és contínua durant tota la jornada.

  2. Quantes persones hi ha a l’exposició al cap de 3 hores, de 5 hores i de 8 hores?

  3. En quin moment hi ha el nombre màxim de visitants? Quin és aquest nombre?

  4. Durant quines hores hi ha més de 140 persones a l’exposició?

  5. Indiqueu els intervals de temps en què el nombre de visitants augmenta i aquells en què disminueix.

  1. Només cal comprovar els punts on canvia l’expressió de la funció: \(t=3\) i \(t=7\).

    Per a \(t=3\): \[50+30\cdot3=140\] i \[-10(3-5)^2+180 =-40+180 =140.\]

    Per tant, la funció és contínua en \(t=3\).

    Per a \(t=7\): \[-10(7-5)^2+180 =-40+180 =140\] i \[350-30\cdot7=140.\]

    Per tant, també és contínua en \(t=7\).

    Així, la funció és \[\boxed{\text{contínua durant tota la jornada}}.\]

  2. \[P(3)=140.\]

    \[P(5)=-10(5-5)^2+180=180.\]

    Com que \(8>7\): \[P(8)=350-30\cdot8=110.\]

    Per tant: \[\boxed{P(3)=140,\qquad P(5)=180,\qquad P(8)=110.}\]

  3. El segon tros és una paràbola amb concavitat cap avall.

    El seu vèrtex és \[(5,180).\]

    Per tant, el nombre màxim de persones s’assoleix al cap de \[\boxed{5\text{ hores}}\] i és de \[\boxed{180\text{ persones}}.\]

  4. En el primer tros: \[50+30t>140\] implica \[30t>90\] i \[t>3.\]

    Però aquest tros només està definit per \(t<3\), de manera que no hi ha cap solució.

    En el segon tros: \[-10(t-5)^2+180>140.\]

    Per tant, \[-10(t-5)^2>-40,\] i, dividint entre \(-10\) i canviant el sentit de la desigualtat, \[(t-5)^2<4.\]

    Aixó equival a \[-2<t-5<2,\] i, per tant, \[3<t<7.\]

    En el tercer tros la funció ja parteix de 140 visitants i disminueix, de manera que tampoc no supera els 140.

    Així, hi ha més de 140 persones durant l’interval \[\boxed{3<t<7}.\]

  5. La funció augmenta des de l’obertura fins al vèrtex de la paràbola, és a dir, entre \[\boxed{0\leq t\leq5}.\]

    A partir d’aquest moment disminueix fins al tancament: \[\boxed{5\leq t\leq10}.\]

Exercici 1.3.9 · Beneficis d’una empresa

Els beneficis mensuals d’una empresa, expressats en milers d’euros, durant el seu primer any d’activitat es poden aproximar mitjançant la funció \[B(t)= \begin{cases} 6t-10, & 0\leq t<4,\\[2mm] -2(t-7)^2+32, & 4\leq t\leq12, \end{cases}\] on \(t\) és el nombre de mesos transcorreguts des de l’inici de l’activitat.

Un valor negatiu de \(B(t)\) indica que l’empresa té pèrdues.

  1. Comproveu que la funció és contínua en el moment en què canvia el model.

  2. En quin moment l’empresa obté el benefici màxim? Quin és aquest benefici?

  3. Determineu en quins moments el benefici és nul.

  4. Durant quin interval de temps l’empresa obté beneficis?

  5. Indiqueu els intervals en què els beneficis augmenten i els intervals en què disminueixen.

  1. El canvi d’expressió es produeix en \(t=4\).

    Amb el primer tros: \[6\cdot4-10=14.\]

    Amb el segon: \[-2(4-7)^2+32 =-18+32 =14.\]

    Per tant, els dos trossos coincideixen en \(t=4\) i la funció és \[\boxed{\text{contínua en }t=4}.\]

  2. El primer tros és una recta creixent.

    El segon tros és una paràbola amb concavitat cap avall i vèrtex \[(7,32).\]

    Per tant, el benefici màxim s’obté al cap de \[\boxed{7\text{ mesos}}\] i és de \[\boxed{32.000\text{ euros}}.\]

  3. En el primer tros: \[6t-10=0,\] d’on \[t=\frac{10}{6}=\frac53.\]

    En el segon tros: \[-2(t-7)^2+32=0.\]

    Per tant, \[(t-7)^2=16,\] i \[t-7=\pm4.\]

    Així, \[t=3 \qquad\text{o}\qquad t=11.\]

    Com que el segon tros només és vàlid per \(t\geq4\), només podem acceptar \[t=11.\]

    Per tant, el benefici és nul al cap de \[\boxed{\frac53\text{ mesos}\simeq1,67\text{ mesos}}\] i al cap de \[\boxed{11\text{ mesos}}.\]

  4. En el primer tros: \[6t-10>0\] si \[t>\frac53.\]

    En el segon tros, com que la paràbola talla l’eix en \(t=3\) i \(t=11\) i té concavitat cap avall, és positiva entre les dues arrels.

    Tenint en compte el domini de cada tros, l’empresa obté beneficis quan \[\boxed{\frac53<t<11}.\]

  5. El primer tros és creixent, i la paràbola també creix fins al seu vèrtex, situat en \(t=7\).

    Per tant, els beneficis augmenten en \[\boxed{0\leq t\leq7}.\]

    A partir del mes 7, la paràbola decreix, de manera que els beneficis disminueixen en \[\boxed{7\leq t\leq12}.\]

1.4 Exercicis amb context

Exercici 1.4.1 · PAU juny 2016

Exercici 30 del recull de funcions.

Exercici 1.4.2 · PAU setembre 2016

La fotografia matemàtica següent sembla indicar que les branques de les ulleres formen una paràbola. Tanmateix, no totes les corbes en forma de “U” són paràboles. Hem marcat sobre uns eixos de coordenades alguns dels punts: (0,2.5), (1,0), (3,-1) i (5,0). Justifiqueu si la gràfica correspon a una paràbola o no.

Font: www.fotografiamatematica.cat

Exercici 1.4.3

La temperatura exterior a un hivernacle es pot modelar segons la funció definida a trossos \[ T(t)= \begin{cases} 0.26t^2-2.91t+4.15&\text{si }0\le t<12\\ -0.24t^2+8.35t-59.43&\text{si }12\le t<24 \end{cases} \]

  1. Feu una gràfica de la funció

  2. Per tal de regular la temperatura dins l’hivernacle, es decideix instalar-hi una boma de calor. Es desitja programar la bomba de calor de manera que aquesta funcioni en mode hivern quan la temperatura exterior sigui inferior a 3 graus centígrads i en mode estiu quan aquesta sigui superior a 26 graus. Digueu en quin moment del dia caldria programar la bomba de calor perquè estigui en mode hivern, apagada i en mode estiu.

Exercici 1.4.4

Per tal de constituir una determinada empresa els socis capitalistes abonen una inversió inicial de 10 mil euros en total, amb el que, en el moment de constituir-se, podríem dir que l’empresa presenta 10 mil euros de pèrdues. Al cap d’un mes l’empresa ha guanyat 19 mil euros, amb el que ha obingut uns beneficis de 9 mil euros. En aquest moment han passat dos mesos des de la constitució de l’empresa, i s’han obtingut uns beneficis totals de 26 mil euros des del moment de la seva constitució.
Considereu que la funció \(B(t)\), que dóna els beneficis de l’empresa en milers d’euros on \(t\) són els mesos transcorreguts des del moment de la seva constitució, és una paràbola.

  1. Trobeu la funció \(B(t)\)

  2. Digueu quins seran els beneficis totals al cap de 5 mesos d’haver-se constituït l’empresa

  3. Digueu en quin moment els beneficis de l’empresa seran màxims, i quins seran aquests beneficis

  4. Digueu si segons aquesta funció, en algun moment l’empresa tornarà a tenir pèrdues, i en quin moment seria.

Exercici 1.4.5 · PAU 2020, S4 número 2

Un fabricant va tenir un producte a la venda durant deu anys. Durant aquest temps, el preu del producte \(P\), en euros, va estar relacionat amb el temps que feia que estava a la venda \(t\), expressat en anys, seguint la funció següent: \[ f(x)= \begin{cases} 5(t+1)^2-5&\text{si }0\le t\le 2\\ -4t+48&\text{si }2\le t\le 10 \end{cases} \]

  1. Indiqueu els intervals de creixement i decreixement del preu del producte durant aquests deu anys.

  2. Trobeu el preu màxim que va assolir el producte durant el temps que va estar a la venda.

Exercici 1.4.6 · PAU 2021, S1 número 4

La funció \[ C(t)=3-\frac{1}{t^2-4t+5} \] en què t són els anys transcorregut i \(C(t)\) la quantitat de clients, expressada en milers, modelitza l’evolució d’una empresa que ha entrat en crisi.

  1. Calculeu quants clients tenia l’empresa en el moment inicial i quants tenia al cap d’un any.

  2. Calculeu quant temps haurà de passar perquè l’empresa aconsegueixi tenir de nou el mateix nombre de clients que en el moment d’iniciar l’estudi.

  3. Segons aquesta funció, quin seria el nombre de clients a llarg termini?

Exercici 1.4.7 · PAU 2021, S1 número 5

Una empresa posa a la venda un producte que distribueix en caixes. El benefici B obtingut per l’empresa, expressat en milers d’euros, és donat per l’expressió \(B(x)=-x^2+16x-55\), en què \(x>0\) és el preu de venda de cada caixa, expressat en euros.

  1. Quin benefici obtindrà si el preu de venda de cada caixa és de 6 euros? Entre quins valors cal fixar el preu de venda d’una caixa per a obtenir beneficis?

  2. A quin preu ha de vendre cada caixa perquè el benefici sigui el més gran possible? Quin és aquest benefici màxim?

Exercici 1.4.8 · PAU 2022, S2 número 2

Experimentalment s’ha comprovat que la producció d’un tipus de fruita determinat que es cultiva en hivernacles depèn de la temperatura, segons la funció \(f(x)=-x^2+46x-360\) en què \(x\) representa la temperatura de l’hivernacle en graus Celsius i \(f(x)\) és la producció anual en centenars de quilograms per hectàrea. El preu de venda de la fruita es manté estable a 1,2 euros per cada quilogram.

  1. Determineu l’interval de temperatures entre les quals cal mantenir l’hivernacle perquè hi hagi producció de fruita. Calculeu els ingressos anuals per hectàrea si es manté l’hivernacle a \(20^\circ C\) de temperatura.

  2. A quina temperatura s’obté la producció màxima de fruita? Quins ingressos per hectàrea s’obtenen en aquest cas?

Exercici 1.4.9

Una petita empresa paga una quota fixa mensual a la seva companyia elèctrica de \(1200\) euros. A més de la quota fixa, els primers \(250\) kWh consumits els paga a 5 euros cada un; els següents, fins als \(900\) kWh, a 3 euros cadascun; i la resta a 2 euros cadascun.

  1. A quant puja el rebut d’un mes de l’empresa si aquest mes va consumir 400 kWh?

  2. Obtingueu la funció que doni l’import del rebut mensual de l’empresa si consumeix x kWh.

  3. Una altra petita empresa, amb la mateixa quota fixa, paga tots els kWh a 3 euros. Pot passar que en un mes les dues empreses consumeixin el mateix i a més els rebuts coincideixin? En cas afirmatiu indica quin serà aquest mes el consum i l’import del rebut de les dues empreses.

Exercici 1.4.10

Quan es dissenyen els esglaons d’una escala hi ha diversos paràmetres que cal tenir en compte, dos dels quals són la petja (la part horitzontal de l’esglaó, on es posa el peu) i la contrapetja (la part vertical del graó, és a dir, l’alçària). L’arquitecte francès François Blondel va establir a finals del segle XVII que la relació ideal entre aquestes dues magnituds era que la suma de dues contrapetges més una petja fos igual a \(64\) cm. Anomenem y la longitud de la contrapetja i x la longitud de la petja.

  1. Trobeu la funció que permet calcular la longitud ideal de la contrapetja en funció de la longitud de la petja. Quina seria la longitud ideal de la contrapetja si la petja és de \(28\) cm?

  2. La normativa actual estableix que en el disseny d’escales d’ús públic cal que la petja sigui com a mínim de \(28\) cm i que la contrapetja estigui compresa entre 13 i \(18,5\) cm. A més a més, la suma de dues contrapetges més una petja ha d’estar entre 54 i \(70\) cm. Escriviu aquestes tres condicions en funció de x i de y. Si volem construir una escala amb esglaons de \(40\) cm de petja, calculeu entre quins valors ha d’estar compresa la contrapetja per a complir amb la normativa actual.

Exercici 1.4.11

Una botiga ven un tipus determinat d’ampolla d’aigua a 70 cèntims. Aquesta setmana fa una oferta de 4 × 3, és a dir, que si comprem quatre ampolles d’aigua només en paguem tres. La botiga també ha anunciat que la propera setmana l’oferta de 4 × 3 ja no serà vigent, però, en canvi, aplicarà un \(20\)% de descompte sobre el total de la compra que facin els clients.

  1. Calculeu el preu que haurem de pagar per 4 ampolles d’aigua tant aquesta setmana com la propera. En lloc d’un \(20\)%, quin descompte caldria aplicar per a igualar l’oferta de 4 × 3?

  2. Calculeu, en general, quin descompte caldria aplicar per a igualar una oferta de \(m \times (m - 1)\); és a dir, que consisteix a vendre m ampolles d’aigua pel preu de \(m - 1\) ampolles, en què m és un enter més gran que 1.

Exercici 1.4.12 · Examen final 24-25

Un grup de recerca ha desenvolupat un fertilitzant que és molt respectuós amb el medi ambient. Una empresa comercialitzarà aquest fertilitzant posant-lo a la venta. Les previsions són que els ingressos produïts, \(I(x)\), en milers d’euros, vinguin donats per la funció \[ I(x)=x\cdot \frac{170-0,85x}{5}, \] en la qual \(x\) representa la demanda del producte expressat en milers de litres. D’altra banda, els costos de producció que assumirà l’empresa, en milers d’euros, s’expressen en funció de la demanda mitjançant la funció \[ C(x)=10+2x+x^2. \]

  1. Troba una expressió per a la funció benefici en termes de la demanda \(x\) i troba la quantitat de producte que s’hauria de vendre per maximitzar-lo. Obtingues també el benefici màxim.

  2. Determina entre quins valors s’hauria de trobar la quantitat demandada de fertilitzant perquè el cost mitjà, \(\frac{C(x)}{x}\) , no superi els \(10.000\)€.

  3. Una nova llei obligarà els agricultors a adquirir una quantitat mínima d’aquest producte, cosa que implicarà una demanda mínima de \(x=15\) milers de litres. Amb aquesta nova llei, quina seria la demanda que maximitzaria els beneficis?

Exercici 1.4.13 · Recuperació/millora 24-25

Un hotel cobra \(45\)€ per habitació i nit. Per aquest preu, té ocupades 165 habitacions cada nit. S’ha fet un estudi a partir del qual s’ha deduït que, per cada euro que s’apugi el preu de l’habitació, se n’ocuparà una menys cada nit. Sabent que el cost de neteja diari de cada habitació és de \(14\)€, responeu:

  1. Si \(x\) és la quantitat que s’apuja el preu de l’habitació per sobre dels \(45\) € inicials, determineu la funció que dóna els beneficis diaris de l’hotel segons el valor de \(x\).

  2. Trobeu quin hauria de ser el preu de l’habitació per tal d’obtenir uns beneficis màxims. Justifiqueu que es tracta d’un màxim i digueu quins serien aquests beneficis màxims i quina ocupació tindria l’hotel.

  3. Trobeu entre quins preus hauria de fixar l’hotel el preu de l’habitació per tal d’obtenir beneficis.

  4. Suposeu que l’hotel requereix una ocupació mínima de 100 habitacions per tal d’obrir. Amb aquesta restricció, quin seria ara el preu que maximitza els beneficis?

Exercici 1.4.14 · Convocatòria extraordinària juny 2025

Una empresa ven entrades per a un espectacle a 20 €. Amb aquest preu, es venen 200 entrades. S’ha observat que per cada 1 € que s’incrementa el preu, es venen 5 entrades menys. Si el cost fix de cada espectacle és de 800 € i el cost variable per entrada és de 4 €, responeu:

  1. Si \(x\) representa la quantitat d’euros que s’incrementa el preu, escriviu una expressió per al benefici diari en funció de \(x\).

  2. Quin preu hauria de tenir l’entrada per maximitzar els beneficis? Justifiqueu que es tracta d’un màxim i indiqueu el benefici i el nombre d’entrades venudes.

  3. Determineu els valors del preu per als quals l’empresa obté beneficis positius.

  4. Si l’empresa només obre si es venen almenys 120 entrades, quin preu maximitza els beneficis amb aquesta condició?

Exercici 1.4.15 · PAU Juny 2025

Un inversor té uns diners invertits en un fons d’inversió molt volàtil. El valor de la seva inversió en euros durant un dia determinat és donat per la funció \[f(x)=\frac{x^3}{3}-\frac{35x^2}{2}+300x+250\] en què \(x\in[0,24]\) representa el temps en hores.

  1. Calculeu el valor inicial de la inversió en començar el dia i determineu quin benefici o pèrdua haurà tingut al cap de 24 hores.

  2. Hi ha algun moment del dia en què el valor de la inversió és negatiu? Quin és el valor mínim que assoleix?

Exercici 1.4.16 · PAU 2025

Un estudi estableix que el nombre de microorganismes vius en una mostra de laboratori, mesurat en desenes, és donat per la funció, \[ f(x)=\frac{15x}{9+x^2}+k \] en què \(x\) representa les hores transcorregudes des de l’inici de l’estudi.

  1. Determineu el valor de \(k\) si sabem que a l’inici de l’estudi hi havia 50 microorganis- mes.

  2. Digueu en quins moments hi ha més de 60 microorganismes.

  3. En quin valor s’estabilitzarà el nombre de microorganismes a llarg termini?

Exercici 1.4.17 · PAU Anadalusia Juny 2025

A un pacient amb diabetis se’l monitoritza durant un dia complet, subministrant-li un medicament al migdia per observar la seva reacció. La funció que aproxima la quantitat de glucosa en sang (mg/dL) del pacient, a cada instant \(t\) (hores), és: \[ f(x)= \begin{cases} \frac{5}{6}\left( \frac{t^3}{3}-12t^2+108t+108 \right)&\text{si }0\le t \le 12\\ t^2-40t+546&\text{si }12\le t\le 24 \end{cases} \]

  1. Veure exercici 3.4.5

  2. Veure exercici 3.4.5

  3. En quins moments, després del migdia, el pacient té 155mg/dL?

Exercici 1.4.18 · Producció agrícola

La següent funció descriu la producció de gra, expressada en tones, d’una granja en funció de la quantitat de fertilitzant utilitzat, \(x\), expressada en \(\mathrm{kg/m^2}\):

\[ f(x)= \begin{cases} -x^2+5x-4 & \text{si } 1\leq x<2,\\ 3+\dfrac{a}{x-1} & \text{si } x\geq 2, \end{cases} \]

on \(a\) és un paràmetre real.

  1. Determineu el valor del paràmetre \(a\) perquè la producció variï de manera contínua en funció de la quantitat de fertilitzant utilitzat.

  2. Amb el valor d’\(a\) obtingut a l’apartat anterior, calculeu la producció que s’obté quan s’utilitzen \(1{,}5\ \mathrm{kg/m^2}\) i \(4\ \mathrm{kg/m^2}\) de fertilitzant.

  3. Determineu quina quantitat de fertilitzant cal utilitzar per obtenir una producció de \(2{,}5\) tones.

  4. Determineu per a quines quantitats de fertilitzant la producció és inferior a \(2\) tones.

  5. Estudieu el comportament de la producció quan la quantitat de fertilitzant utilitzat augmenta indefinidament. Interpreteu el resultat obtingut en el context del problema.

  6. Segons aquest model, és possible obtenir una producció de \(3\) tones? Justifiqueu la resposta.

Exercici 1.4.19 · Producció d’una fàbrica

Una petita fàbrica produeix peces metàl·liques durant una jornada de 8 hores. La producció acumulada, expressada en centenars de peces, es pot aproximar mitjançant la funció

\[ P(t)= \begin{cases} 2t & \text{si } 0\leq t<2,\\ -\dfrac12t^2+4t-2 & \text{si } 2\leq t\leq 6,\\ 10-t & \text{si } 6<t\leq 8. \end{cases} \]

on \(t\) representa el nombre d’hores transcorregudes des de l’inici de la jornada.

  1. Calculeu \(P(0)\) i interpreteu el resultat en el context del problema.

  2. Determineu els punts de tall de la gràfica de \(P\) amb els eixos de coordenades. Interpreteu els resultats que tinguin sentit en el context del problema.

  3. Calculeu la producció acumulada al cap de 3 hores i al cap de 7 hores.

  4. Determineu en quins instants de la jornada la producció acumulada és de 600 peces.

  5. Determineu durant quins intervals de temps la producció acumulada és inferior a 600 peces.

  6. Estudieu la continuïtat de la funció \(P(t)\) en tot el seu domini. En cas que hi hagi alguna discontinuïtat, classifiqueu-la i interpreteu què significa en el context del problema.

Exercici 1.4.20 · Concentració d’un medicament

Després d’administrar un medicament, la seva concentració a la sang, expressada en \(\mathrm{mg/L}\), evoluciona segons el model

\[ C(t)= \begin{cases} 6t-t^2 & \text{si } 0\leq t\leq 2,\\ 8-\dfrac{t}{2} & \text{si } 2<t\leq 8,\\ \dfrac{24}{t} & \text{si } t>8. \end{cases} \]

on \(t\) és el temps, en hores, transcorregut des de l’administració del medicament.

  1. Determineu el domini de la funció tenint en compte el context del problema.

  2. Trobeu els punts de tall de la gràfica de \(C\) amb els eixos de coordenades i interpreteu-ne el significat.

  3. Calculeu la concentració del medicament al cap d’1 hora, 5 hores i 12 hores.

  4. Determineu en quins instants la concentració és exactament de \(4\,\mathrm{mg/L}\).

  5. Un determinat tractament considera que el medicament deixa de ser efectiu quan la seva concentració és inferior a \(3\,\mathrm{mg/L}\). Determineu a partir de quin instant deixa de ser efectiu segons aquest model.

  6. Estudieu la continuïtat de la funció en els punts \(t=2\) i \(t=8\). Indiqueu, en cada cas, si la funció és contínua i justifiqueu la resposta mitjançant els límits laterals.

  7. Expliqueu quin significat tindria, des del punt de vista del model, que aparegués una discontinuïtat en la funció que representa la concentració d’un medicament a la sang.

Exercici 1.4.21 · Volum d’aigua en un dipòsit

Una explotació agrícola disposa d’un dipòsit d’aigua. Durant un període de 10 hores, el volum d’aigua emmagatzemada, expressat en milers de litres, es modelitza mitjançant la funció

\[ V(t)= \begin{cases} t^2+4 & \text{si } 0\leq t<2,\\ at+2 & \text{si } 2\leq t<6,\\ -\dfrac12(t-8)^2+14 & \text{si } 6\leq t\leq 10, \end{cases} \]

on \(t\) representa les hores transcorregudes des de l’inici de l’observació i \(a\) és un paràmetre real.

  1. Determineu el valor del paràmetre \(a\) perquè la funció sigui contínua en \(t=2\).

  2. Amb el valor d’\(a\) obtingut a l’apartat anterior, estudieu si la funció és també contínua en \(t=6\).

  3. Representeu esquemàticament la gràfica de la funció, indicant els punts més rellevants i les possibles discontinuïtats.

  4. Determineu els punts de tall de la gràfica amb els eixos de coordenades i interpreteu els que tinguin sentit físic.

  5. Determineu en quins instants hi ha exactament \(10\,000\) litres d’aigua al dipòsit.

  6. Determineu durant quins intervals de temps el volum d’aigua és inferior a \(10\,000\) litres.

  7. Determineu el volum màxim d’aigua que arriba a contenir el dipòsit durant les 10 hores d’observació i indiqueu en quin instant s’assoleix.

  8. Suposeu ara que, per un error en el model, el tercer tros de la funció fos \[ V(t)=-\dfrac12(t-8)^2+12, \qquad 6\leq t\leq10. \] Estudieu què passaria amb la continuïtat en \(t=6\) i expliqueu com s’hauria d’interpretar aquesta discontinuïtat en el context del dipòsit.

Exercici 1.4.22 · Consum elèctric d’una indústria

Durant una part de la jornada laboral, el consum elèctric d’una indústria, expressat en MWh, es pot modelitzar mitjançant la funció

\[ C(t)= \begin{cases} -(t-2)^2+9 & \text{si } 0\leq t<4,\\[2mm] \dfrac{1}{2}(t-4)^2+5 & \text{si } 4\leq t\leq 6, \end{cases} \]

on \(t\) representa el nombre d’hores transcorregudes des de l’inici de l’observació.

  1. Comproveu que la funció \(C(t)\) és contínua en tot el seu domini.

  2. Determineu en quin instant s’assoleix el consum màxim durant el període estudiat i calculeu-ne el valor.

  3. Determineu en quin instant s’assoleix el consum mínim durant el període estudiat i calculeu-ne el valor.

  4. Determineu durant quins intervals de temps el consum elèctric augmenta i durant quins disminueix.

  5. En quins instants el consum elèctric és de \(7\) MWh?

  6. Representeu esquemàticament la gràfica de \(C(t)\) i assenyaleu-hi el màxim, el mínim i el punt on canvia l’expressió de la funció.

Exercici 1.4.23

La concentració d’un determinat fàrmac a la sang d’un pacient, \(C(t)\), mesurada en mil·ligrams per litre (mg/L) en funció del temps \(t\) (en hores) des de la seva administració (\(0 \le t \le 24\)), ve donada per la funció següent: \[C(t) = \begin{cases} -t^2 + 6t & \text{si } 0 \le t \le 3 \\ \dfrac{k}{t} & \text{si } 3 < t \le 24 \end{cases}\]

  1. Calculeu el valor del paràmetre \(k\) perquè la funció sigui contínua en l’instant \(t=3\). Què significa biològicament aquesta continuïtat en el procés d’assimilació del fàrmac?

  2. Assumint el valor de \(k\) obtingut, trobeu en quins instants la concentració del fàrmac és exactament zero. Quina era la concentració inicial en el moment just de l’administració (\(t=0\))?

  3. L’estudi mèdic indica que el fàrmac pot produir efectes secundaris lleus si la seva concentració a la sang és estrictament superior a \(8 \text{ mg/L}\). Resolent les inequacions pertinents (i calculant-ne les antiimatges), determineu en quin interval de temps exacte el pacient estarà exposat a aquests efectes.

Exercici 1.4.24

L’evolució dels beneficis nets mensuals d’una empresa de nova creació, \(B(t)\), expressats en milers d’euros, durant el seu primer any de funcionament (\(0 \le t \le 12\) mesos) es modelitza amb la funció següent: \[B(t) = \begin{cases} -t^2 + 6t - 5 & \text{si } 0 \le t \le 5 \\ \dfrac{k \cdot t - 10}{t - 3} & \text{si } 5 < t \le 12 \end{cases}\]

  1. Determineu quin ha de ser el valor de \(k\) per tal que els beneficis evolucionin de forma contínua, sense cap salt brusc, en el cinquè mes (\(t=5\)).

  2. Amb el valor de \(k\) calculat a l’apartat anterior, trobeu els punts de tall de la funció amb els eixos. Interpreteu què representen aquests talls en el context del problema: va començar l’empresa amb guanys o amb pèrdues? En quins mesos l’empresa va fer "taules" (benefici nul)?

  3. La direcció de l’empresa qualifica d’"alta rendibilitat" els períodes on els beneficis són estrictament superiors a \(3\) milers d’euros. Trobeu, plantejant analíticament les inequacions corresponents, l’interval exacte de mesos en què l’empresa va assolir aquesta qualificació.

Exercici 1.4.25

Un laboratori fa un seguiment de la temperatura a l’interior d’una cambra frigorífica, \(T(t)\), en graus Celsius (\(^\circ\text{C}\)), durant un experiment continu de 15 hores. La variable \(t\) representa les hores transcorregudes des de l’inici de l’experiment (\(0 \le t \le 15\)): \[T(t) = \begin{cases} t^2 - 10t + 21 & \text{si } 0 \le t \le 7 \\ \dfrac{k \cdot t - 14}{t - 5} & \text{si } 7 < t \le 15 \end{cases}\]

  1. Estudieu analíticament la continuïtat de la funció en l’instant \(t=7\) i determineu el valor del paràmetre \(k\) perquè l’evolució de la temperatura sigui contínua.

  2. Suposant el valor de \(k\) trobat, calculeu en quins moments exactes la temperatura de la cambra va ser de \(0~^\circ\text{C}\). Quina va ser la temperatura inicial en el moment d’arrencar l’experiment (\(t=0\))?

  3. Per raons de viabilitat de l’experiment, una alarma de seguretat s’activa automàticament si la temperatura cau estrictament per sota dels \(-3~^\circ\text{C}\) (calculeu l’antiimatge per a temperatures inferiors a aquesta fita). Determineu de forma algebraica durant quin interval de temps exacte estarà sonant l’alarma.

1.5 Exponencials i logaritmes

Exercici 1.5.1 · PAU 2014

El preu en borsa d’unes accions és definit per la funció \[p(t)=500\cdot e^{0.3t}\] on t indica els anys transcorreguts a partir del moment present.

  1. Si venem les accions d’aquí a un any, quin percentatge de benefici obtindrem?

  2. D’aquí a quants anys haurem aconseguit doblar el preu de les accions?

Exercici 1.5.2 · PAU 2016

Durant la darrera epidèmia d’Ebola es va considerar que, sense cap intervenció, el virus es propagava augmentant en un 3 % diari el nombre d’afectats. Suposeu que en una població, avui, hi ha 25 persones infectades.

  1. Escriviu la fórmula de la funció que dóna el nombre de persones infectades en passar els dies. Quantes persones estaran infectades al cap de 20 dies?

  2. A partir d’una data determinada, en aquesta població s’apliquen unes mesures sanità-ries que permeten que el nombre de persones infectades disminueixi segons la funció \[g(x) = 1.000 \cdot (0.95)^x\] Si considerem controlada l’epidèmia quan el nombre d’afectats és igual o inferior a 10 persones, quants dies hauran de passar després d’aplicar les mesu-res sanitàries per a poder declarar controlada l’epidèmia?

Exercici 1.5.3 · PAU 2023 Balears

La temperatur d’un objecte, \(t\) (en graus centígrads), canvia a mida que pass ael temps, \(s\) (en segons), segons el següent model: \[t(s)=45\cdot e^{-0.08\cdot t}+25,\text{ per a }s\ge 0\]

  1. Feu una gràfica esquemàtica de la funció \(t(s)\). Indiqueu sobre la gràfica: el domini, el comportament als extrems del domini.

  2. A què tendirà la temperatura de l’objecte quan hagi passat molt de temps?

  3. En quin moment la temperatura assoleix els 30 graus?

Exercici 1.5.4 · PAU 2024 Balears

Segons un model, la població d’una ciutat determinada, \(p\) (en milions d’habitatns), depèn del temps que ha passat, \(t\) (en anys), des de l’inici de l’any 200, segons la relació \[p(t)=\dfrac{4}{1+3\cdot e^{-0.2t}},\text{ per a }t\ge0\]

  1. Quina població teníem a l’inici de l’any 2000 (és a dir, per a \(t=0\))? En quin any vam tenir exactament 2 milions d’habitants?

  2. A què tendeix la població a llarg terme?

Exercici 1.5.5 · Creixement d’usuaris d’una aplicació

Una nova aplicació té inicialment 2.400 usuaris. Durant els primers mesos, el nombre d’usuaris creix aproximadament un \(15\%\) cada mes.

Si \(t\) representa el nombre de mesos transcorreguts des del llançament:

  1. Escriviu una funció \(U(t)\) que modeli el nombre d’usuaris de l’aplicació al cap de \(t\) mesos.

  2. Quants usuaris tindrà aproximadament l’aplicació al cap de 6 mesos?

  3. Quant temps haurà de passar perquè l’aplicació arribi als 5.000 usuaris?

  4. Si el nombre d’usuaris només es comptabilitza al final de cada mes, quants mesos complets hauran de passar, com a mínim, per superar els 5.000 usuaris?

  1. Com que el nombre d’usuaris augmenta un \(15\%\) cada mes, cada mes es multiplica per \[1+\frac{15}{100}=1,15.\]

    Per tant, \[\boxed{U(t)=2400\cdot 1,15^t}.\]

  2. Al cap de 6 mesos: \[U(6)=2400\cdot 1,15^6\simeq 5551,35.\]

    Per tant, l’aplicació tindrà aproximadament \[\boxed{5551\text{ usuaris}}.\]

  3. Busquem el valor de \(t\) per al qual \[2400\cdot 1,15^t=5000.\]

    Dividim entre 2400: \[1,15^t=\frac{5000}{2400}.\]

    Prenent logaritmes: \[t\log(1,15)=\log\left(\frac{5000}{2400}\right),\] i, per tant, \[t= \frac{\log(5000/2400)}{\log(1,15)} \simeq 5,25.\]

    Així, s’arribarà als 5.000 usuaris al cap d’aproximadament \[\boxed{5,25\text{ mesos}}.\]

  4. Com que cal que hagin passat mesos complets, al cap de 5 mesos encara no s’ha arribat als 5.000 usuaris, mentre que al cap de 6 mesos ja n’hi ha aproximadament 5.551.

    Per tant, caldran \[\boxed{6\text{ mesos complets}}.\]

Exercici 1.5.6 · Evolució dels abonats d’una plataforma

Una petita plataforma de continguts digitals tenia 500 abonats en el moment de començar una campanya publicitària. Al cap de 4 anys, el nombre d’abonats havia augmentat fins a 800.

Suposem que durant aquest període el nombre d’abonats es pot modelitzar mitjançant una funció exponencial de la forma \[A(t)=A_0\cdot a^t,\] on \(t\) és el temps expressat en anys.

  1. Determineu els valors de \(A_0\) i \(a\) i escriviu la funció que modelitza el nombre d’abonats.

  2. Quin percentatge augmenta aproximadament el nombre d’abonats cada any?

  3. Segons aquest model, quants abonats hi haurà al cap de 10 anys?

  4. Quant temps haurà de passar perquè la plataforma arribi als 1.200 abonats?

  1. En l’instant inicial tenim \[A(0)=500,\] i, per tant, \[A_0=500.\]

    Sabem també que \[A(4)=800.\]

    Així, \[500a^4=800.\]

    Dividint entre 500: \[a^4=1,6.\]

    Per tant, \[a=\sqrt[4]{1,6}\simeq 1,1247.\]

    La funció és, doncs, \[\boxed{A(t)=500\cdot 1,1247^t}.\]

    També es pot deixar de manera exacta: \[\boxed{A(t)=500\cdot\left(\sqrt[4]{1,6}\right)^t}.\]

  2. Com que \[a\simeq 1,1247,\] el factor de creixement anual és \[1+0,1247.\]

    Per tant, l’augment anual és aproximadament d’un \[\boxed{12,47\%}.\]

  3. \[A(10)=500\cdot 1,1247^{10}\simeq 1619,1.\]

    Per tant, hi haurà aproximadament \[\boxed{1619\text{ abonats}}.\]

  4. Busquem \(t\) tal que \[500\cdot 1,1247^t=1200.\]

    Dividim entre 500: \[1,1247^t=2,4.\]

    Prenent logaritmes: \[t= \frac{\log(2,4)}{\log(1,1247)} \simeq 7,45.\]

    Per tant, la plataforma arribarà als 1.200 abonats al cap d’aproximadament \[\boxed{7,45\text{ anys}}.\]