$$ \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\RR}{\mathbb{R}} \newcommand{\Nuc}{\text{Nuc}} %\newcommand{\vv}[1]{\overrightarrow{#1}} \newcommand{\vv}[1]{\vec{#1}} \newcommand{\D}{\text{Dom}} \newcommand{\Dom}{\text{Dom}} $$

6. Probabilitat

Exercicis de matemàtiques de 2n de batxillerat CCSS · Curs 2026–2027.

Els colors indiquen el nivell de dificultat. Les solucions disponibles es poden desplegar sota l’enunciat.

6.1 Laplace i conjunts (diagrames de Venn)

Exercici 6.1.1 · Daus i monedes

Tirem un dau cúbic i una moneda. Calcula:

  1. La probabilitat d’obtenir 2-cara.

  2. La probabilitat d’obtenir nombre imparell-creu

a) \(1/12\); b) \(1/4\).

Exercici 6.1.2 · Diagrama de Venn 1

Dibuixeu un diagrama de Venn amb la informació que es recull a la taula següent.

\(B\) \(\overline{B}\)
\(A\) \(20\) \(35\)
\(\overline{A}\) \(55\) \(75\)

Identifiqueu les regions i calculeu les probabilitats del següents successos:

  1. \(A\cap B\)

  2. \(\overline{A}\cap \overline{B}\)

  3. \(A\cup B\)

  4. \(\overline{A}\cup \overline{B}\)

  5. \(\overline{A}\cup B\)

a) \(4/37\); b) \(15/37\); c) \(22/37\); d) \(33/37\); e) \(30/37\).

Exercici 6.1.3 · Joc de daus Quim i Carla

El Quim i la Carla juguen a llençar un dau per torns. Si surt 1, 2, 3 o 4, el jugador que llença el dau guanya el joc. Si surt 5 o 6, toca el torn al següent jugador. En Quim comença el joc, que continua fins al tercer llançament.

  1. Quina probabilitat té el Quim de guanyar el joc en la primera tirada? I a la tercera?

  2. Quina probabilitat té la Carla de guanyar el joc en la seva primera tirada?

a) A la 1a: \(2/3\). A la 3a: \(2/27\); b) \(2/9\).

Exercici 6.1.4 · Escola d’enginyeria

En una escola d’enginyeria, el 35% dels estudiants que comencen els estudis aconsegueixen obtenir el títol. Es trien a l’atzar dos estudiants de primer curs. Sabent que la probabilitat que tots dos obtinguin el títol és \(0.1225\), determina la probabilitat que finalitzin els seus estudis:

  1. Almenys un.

  2. Només un.

  3. Cap dels dos.

Definim els successos: \(T_1\): que el 1r estudiant obtingui el títol. \(T_2\): el 2n estudiant obtingui el títol.

a) Probabilitat que almenys un finalitzi els estudis (Unió): \[\begin{aligned} P(T_1\cup T_2) &= P(T_1) + P(T_2) - P(T_1\cap T_2) \\ &= 0.7 - 0.1225 \\ &= 0.5775 \end{aligned}\]

b) Probabilitat que només un finalitzi els estudis: L’expressió és \((T_1\cap\overline{T}_2) \cup (\overline{T}_1\cap T_2)\). Fixem-nos que la intersecció d’aquests dos conjunts és buida (\(A\cap B = \emptyset\)). Per tant: \[\begin{aligned} P(A\cup B) &= P(A) + P(B) \\ &= (0.35 - 0.1225) + (0.35 - 0.1225) \\ &= 0.455 \end{aligned}\]

c) Probabilitat que cap dels dos finalitzi els estudis: \[\begin{aligned} P(\overline{T_1}\cap\overline{T_2}) &= P(\overline{T_1\cup T_2}) \\ &= 1 - P(T_1\cup T_2) \\ &= 1 - 0.5775 \\ &= 0.4225 \end{aligned}\]

Exercici 6.1.5 · Viatges d’en Marc

En Marc fa anualment viatges de treball a Alemanya (A), Bèlgica (B) i França (F). La probabilitat de viatjar a aquests destins en un anys és:

  • \(P(A)=0.3\); \(P(B)=0.1\), \(P(F)=0.2\),

  • \(P(A\cap F)=0.08\), \(P(A\cap B)=0.03\), \(P(B\cap F)=0.06\)

  • \(P(A\cap B\cap F)=0.01\)

Quina és la probabilitat que viatgi com a mínim a un d’aquests països durant l’any? I que no viatgi a cap?

Probabilitat que viatgi a algun: \[\begin{aligned} P(A\cup B\cup F) &= P(A) + P(B) + P(F)\\ &- P(A\cap B) - P(A\cap F) - P(B\cap F)\\ &+ P(A\cap B\cap F) \\ &= 0.3 + 0.1 + 0.2 - 0.08 - 0.03 - 0.06 + 0.01 \\ &= 0.6 - 0.17 + 0.01 \\ &= 0.44 \rightarrow 44\% \end{aligned}\] Probabilitat que no viatgi a cap: \[ P(\bar{A}\cap\bar{B})=P(\overline{A\cup B})=1-P(A\cup B)=0.66 \]

Exercici 6.1.6 · Propietats de successos

Siguin \(A\) i \(B\) dos successos d’un experiment aleatori de manera que \(P(A)=0.3\), \(P(B)=0.6\) i \(P(A\cup B)=0.75\). Calcula \(P(A\cap B)\), \(P(\bar{A}\cap B)\) i \(P(\bar{A}\cap\bar{B})\)

Sabem que: \[P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)\]

Substituint els valors: \[0.75 = 0.3 + 0.6 - P(A\cap B)\]

D’aquí: \[P(A\cap B) = 0.9 - 0.75 = 0.15\]

Per a la segona part tenim:

\[P(\overline{A}\cap B) = P(B) - P(A\cap B) = 0.6 - 0.15 = 0.45\]

A més, es pot deduir: \[P(\overline{A}\cap\overline{B}) = P(\overline{A\cup B}) = 1 - P(A\cup B) = 1 - 0.75 = 0.25\]

Exercici 6.1.7 · Suma de dos daus

Es llancen dos daus i se sumen els resultats obtinguts.

  1. Quina és la probabilitat que la suma sigui vuit?

  2. Quina suma és més probable?

a) \(5/36\); b) La suma \(7\).

Exercici 6.1.8 · Llançament dau 4 vegades

Si es llança un dau quatre vegades, què és més probable: que surti com a mínim un cinc o que no en surti cap?

És més probable que surti com a mínim un cinc (\(P \approx 0.5177\)) que no pas cap (\(P \approx 0.4822\)).

Com podem veure al següent arbre, els casos totals per a 4 llançaments són: \(6^4 = 1296\). Es tracta de variacions amb repetició de 6 elements agafant-ne 4:

Observem que tenim que es compleix: \[P(\text{mínim un } 5) = 1 - P(\text{cap } 5)\]

Ara comptem els nombre de casos en què no surt cap 5: \(5^4 = 625\), perquè tenim 5 opcions per cada dau i en llancem 4. Ho veiem al següent arbre:

Com tots els casos tenen la mateixa probabilitat, dividim els casos favorables entre els possibles: \[P(\text{cap } 5) = \frac{625}{1296} = 0.48225\]

Per tant, \(P(\text{mínim un } 5) = 1 - 0.48225 = 0.51775\). \(\Rightarrow\) Com a mínim 1 és més probable.

Exercici 6.1.9 · Esports al centre escolar

Al \(30\%\) dels estudiants d’un centre escolar els agrada el futbol, al \(20\%\) el bàsquet i al \(10\%\) tots dos esports. Si s’escull un estudiant del centre escolar a l’atzar, quina és la probabilitat que li agradi algun dels dos esports? I que no li agradi cap? I només un?

Algun: \(0.4\). Cap: \(0.6\). Només un: \(0.3\).

Exercici 6.1.10 · Més cares que creus

Es llança una moneda tres vegades. Quina és la probabilitat d’obtenir més cares que creus?

\(1/2\).

Exercici 6.1.11 · Sèries espanyoles i nord-americanes

Segons un estudi realitzat entre persones menors de \(40\) anys, el \(24\%\) segueix alguna sèrie espanyola, el \(35\%\), una nord-americana, i el \(14\%\), ambdues. Quina proporció de persones segueix regularment com a mínim un dels dos tipus de sèries?

\(45\%\).

Exercici 6.1.12 · Diagrama de Venn 2

Dibuixeu un diagrama de Venn amb la informació de la següent taula, identifiqueu les següents regions i calculeu les probabilitats dels següents processos:

  1. \(A\cap B\)

  2. \(\bar{A}\cap\bar{B}\)

  3. \(A\cup B\)

  4. \(\bar{A}\cup\bar{B}\)

  5. \(\bar{A}\cup B\)

\(B\) \(\bar{B}\)
\(A\) \(20\) \(35\)
\(\bar{A}\) \(55\) \(75\)

a) \(4/37\); b) \(15/37\); c) \(22/37\); d) \(33/37\); e) \(30/37\).

6.2 Probabilitat condicionada

Exercici 6.2.1 · Targetes dèbit i crèdit

Una persona fa servir una targeta de dèbit (\(A\)) i una altra de crèdit (\(B\)). La probabilitat que un dia utilitzi la targeta de dèbit és del 80%; la de crèdit, del 30%, i, ambdues, del 12%. Calcula i interpreta en termes del problema les probabilitats següents:

  1. \(P(B|A)\)

  2. \(P(A|B)\)

  3. \(P(\overline{A}| B)\)

  4. \(P(\overline{B}|\overline{A})\)

a) \(0.15\); b) \(0.4\); c) \(0.6\); d) \(0.1\).

Exercici 6.2.2 · Restaurant d’hamburgueses

En un restaurant d’hamburgueses, el 80% dels clients utilitza quètxup, el 75% mostassa i el 65% tots dos.

  1. Quina és la probabilitat que un client escollit a l’atzar utilitzi com a mínim un dels dos?

  2. Si un client utilitza mostassa, quina probabilitat hi ha que faci servir també quètxup?

a) \(0.90\); b) \(13/15 \approx 0.867\).

Exercici 6.2.3 · Planta telèfons mòbils

Una empresa té una planta de fabricació de telèfons mòbils. Se sap que el 10% dels telèfons mòbils fabricats en aquesta planta són defectuosos. Si un telèfon és defectuós, la probabilitat que el procés de control de qualitat el detecti és del 95%. Si no és defectuós, la probabilitat que el consideri defectuós i el tregui de la producció és del 3%. Dibuixa el diagrama d’arbre i respon:

  1. Si s’escull un telèfon a l’atzar, quina és la probabilitat que sigui defectuós i superi del control de qualitat i, per tant, es posi a la venda?

  2. De cada 1000 telèfons, quants esperem que siguin defectuosos però tot i així superin el control de qualitat?

  3. Si s’escull un telèfon a l’atzar, quina és la probabilitat que no sigui defectuós però tot i així no superi el control de qualitat?

a) \(0.005\); b) \(5\) telèfons; c) \(0.027\).

Exercici 6.2.4 · Seguidors equips esportius

En una ciutat hi ha dos equips destacats, un de futbol i un altre de bàsquet. Tots els habitants són seguidors d’algun dels dos equips. Se sap que hi ha un 60% de seguidors de l’equip de futbol, i un altre 60% de l’equip de bàsquet. S’escull a l’atzar un habitant d’aquesta ciutat:

  1. Calcula la probabilitat que sigui seguidor d’ambdós equips.

  2. Si se sap que és seguidor de l’equip de bàsquet, quina és la probabilitat que ho sigui també del de futbol?

a) \(0.2\); b) \(1/3\).

Exercici 6.2.5 · Cotxe compartit Anna i Lluís

L’Anna i en Lluis comparteixen cotxe per desplaçar-se diàriament a la feina. Anna condueix el 40% dels dies i en Lluís la resta. Quan condueix l’Anna, arriben tard el 5% dels dies, i quan condueix el Lluís, el 8%.

  1. Calcula la probabilitat que un dia triat a l’atzar arribin tard a la feina.

  2. Sabent que avui hem arribat tard, quina és la probabilitat que conduís el Lluís?

a) \(0.068\); b) \(12/17 \approx 0.706\).

Exercici 6.2.6 · Anar a la universitat 1

El Joan té tres maneres d’anar a la universitat. El \(30\%\) de les vegades va en autobús, el \(20\%\) en bicicleta i el \(50\%\) caminant. Quan va en autobús, arriba tard el \(5\%\) de les vegades; quan va en bicicleta, el \(10\%\), i caminant el \(25\%\). Donat un dia en què arriba a temps, quina probabilitat hi ha que hi anés en bici?

\(3/14 \approx 0.214\).

Exercici 6.2.7 · Bols de bales

Un bol conté 6 bales blanques i 4 de negres, i un segon bol en conté 5 de blanques i 3 de negres. Es treu una bola a l’atzar del primer bol i es col·loca, sense mirar-la, al segon. Després s’extreu una bala del segon bol.

  1. Quina és la probabilitat que la bola extreta del segon bol sigui negra?

  2. Sabent que la bola extreta del segon bol ha estat negra, quina és la probabilitat que la bola extreta del primer bol fos blanca?

a) \(17/45\); b) \(9/17\).

Exercici 6.2.8 · Wallapop i Vibbo

Les aplicacions de compravenda més utilitzades són Wallapop i Vibbo. El \(70\%\) de les transaccions es fan per Wallapop i la resta per Vibbo. Els productes que es pugen a Wallapop, en el \(80\%\) de les ocasions, tarden menys de deu dies a tancar-ne la venda, mentre que a Vibbo ho aconsegueixen només en el \(25\%\) dels casos en el mateix termini de temps.

  1. Si s’escull a l’atzar una de les aplicacions per posar a la venda un producte, quina és la probabilitat que superi el termini de deu dies per aconseguir la venda?

  2. Sabent que un paquet ha trigat més de 10 dies, quina és la probabilitat que vingués de Wallapop?

a) \(0.365\); b) \(28/73 \approx 0.384\).

Exercici 6.2.9 · Temps a l’estiu

La probabilitat que plogui un dia d’estiu en una ciutat és del \(0.2\). La probabilitat que la temperatura màxima diària superi els \(25^\circ\)C és del \(0.3\) quan plou i del \(0.8\) quan no. Trobeu la probabilitat que un dia d’estiu no se superin els \(25^\circ\)C.

\(0.3\).

Exercici 6.2.10 · Bateries ions liti

Un fabricant d’automòbils elèctrics compra les bateries de ions de liti a dos proveïdors, un d’asiàtic i un altre d’europeu. Del primer adquireix el \(65\%\) de les bateries, i, del segon, el \(35\%\). Un cop muntades als automòbils, les bateries són sotmeses a un control de qulitat que indiquen que el \(2\%\) de les procedents d’Àsia i l’\(1\%\) de les europees són defectuoses. S’escull un automòbil a l’atzar i es comprova que la bateria és defectuosa. Quina és la probabilitat que aquest provingués d’Àsia?

\(26/33 \approx 78.79\%\).

Exercici 6.2.11 · Planta de circuits

Una planta ensambladora de circuits rep components de tres fabricants A, B i C. El \(50 \%\) del total dels components es compren al fabricant A, mentre que als fabricants B i C es els compra un \(25\%\) a cadascun. El percentatge de components defectuosos és d’un \(5\%\) per al fabricant A, un \(10\%\) per al fabricant B i un \(12\%\) per al fabricant C. Per tal de controlar el procés de producció, es realitza un control de qualitat, escollint un circuit a l’atzar.

  1. Troba la probabilitat que aquest contingui components defectuosos.

  2. Si el circuit no conté components defectuosos, quina probabilitat hi ha que procedeixi del fabricant B?

a) \(0.08\); b) \(45/184 \approx 0.2446\).

Exercici 6.2.12 · Club esportiu i natació

En un club esportiu, el \(52\%\) dels socis són homes. Entre els socis, el \(35\%\) dels homes practica la natació, així com el \(60\%\) de les dones. Si triem un soci a l’atzar:

  1. Quina és la probabilitat que sigui un home que practica la natació?

  2. Quina és la probabilitat que practiqui la natació?

  3. Sabent que és una dona, quina és la probabilitat que nedi?

  4. Sabent que practica la natació, quina és la probabilitat que sigui una dona?

a) \(0.182\); b) \(0.47\); c) \(0.6\); d) \(144/235 \approx 0.613\).

Exercici 6.2.13 · Nois, noies i escacs

En un grup de Batxillerat hi ha \(10\) nois i \(8\) noies. D’ells, \(3\) nois i \(4\) noies juguen a escacs.
Si trieu a l’atzar una persona d’aquest grup, determineu aquestes probabilitats:

  1. Que sigui noi i no jugui a escacs.

  2. Que no jugui a escacs sabent que és una noia.

a) \(7/18\); b) \(1/2\).

Exercici 6.2.14 · Joves estudien i treballen

Segons un estudi recent, el \(52\%\) dels joves europeus entre \(18\) i \(25\) anys estudia, el \(58\%\) treballa i un \(32\%\) simultanieja els seus estudis amb la feina. S’escull a l’atzar una persona d’aquest col·lectiu.

  1. Calcula la probabilitat que només estudiï.

  2. Determina la probabilitat que ni estudiï ni treballi.

  3. Si sabem que no treballa, quina probabilitat hi ha que estudiï?

a) \(0.20\); b) \(0.22\); c) \(10/21 \approx 0.476\).

Exercici 6.2.15 · Independència successos

Siguin \(A\) i \(B\) dos successos d’un experiment aleatori de manera que \(P(A) = 0.7\) i \(P(B)=0.3\). Calcula raonadament \(P(A\cap B)\) i \(P(A\cup B)\) en els casos següents:

  1. Si \(A\) i \(B\) són independents.

  2. Si \(P(A|B) = 0.6\).

a) \(P(A\cap B)=0.21\) i \(P(A\cup B)=0.79\); b) \(P(A\cap B)=0.18\) i \(P(A\cup B)=0.82\).

Exercici 6.2.16 · Anar a la universitat 2

En Joan té tres maneres d’anar a la universitat. El \(30\%\) de les vegades va en autobús, el \(20\%\) en bicicleta i el \(50\%\) caminant. Quan va en autobús, arriba tard el \(5\%\) de les vegades; quan va en bicicleta, el \(10\%\), i caminant, el \(25\%\).

  1. Donat un dia qualsevol, quina és probabilitat que hi vaig en bici i arribi d’hora?

  2. Si avui ha vingut en bici, quina és probabilitat que arribi d’hora?

  3. Donat un dia en què arriba a temps, quina probabilitat hi ha que hi anés en bicicleta?

a) \(0.18\); b) \(0.9\); c) \(3/14 \approx 0.214\).

Exercici 6.2.17 · Jutges i acusats

En un país fictici, sabem que el \(60\%\) dels acusats són en realitat culpables, mentre que la resta són innocents. Els jutges, però, s’equivoquen en un \(1\%\) dels veredictes. Quin tant per cent dels acusats són declarats culpables?

\(59.8\%\).

Exercici 6.2.18 · Protectora animals

En una protectora d’animals tenim 65 gossos i 45 gats. Entre aquestes dues espècies, hi ha un total de 50 mascles i únicament tenen 20 gates. Obtingueu la probabilitat que, escollit un animal d’aquestes espècies a l’atzar, sigui:

  1. Gos mascle.

  2. Un gat, sabent que hem escollit un mascle.

  3. Femella, sabent que hem escollit un gos.

a) \(5/22 \approx 0.227\); b) \(1/2\); c) \(8/13 \approx 0.615\).

Exercici 6.2.19 · PAU Juny 2024 Pel·lícules

El Guiu i el Roc són uns grans aficionats al cinema i miren moltes pel·lícules de la platforma digital a la qual estan subscrits. Els agrada tant que, si agafem una pel·lícula de la plataforma a l’atzar, la probabilitat que el Guiu l’hagi vista és del \(0.5\), la probabilitat que el Roc l’hagi vista és de \(0.6\), i la probabilitat que l’hagin vista tots dos és de \(0.25\).

  1. Si triem una pel·lícula a l’atzar, calculeu la probabilitat que l’hagi vista el Roc però no el Guiu.

  2. Si triem una pel·lícula a l’atzar, calculeu la probabilitat que el Guiu l’hagi vista si sabem que almenys un dels dos l’ha vista.

a) \(0.35\); b) \(10/17 \approx 0.588\).

Exercici 6.2.20 · PAU Setembre 2024 Centre esportiu

Un centre esportiu té dues zones: la zona de la piscina (A1) i la zona del gimnàs (A2). Els abonats han de triar a quina de les dues zones (només una) volen accedir i també si volen anar al centre esportiu en horari de matí (opció B1) o en horari de tarda (opció B2). Si seleccionem un abonat del centre a l’atzar, sabem que la probabilitat que utilitzi la zona de la piscina és de 0,4 i la probabilitat que utilitzi el gimnàs és de 0,6. D’altra banda, la probabilitat que estigui abonat en horari de matí, si sabem que utilitza la zona de la piscina, és de 0,55, mentre que la probabilitat que estigui abonat en horari de matí, si sabem que utilitza el gimnàs, és de 0,45.

  1. Quina és la probabilitat que l’individu estigui abonat en horari de matí?

  2. Si sabem que està abonat en horari de matí, quina és la probabilitat que utilitzi la zona de piscina?

a) \(0.49\); b) \(22/49 \approx 0.449\).

Exercici 6.2.21 · Joc de daus Miquel i Carla

En Miquel i la Carla juguen a llançar un dau per torns. Si surt \(1,\,2,\,3\) o \(4\), el jugador que ha llançat el dau guanya. Si surt \(5\) o \(6\), és el torn del següent jugador. En Miquel inicia el joc, que continua fins al tercer llançament.

  1. Quina probabilitat té en Miquel de guanyar el joc en la primera tirada? I en la tercera?

  2. Quina probabilitat té la Carla de guanyar el joc en la primera tirada?

a) A la 1a: \(2/3\). A la 3a: \(2/27\); b) \(2/9\).

6.3 Independència de successos

Exercici 6.3.1 · Escola d’enginyeria

En una escola d’enginyeria, el 35% dels estudiants que comencen els estudis aconsegueixen obtenir el títol. Es trien a l’atzar dos estudiants de primer curs. Considerant que obtenir el títol o no és indendent és independent de si l’altre estudiant l’ha obtingut o no, determineu la probabilitat que finalitzin els seus estudis:

  1. Tots dos.

  2. Almenys un.

  3. Només un.

  4. Cap dels dos.

  1. Com successos independents tenim que \(P(T_1\cap T_2)=P(T_1)\cdot P(T_2)=0.1225\)

  2. Igual que l’exercici 6.1.4

  3. Igual que l’exercici 6.1.4

Exercici 6.3.2

Entrevistem 100 estudiants d’un institut i els fem les següents preguntes:

  1. Has aprovat anglès aquest trimestre?

  2. Has aprovat mates aquest trimestre?

Sabem que 60 han aprovat mates, 75 anglès i 45 les dues.
Digueu de manera raonada si el fet d’aprovar les dues matèrires està relacionada o no. És a dir, aprovar mates i aprovar anglès, són successos independents?

Exercici 6.3.3

L’Anna ha tingut entrevistes de treball en una empres italiana i en una francesa. Estima que la probabilitat que li ofereixin feina a la italiana és del \(70\%\), en la francesa el \(50\%\), i en ambudes el \(30\%\).
Expliqueu de forma raonada si el fet que li ofreixin feina depèn que li ofereixin feina a l’altra.

Exercici 6.3.4

Un ordinador té instal·lats dos antivirus, que actuen de manera independent. En un moment donat entra un virus a l’ordinador. La probabilitat que sigui detectat pel primer antivirus és del \(96\%\), i pel segon del \(91\%\).

  1. Quina és la probabilita quel virus sigui detectat per algun dels dos virus?

  2. Sabent que el virus ha estat detectat pel primer antivirus, quina és la probabilitat que el segon antivirus el detecti?