$$ \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\RR}{\mathbb{R}} \newcommand{\Nuc}{\text{Nuc}} %\newcommand{\vv}[1]{\overrightarrow{#1}} \newcommand{\vv}[1]{\vec{#1}} \newcommand{\D}{\text{Dom}} \newcommand{\Dom}{\text{Dom}} $$

3. Optimització

Exercicis de matemàtiques de 2n de batxillerat CCSS · Curs 2026–2027.

Els colors indiquen el nivell de dificultat. Les solucions disponibles es poden desplegar sota l’enunciat.

3.1 Oferta/demanda

Exercici 3.1.1 · PAU Juny 2024

Una empresa de lloguer de vehicles disposa d’una flota de 250 vehicles. Si el preu del llo- guer diari d’un vehicle és de 50 €, aconsegueix llogar-los tots. S’ha observat que la relació entre el preu del lloguer dels vehicles i el nombre de vehicles que es lloguen és lineal, de manera que per cada euro que s’incrementa el preu diari del lloguer es lloguen dos vehi- cles menys. Cada vehicle llogat genera un cost diari d’1 € de manteniment.

  1. Digueu quins beneficis o pèrdues té l’empresa si lloga cada cotxe a 50 euros.

  2. Digueu quins beneficis o pèrdues tindria l’empresa si augmenta el preu de lloguer en 3 euros.

  3. Digueu quins beneficis o pèrdues tindria l’empresa si disminueix el preu del lloguer en 4 euros.

  4. Si anomenem \(x\) el nombre d’euros que s’incrementa el preu del lloguer, escriviu la funció que determina els beneficis obtinguts en funció de \(x\).

  5. A quin preu cal llogar els vehicles per a aconseguir el màxim de beneficis? Quin és aquest benefici màxim?

Exercici 3.1.2 · PAU Setembre 2025

Un agricultor ha observat que si es planten 25 pereres per hectàrea, el rendiment és de 370 peres per arbre. A més a més, també ha comprovat que la relació entre el nombre de peres per arbre i el nombre de pereres per hectàrea és lineal, de manera que per cada arbre plantat de més per hectàrea, el rendiment disminueix en 10 peres per perera.

  1. Anomenem \(x\) el nombre de pereres de més que plantem, addicionals a les 25 inicials. Calculeu la funció de la producció total de peres per hectàrea \(P(x)\) en funció de \(x\).

  2. Quin és el nombre total de pereres per hectàrea que cal plantar per a obtenir el màxim de producció per hectàrea? Quina és aquesta producció màxima? A partir de quantes pereres per hectàrea no s’obté cap producció?

Definició de la funció: \[P(x) = (25+x)(370-10x)\]

a) Càlcul inicial: Si \(x=0\): \[P(0) = 25 \cdot 370 = 9.250\]

Desenvolupament de la funció: \[\begin{aligned} P(x) &= -10x^2 - 250x + 370x + 25 \cdot 370 \\ P(x) &= -10x^2 + 120x + 9.250 \end{aligned}\]

b) Maximització (Vèrtex): \[x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{-120}{2(-10)} = \frac{-120}{-20} = 6\] Càlcul de la producció màxima: \[P(6) = 9.610 \text{ peres}\] Nombre total d’arbres: \[\text{Total} = 25 + 6 = 31 \text{ pereres}\]

Producció nul·la (Pàgina 2): Busquem quan \(P(x) = 0\): \[-10x^2 + 120x + 9.250 = 0\] Simplificant (dividint per -10): \[x^2 - 12x - 925 = 0\] Aplicant la fórmula de segon grau: \[x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4(1)(-925)}}{2}\] \[x = \frac{12 \pm \sqrt{144 + 3.700}}{2} = \frac{12 \pm \sqrt{3.844}}{2} = \frac{12 \pm 62}{2}\] Dues solucions possibles:

  • \(x_1 = \frac{74}{2} = 37\)

  • \(x_2 = \frac{-50}{2} = -25\) (es descarta)

Resultat final (arbres totals): \(25 + 37 = 62 \text{ pereres}\).

Exercici 3.1.3

El cost d’elaboració d’un menú en un restaurant és de 8 euros. S’ha realitzat un estudi de mercat i s’ha arribat la conclusió que si el preu del menú és de 18€ aleshores entren a dinar al restaurant 120 clients. També s’ha conclòs que la relació entre el preu del menú i el nombre de clients és “lineal”, de manera que per cada euro que augmentem el preu del menú entren 4 clients menys a dinar.

  1. Obtingueu la funció que determina el nombre de clients que vindran a dinar en funció del preu del menú.

  2. Obtingueu la funció que determina els ingressos en funció del preu del menú.

  3. Obtingueu la funció que determina els beneficis en funció del preu del menú.

  4. Trobeu el preu òptim del menú (preu que maximintza els beneficis), justifiqueu que es tracta d’un màxim, així com el beneficis que s’obtenen amb aquest preu.

Plantejament:

  • Si \(p = 18\text{€} \rightarrow 120\) clients.

  • Si puge \(x\) el preu del menú \(\rightarrow (18+x)\).

  • Clients: \((120 - 4x)\).

Funcions: Ingressos: \[I(x) = (18+x)(120-4x)\]

c) Funció de Beneficis: \[B(x) = (18+x)(120-4x) - (120-4x) \cdot 8\] Treient factor comú \((120-4x)\): \[\begin{aligned} B(x) &= (120-4x)(18+x-8) \\ &= (120-4x)(10+x) \\ &= 1200 + 120x - 40x - 4x^2 \\ B(x) &= -4x^2 + 80x + 1.200 \end{aligned}\]

d) Optimització: Trobem el vèrtex (és un màxim perquè és una paràbola convexa/invertida): \[x_v = \frac{-80}{2(-4)} = 10\] Preu final del menú: \[18 + 10 = 28\text{€}\] Beneficis màxims: \[B(10) = 1.600\text{€}\]

Exercici 3.1.4

Una empresa agrícola ha recollit un total de 40 tones de fruita que produeixen un benefici de \(0.80\)€/Kg. Cada setmana que passa s’han de llençar \(400\)kg de fruita perquè es fa malbé, però el preu de venda de la fruita que queda augmenta un cèntim cada kg (perquè està més madura i dolça).

  1. Quins serien els ingressos si es vengués la fruita al cap de nou setmanes d’haver-la collit?

  2. Per tal d’obtenir el màxim d’ingressos, quantes setmanes hauríem d’esperar a vendre la fruita des de que s’ha collit?

Exercici 3.1.5

Un gimnàs cobra una quota de 42 euros mensuals i té 2.000 usuaris. Un estudi de mercat afirma que per cada euro que s’apuja (o s’abaixa) la quota es perden (o es guanyen) 20 usuaris.

  1. Expresseu el nombre d’usuaris del gimnàs en funció de la quota, tenint en compte que la relació entre les dues variables és lineal. Per a quin valor de la quota el gimnàs es quedaria sense usuaris?

  2. Determineu en quin preu cal fixar la quota per a obtenir un benefici mensual màxim. Quin seria aquest benefici i quants usuaris tindria el gimnàs en aquest cas?

Exercici 3.1.6 · PAU juny 2023

El preu d’un vol entre Barcelona i Islàndia és de 500€. Una companyia aèria té capacitat per a 300 passatgers diaris, però hi ha una determinada època de l’any en què només ven 180 bitllets. Després de fer un estudi de mercat, la companyia s’adona que la relació entre el preu del bitllet i el nombre de passatgers és lineal, de manera que per cada 5€ de descompte en el preu del bitllet aconsegueix dos passatgers més.

  1. Si anomenem \(x\) el nombre de vegades que s’aplica el descompte, escriviu la funció que dona els ingressos diaris de la companyia per la venda de bitllets en funció de \(x\).

  2. A quin preu cal vendre cada bitllet per a obtenir el màxim d’ingressos? Quins ingressos s’obtindran amb aquest preu?

Exercici 3.1.7

Els costos de fabricació \(C(x)\) en euros d’unes galetes depenen de la quantitat elaborada, \(x\), en Kg segons la funció: \[ C(x)=10+170x\text{ en €} \] El fabricant estima que el preu de venta de cada Kg de galetes ve donat per la funció: \[ P(x)=200-\frac{25x^2}{100},\text{ en €/Kg} \]

  1. Expliqueu raonadament si el preu de venta disminueix amb la quantitat de galeta elaborada.

  2. Suposant que es ven tot el que es fabrica, obtingueu la funció que recull els beneficis en funció de la quantitat de galeta produïda.

  3. Quina quantitat de galeta cal produir per tal d’obtenir uns beneficis màxim? Justifiqueu que es tracta d’un màxim i digueu quins són aquests beneficis.

  1. El preu de venda segueix una paràbola que és còncava cap avall (el coeficient de grau \(2\) és negatiu, val \(-\frac{25}{100}\)). Com el coeficient de grau \(1\) és nul (\(b=0\)) el vèrtex de la paràbola està situat a \(x_v=0\). Per tant, la funció \(P(x)\) passa de créixer a decréixer en \(x=0\) (hi té un màxim). Com la quantitat produïda ha de ser positiva (\(x>0\)) podem concloure que el preu sí que disminueix amb la quantitat de galeta elaborada.

  2. La funció que ens proporciona els beneficis s’obté de la diferència entre els ingressos i els costos. Els costos en els dóna l’enunciat, mentre que el ingressos els trobarem de multiplicar el preu per quilo de cada galeta pel nombre de quilos venuts (que coincideix amb els produïts). Per tant, ens quedarà: equation \[ B(x)= P(x)\cdot x-C(x)= \left( 200-\frac{25x^{2}}{100}\right)\cdot x-(10+170x) \] Si l’arreglem una mica, la funció quedarà: \[ B(x)=-10+30x-\frac{25x^3}{100} \]

  3. La funció \(B(x)\) és una funció cúbica. Per tal de trobar-ne el màxim caldrà derivar i igualar a \(0\), ja que no tenim fórmula per trobar-ne els vèrtexs: \[ B'(x)=30-\frac{75x^2}{100}=0 \] Les solucions d’aquesta equació són: \(x=-\sqrt{40}\) i \(x=\sqrt{40}\). Ens quedem només amb la positiva perquè l’altra no té sentit. Ara caldrà veure que correspon a un màxim. Com \(\sqrt{40}\simeq 6.32\), avaluem \(B'(x)\) en \(x=6\) i en \(x=7\), i obtenim valors positius i negatius, respectivament. Per tant, la funció \(B(x)\) té un màxim en \(x=6.32\), que ens indica que caldrà produir \(6.32\) Kg de galeta per obtnir uns beneficis màxims. Ara només cal saber quins seran aquests beneficis: \(B(6.32)=116.49\) €.

Exercici 3.1.8

Un arbre té un volum de 30 \(m^3\) i, per la qualitat de la seva fusta, es ven a 50 € per metre cúbic. Cada any l’arbre augmenta el volum en 5 \(m^3\). Alhora, la qualitat de la fusta de l’arbre disminueix, i també el preu, que cada any és un euro per metre cúbic més barat. D’aquí a quants anys aconseguirem el màxim d’ingressos per la venda de la fusta de l’arbre? Quins seran aquests ingressos?

3.2 Geomètrics

Exercici 3.2.1

Un pastor aprofitant una paret existent de 60 metres que li servirà com a tot o una part d’un dels costats vol construir una tanca rectangular per al seu ramat. Si disposa de 100 metres de tanca i es designa \(x\) la mesura de cadascuna de les parets laterals i \(100-2 x\) la mesura de la paret frontal:

  1. expresseu l’àrea de la tanca en funció de \(x\)

  2. Com s’aconsegueix l’àrea més gran? Quant val aquesta àrea?

1) Funció Àrea Sabem que la longitud total de la tanca disponible és de 100 m. Tenint en compte la paret existent, els costats són \(x\) (laterals) i la part frontal és \(100-2x\).

L’àrea del rectangle ve donada per: \[A(x) = x \cdot (100 - 2x)\] \[A(x) = 100x - 2x^2\]

Aquesta és una funció parabòlica convexa (\(\cap\)) perquè el coeficient de \(x^2\) és negatiu.

2) Maximització Per trobar l’àrea màxima, busquem el vèrtex de la paràbola (\(x_v\)): \[x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{-100}{2(-2)} = \frac{-100}{-4} = 25 \text{ m}\]

Comprovem si aquest valor és factible amb la paret existent de 60 metres: \[\text{Llargada frontal} = 100 - 2(25) = 50 \text{ m}\] Com que \(50 \text{ m} < 60 \text{ m}\), la solució és vàlida.

L’àrea màxima serà: \[A(25) = 25 \cdot 50 = 1250 \text{ m}^2\]

Exercici 3.2.2

Es vol tancar un camp rectangular que hi ha a la vora del camí. Si la tanca que dóna al camí, que no volem de longitud inferior a 150m ni superior a 200m, costa a \(8\)€/m i la dels altres costats a 1 €/m, trobeu l’àrea màxima de camp que es pot tancar amb 2.880€. I quina és l’àrea mínima?

1. Plantejament de l’equació de costos Tenim un costat \(x\) a 8 €/m, el costat oposat \(x\) a 1 €/m, i dos costats \(y\) a 1 €/m. \[2880 = 8x + 1x + 1y + 1y\] \[2880 = 9x + 2y\]

Aïllem la \(y\): \[2y = 2880 - 9x \implies y = \frac{2880 - 9x}{2}\]

2. Funció Àrea L’àrea és \(A = x \cdot y\). Substituïm la \(y\): \[A(x) = x \cdot \left( \frac{2880 - 9x}{2} \right) = \frac{2880x - 9x^2}{2}\] \[A(x) = 1440x - 4,5x^2\]

3. Càlcul de l’Àrea Màxima Busquem el vèrtex de la paràbola: \[x_v = \frac{-1440}{2(-4,5)} = \frac{-1440}{-9} = 160 \text{ m}\]

Comprovem les restriccions (\(150 \le x \le 200\)): \[150 < 160 < 200 \quad (\text{Vàlid})\]

Calculem la \(y\) corresponent: \[y = \frac{2880 - 9(160)}{2} = \frac{1440}{2} = 720 \text{ m}\]

L’àrea màxima és: \[A_{max} = 160 \cdot 720 = 115.200 \text{ m}^2\]

4. Càlcul de l’Àrea Mínima Per trobar el mínim en un interval tancat, avaluem la funció en els extrems de l’interval: \(x = 150\) i \(x = 200\).

  • Si \(x = 150\): \[A(150) = 150 \cdot \frac{2880 - 9(150)}{2} = 150 \cdot 765 = 114.750 \text{ m}^2\]

  • Si \(x = 200\): \[A(200) = 200 \cdot \frac{2880 - 9(200)}{2} = 200 \cdot \frac{1080}{2} = 200 \cdot 540 = 108.000 \text{ m}^2\]

Conclusió: L’àrea mínima s’aconsegueix quan \(x = 200 \text{ m}\) i és de 108.000 m\(^2\).

Exercici 3.2.3 · PAU Setembre 2024

Es vol construir una capsa de cartró de base quadrada i oberta (sense tapa) per a posar-hi retoladors i colors, com la de la figura següent:

  1. Expresseu l’alçària de la capsa (\(y\)) en funció de la longitud del costat de la base (\(x\)).

  2. Es vol fer servir el mínim de cartró possible per a construir la capsa. Quants centímetres ha de mesurar el costat de la base (\(x\)) perquè la superfície de la capsa sigui mínima? Quants centímetres ha de mesurar l’alçària (\(y\))? Quina quantitat de cartró farà servir per a construir la capsa?

  1. \(y=\frac{4000}{x^2}\)

  2. \(x=20\)cm i \(y=10\)cm, que correspondrà a una superfície de \(1200\) cm\(^2\)

3.3 Altres

Exercici 3.3.1

El preu en euros d’una pedra preciosa és cinc vegades el quadrat del seu pes en grams. Si tenim una pedra periosa de 8 grams i ens plantegem partir-la en dos trossos:

  1. Quin pes haurà de tenir cada tros perquè el conjunt valgui el mínim possible?

  2. Quin és el preu mínim i el preu màxim que pot valor aquest conjunt?

3.4 Amb la funció donada

Exercici 3.4.1

S’ha construït una presa d’emmagatzematge d’aigua els costos de manteniment diaris de la qual són una funció de la quantitat d’aigua que té emmagatzemada. Aquests costos vénen donats per la següent expressió: \[ C(x) = x^3 + x^2 - 8x + 73 \] on \(C(x)\) representa el cost en milers € i \(x\) el volum d’aigua em milions de \(m^3\).

  1. Trobeu el volum diari d’aigua òptim que cal mantenir per minimitzar costos.

  2. Calculeu el cost mínim diari que suposa el manteniment de la instal·lació. Si un dia la presa té emmagatzemats 3 milions de metres cúbics d’aigua quant s’ha gastat de més respecte del cost mínim?

  1. Només caldrà trobar el mínim de la funció \(C(x)\). Com és una cúbica, derivem i igualem a \(0\): \[ C'(x)=3x^2+2x-8=0 \] Les solucions d’aquesta equació són \(x=\frac{4}{3}\) i \(x=-2\). Aquesta segon solució no té sentit perquè és negativa.
    Cal veure si \(x=\frac{4}{3}\) correspon a un màxim o a un mínim. Com \(\frac{4}{3}\simeq 1.333\), avaluem \(C'(x)\) en \(x=1\) i \(x=2\), i obtenim que aquesta funció és negatia a l’esquerra de \(x=\frac{4}{3}\) i positiva a la seva dreta. Per tant, la funció, com passa de decréixer a créixer en aquest valor, els costos són mínims per \(x=\frac{4}{3}\). Així, la quantitat d’aigua òptima és de \(1.333\) milions de \(m^{3}\).

  2. Els cost de manteniment que obtenim per emmagatzemar aquesta quantitat d’aigua valdrà \(C\left( \frac{4}{3} \right)=\)

Exercici 3.4.2

En valor, en milers d’euros, durant els dos primers anys d’una determinada empresa en un funció del temps \(t\) ve donat per la funció \[ v(t)=1+3t+t^2-t^3 \]

  1. Trobeu el valor de l’empresa en el moment de la seva constitució

  2. Trobeu el valor màxim i els valors mínims de l’empresa durant els dos primers anys de vida

  3. Trobeu el moment de màxim creixement de l’empresa.

Exercici 3.4.3 · PAU Setembre 2024

Els beneficis o pèrdues diaris d’una nova empresa durant el primer any de funcionament són donats per la funció \(B(x) = -x^{2} + 260x - 12.000\), en què \(x\) representa el dia des de l’inici de l’activitat de l’empresa.

  1. Quin benefici o pèrdua va tenir l’empresa el dia 45? Quins dies va obtenir un benefici de 4.000€?

  2. Calculeu quin dia l’empresa va obtenir el benefici màxim i quin va ser aquest valor. Calculeu també entre quins dies l’empresa no va tenir pèrdues.

  1. El dia 45 va tenir unes pèrdues de 2325€, i els dies 100 i 160 ha tingut un benefici de 4000€.

  2. El dia 130 va tenir uns beneficis màxims de 4900€. L’empresa no va tenir pèrdues entre els dies 60 i 200.

Exercici 3.4.4 · PAU Juny 2026 Sèrie 1

Un metge comença a fer divulgació sobre salut a les xarxes socials. A mesura que publi- ca continguts relacionats amb aquest tema, observa un augment en el nombre de seguidors. En un moment determinat grava un vídeo polèmic i perd un petit nombre de seguidors, però al cap d’uns dies en publica un altre que té molt d’èxit i, a partir d’aleshores, el nombre de seguidors torna a créixer. La funció que descriu el nombre de seguidors en funció del temps t, mesurat en setmanes, és \(f(t) = 10t^3 - 120t^2+ 450t + 700, t \in [0, 10]\).

  1. Quants seguidors té a l’inici? Quants en té al cap de 10 setmanes? Estudieu els intervals de creixement i decreixement de la funció i determineu-ne els extrems locals. Feu un esbós de la gràfica utilitzant la informació obtinguda.

  2. Quina setmana penja el vídeo polèmic i quants seguidors té en aquell moment? Quina setmana penja el vídeo que té molt d’èxit? Al llarg de les 10 setmanes, en quin moment té més seguidors?

Exercici 3.4.5 · PAU Andalusi Juny 2025

Continua de l’exercici 1.4.17.

3.5 Tècnics

Exercici 3.5.1

Trobeu els màxims i mínims absoluts de les següents funcions:

  1. \(x^2-4x+3\) en \([-1,4]\)

  2. \(\sqrt{x^3-x^2-6x}\) en \([-2,0]\)

  3. \(\frac{x^2-1}{x+2}\) en \([-2,4]\).

Exercici 3.5.2

Feu l’estudi complert de la funció \[ f(x)=\frac{x^2-1}{x^2+2} \] És a dir,

  1. Domini

  2. Punts de tall amb els eixos

  3. Asímptotes

  4. Continuïtat

  5. Monotonia i extrems relatius

  6. Esbós

Exercici 3.5.3 · PAU Juny 2024

Una pagesa contracta un conductor perquè porti un tractor fins a un poble que es troba a 300 km de distància. Sabem que el gasoil que fa servir el tractor costa 1,96€ per litre i que el conductor cobra 14,70 € l’hora. Suposem que el conductor farà tot el trajecte a una velocitat constant i que el consum de gasoil (en litres per hora), en funció de la velocitat \(x\) (en kilòmetres per hora), és donat per la funció \[ G(x)=5+\frac{x^2}{98} \]

  1. Calculeu el temps que el conductor trigarà a fer el viatge i el cost total del viatge si el tractor fa tot el recorregut a 40 km/h (la velocitat màxima permesa per a aquest tipus de vehicle). Comproveu que la funció que dona el cost total del viatge en funció de la velocitat del tractor es pot expressar com a \[ C(x)=\frac{7350}{x}+6x \]

  2. Calculeu quina és la velocitat que fa que el cost total del viatge sigui mínim. Quin és aquest cost?

  1. El temps total del viatge serà de 7,5 hores si va a 40km/h, i el cost total serà de 423,75€

  2. El cost mínim s’obté per una velocitat de 35km/h, i correspon a 420€.

Exercici 3.5.4 · PAU Setembre 2023

Un fabricant de vehicles elèctrics ha tret al mercat un model nou amb tant d’èxit que ven tots els que fabrica. El preu de venda de cada cotxe és de 35.000€. Fabricar un cert nombre de cotxes li suposa unes despeses de \(C(x) = x^2 + 34.880x + 1.100\) euros, en què \(x\) representa el nombre de vehicles fabricats.

  1. Entre quins valors ha de mantenir la producció per tal de no tenir pèrdues?

  2. Quants vehicles ha de fabricar per tal d’obtenir el màxim benefici? Quin valor pren aquest benefici màxim?

  1. La producció ha d’estar entre 10 i 110 vehicles per tal de no tenir pèrdues.

  2. Per tal d’obtenir un benefici màxim caldrà fabricar 60 vehicles, cosa que suposarà uns beneficis de 2500€.

Exercici 3.5.5

La temperatura, en graus centígrads, d’un hivernacle al llarg del dia d’avui ha vingut donada per la següent funció: \[ f(x)=-\frac{1}{100}\left( \frac{x^3}{3}-\frac{21x^2}{2}+90x-400 \right) \] amb \(0\le x\le 24\), on \(x=0\) correspon a les 0:00, quan comença el dia, i \(x=24\) a les 0:00 de l’endemà.

  1. Quina temperatura feia en començar el dia?

  2. En quins moments del dia la temperatura ha estat inferior a 4 graus?

  3. Trobeu la temperatura màxima i mínima que s’ha viscut entre les 0:00 i les 24:00.

  1. \[ f(0)=-\frac{1}{100}\left( -400 \right)=4 \] A les 0:00 feia \(4^\circ\)C

  2. Cal resoldre primer l’equació \[ f(x)=4 \] \[\begin{aligned} &-\frac{1}{100}\left( \frac{x^3}{3}-21\frac{x^2}{2}+90x-400\right)=4\Longrightarrow &\frac{x^3}{3}-21\frac{x^2}{2}+90x-\cancel{400}=-\cancel{400}\Longrightarrow\\ &x\left( \frac{x^2}{3}-21\frac{x}{2}+90 \right)=0 \end{aligned}\] d’on \(x=0\) o bé: \[ \frac{x^2}{3}-21\frac{x}{2}+90=0\Longrightarrow 2x^2-63x+540=0\Longrightarrow x=\frac{63\pm\sqrt{63^2-4\cdot 2\cdot 540}}{4} \] i l’equació no té solució real perquè \(63^2-4\cdot2\cdot 540<0\). Per tant, la temperatura no torna a valer \(4^\circ\)C en tot el dia, amb el que es queda, o bé per sobre o bé per sota. Per diferenciar-ho només cal avaluar la funció en algun valor entre \(x=0\) i \(x=24\), per exemple en \(x=1\): \[ f(1)=-\frac{1}{100}\left( \frac{1}{3}-\frac{21}{2}+90x-400 \right)=-\frac{1}{100}\left( \frac{2-63-2940}{6} \right)=4.91 \] Per tant, la temperatura ha estat inferior a \(4^\circ\)C durant tot el dia.

  3. Derivem la funció: \[ f'(x)=-\frac{1}{100}\left( x^2-21x+90 \right)=0\Longrightarrow x=6\text{ i }x=15 \] Calculem la segon derivada per tal de veure si es tracta de mínims o de màxim: \[ f''(x)=-\frac{1}{100}\left( 2x-21 \right) \] \[ f''(6)=-\frac{1}{100}\left( 12-21 \right)>0\qquad f''(15)=-\frac{1}{100}\left( 30-21 \right)<0 \] Per tant, la temperatura va tenir un mínim relatiu a les 6 del matí i un màxim relatiu a les 15:00. Ara, com la funció està limitada a l’interval \([0,24]\), cal comprovar que els valors dels extrems no siguin inferior o superiors als extrems relatius: \[ f(0)=4\qquad f(24)=-3.2 \] Calculem ara quina va ser la temperatura als extrems relatius: \[ f(6)=1.6^\circ \text{C}\qquad f(15)=2.87 \] Per tant, la temperatura màxima es va assolir en començar el dia, a les 0:00, i la mínima en acabar el dia, i va ser de 4\(^\circ\)C i \(-3.2^\circ\)C, respectivament.

Exercici 3.5.6

Un full de paper ha de tenir \(18\) cm\(^2\) d’espai pel text imprès, marges superior i inferior de \(2\) cm d’altura i marges laterals de \(1\) cm d’amplada, com a la figura

Determineu raonadament les dimensions que minimitzen la superfície de paper total.

Imposant que l’àrea de la zona del text sigui 18cm\(^2\) tindrem: \[ (x-2)(y-4)=18 \] Aïllant \(y\) obtindrem: \[ y=\frac{18}{x-2}+4 \] Ara calculem l’àrea total del full en funció de \(x\): \[ A(x)=x\cdot y=x\cdot \left( \frac{18}{x-2}+4 \right)=\frac{18x}{x-2}+4x \] Derivant l’expressió i igualant a 0 obtindrem: \[\begin{aligned} A'(x)&=\frac{18(x-2-18x)}{(x-2)^2}+4=\frac{-36}{(x-2)^2}+4=0\\ &-36=-4(x-2)^2\Longrightarrow-9=-(x-2)^2\Longrightarrow-9=-x^2+4x-4\Longrightarrow x^2-4x-5=0\\ &x=-1 \text{ o }x=5 \end{aligned}\] La solució \(x=-1\) l’hem de descartar perquè no té sentit.
Comprovem ara que \(x=5\)cm correspon a un mínim. Si fem la segona derivada obtenim: \[ A''(x)=\frac{72}{(x-2)^3} \] Si calculem \(A''(5)\) obtenim un nombre positiu, \(A''(5)>0\), i per tant, es tracta d’un mínim.
Trobem ara quant val \(y\): \[ y=\frac{18}{5-2}+4=10 \] Així, les dimensions del paper que minimitzen l’àrea i mantenen els 18cm\(^2\) i els marges són \(5\times 10\).

Exercici 3.5.7

Un estudi ha permès fer una previsió de la població, en milers de persones, d’una ciutat pels següents 20 anys vindrà donada per la funció \[ f(x)=\frac{x^2+28}{x+2} \] on \(0\le x \le 20\) són els anys des del moment actual.

  1. Determineu la població actual.

  2. Determineu si, en algun moment, la població serà inferior a 10.000 habitants. En cas afirmatiu, digueu quan.

  3. Trobeu la població màxima i mínima durant els propers 20 anys.

Exercici 3.5.8

Es desitja construir una caixa a partir d’una làmina de cartró dimensions \(80cm\times 50cm\). Per fer-ho, es retallen les cantonades en forma de quadrat (com a la figura) i s’obté una forma a partir de la qual, plegada convenientment, s’obté la caixa.

Determineu el valor de \(x\) per tal que la caixa tingui volum màxim.

Exercici 3.5.9

Una empresa vitivinícola ha collit un total de 50 tones de raïm que generen un benefici de 1,20€/kg. Cada setmana que passa es deterioren 500 kg de raïm, però el preu de venda del raïm que queda augmenta en 2 cèntims per kg (ja que el raïm es torna més dolç i adequat per a la producció de vi).

  1. Quin seria l’ingrés total si el raïm es vengués després de 6 setmanes d’haver-lo collit?

  2. Quantes setmanes hauríem d’esperar per obtenir el màxim ingrés possible?

  1. Inicialment tenim 50.000 kg de raïm. Cada setmana es perden 500 kg, i el preu augmenta 0,02€ per kg.

    Després de \(t\) setmanes: - La quantitat de raïm serà: \[Q(t) = 50000 - 500t\] - El preu per kg serà: \[P(t) = 1,20 + 0,02t\]

    Els ingressos totals seran: \[I(t) = Q(t) \cdot P(t)\]

    Substituïm: \[I(t) = (50000 - 500t)(1,20 + 0,02t)\]

    Desenvolupem: \[I(t) = 60000 + 1000t - 600t - 10t^2\]

    Simplifiquem: \[I(t) = -10t^2 + 400t + 60000\]

  2. Per maximitzar els ingressos, derivem i igualem a zero: \[I'(t) = -20t + 400 = 0\]

    Resolem: \[t = \frac{400}{20} = 20\]

    Derivem una altra vegada per comprovar la concavitat: \[I''(t) = -20\]

    Com \(I''(t) < 0\), la funció és còncava i, per tant, \(t = 20\) correspon a un màxim.

    Substituïm \(t = 20\) a la funció d’ingressos per calcular el màxim: \[I(20) = -10(20)^2 + 400(20) + 60000\]

    \[I(20) = -4000 + 8000 + 60000 = 64000\]

    **Resposta:** Els ingressos màxims són de 64.000€ i s’obtenen després de 20 setmanes.

Exercici 3.5.10

Una empresa fabrica i ven un producte tecnològic. El cost de producció per unitat és de 20€, i les despeses fixes de producció ascendeixen a 5.000€. S’ha observat que si el preu de venda és de 50€ per unitat, es venen 300 unitats, i per cada euro que es redueix el preu, es venen 10 unitats més.

  1. Troba una funció que expressi el benefici en funció del preu de venda per unitat.

  2. Quin preu de venda maximitza el benefici?

  1. Sigui \(x\) el preu de venda per unitat.

    • El cost de producció per unitat és de 20€.

    • Les despeses fixes són de 5.000€.

    • Si el preu és de 50€, es venen 300 unitats. Per cada euro que es redueix el preu, es venen 10 unitats més.

    El nombre d’unitats venudes es pot expressar com: \[q(x) = 300 + 10(50 - x)\]

    El benefici total serà: \[B(x) = (x - 20)(300 + 10(50 - x)) - 5000\]

    Simplifiquem: \[B(x) = (x - 20)(800 - 10x) - 5000\]

    Desenvolupem: \[B(x) = 800x - 10x^2 - 16000 + 200x - 5000\]

    Agrupem termes: \[B(x) = -10x^2 + 1000x - 21000\]

  2. Per maximitzar el benefici, derivem la funció benefici i igualem a zero: \[B'(x) = -20x + 1000 = 0\]

    Resolem: \[x = \frac{1000}{20} = 50\] Es tracta d’un màxim perquè la segona derivada és negativa: \(B''(x)=-20\).
    Per tant, el preu òptim de venda és de 50€ per unitat.

Exercici 3.5.11

Una empresa de transport ofereix serveis de lliurament de mercaderies. El cost per quilòmetre recorregut per camió és de 1,50€. Per altra banda, l’empresa cobra als clients una tarifa inicial fixa de 100€ i 0,80€ per quilòmetre recorregut.

  1. Troba una funció que representi el benefici en funció de la distància recorreguda (en quilòmetres).

  2. Quina és la distància que maximitza el benefici de l’empresa?

Exercici 3.5.12 · PAU Juny 2016

Una fàbrica de mobles de cuina ven 1000 unitats mensuals d’un model d’armari a \(200\)€ la unitat. Per tal de reduir-ne l’estoc, fa una oferta als compradors i estima que, per a cada euro de reducció en el preu, les vendes mensuals del produte s’incrementaran en \(100\) unitats.

  1. Quantes unitats caldrà vendre per a obtenir un màxim d’ingressos?

  2. A quant pujaran aquests ingressos?

Exercici 3.5.13 · PAU Juny 2015

Un arbre té un volum de \(30m^3\) i, per la qualitat de la fusta, es ven a 50€ per metre cúbic. Cada any l’arbre augment un volum de \(5m^3\). Alhora, la qualitat de la fusta de l’arbre disminueix, i també el preu, que cada any és un euro per metre cúbic més barat. D’aquí a quants anys aconseguirem el màxim d’ingressos per la venda de la fusta de l’arbre? Quina seran aquests ingressos?