$$ \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\RR}{\mathbb{R}} \newcommand{\Nuc}{\text{Nuc}} %\newcommand{\vv}[1]{\overrightarrow{#1}} \newcommand{\vv}[1]{\vec{#1}} \newcommand{\D}{\text{Dom}} \newcommand{\Dom}{\text{Dom}} $$

5. Sistemes d’equacions lineals

Exercicis de matemàtiques de 2n de batxillerat CCSS · Curs 2026–2027.

Els colors indiquen el nivell de dificultat. Les solucions disponibles es poden desplegar sota l’enunciat.

5.1 Resolució de sistemes

Exercici 5.1.1

Solucioneu els següents sistemes d’equacions escrits en forma matricial:

  1. \[\left( \begin{array}{ccc|c} 1&-1&2&0\\ 0&2&3&1\\ 0&0&2&2 \end{array} \right)\]

  2. \[\left( \begin{array}{ccc|c} 1&0&1&0\\ 0&2&0&1\\ 0&0&2&2 \end{array}\right)\]

  3. \[\left( \begin{array}{ccc|c} 1&0&0&-1\\ 1&-1&0&2\\ 2&-2&3&2 \end{array}\right)\]

  4. \[\left( \begin{array}{ccc|c} 0&1&-1&0\\ -1&0&0&0\\ 0&1&1&1 \end{array}\right)\]

5.2 Classificació de sistemes

Exercici 5.2.1

Classifiqueu els següents sistemes:

  1. \[\left. \begin{aligned} x+2y-z=5\\ 2x+z-y-2=0\\ -3z-3x+y-1=-3 \end{aligned} \right\}\]

  2. \[\left. \begin{aligned} x-2y+3z=3\\ 2x+y-z=1\\ -x-3y+4z=2 \end{aligned} \right\}\]

  3. \[\left. \begin{aligned} 2x+y-z=3\\ x-z=2\\ 3x+y-2z=6 \end{aligned} \right\}\]

Exercici 5.2.2

Resoleu i classifiqueu els següents sistemes:

  1. \[ \left. \begin{aligned} 2x+y=5&\\ x+2y=7&\\ 3x-2y=-3& \end{aligned} \right\} \]

  2. \[ \left. \begin{aligned} 2x + 3y - z = -5&\\ x + 2y - z = -5&\\ 5x + y + z = 11& \end{aligned} \right\} \]

  3. \[ \left. \begin{aligned} 2x + y = 1&\\ x - y = 5&\\ 3x - 4y = 18& \end{aligned} \right\} \]

  4. \[ \left. \begin{aligned} 3x + 5y = 1&\\ 2x - y = 2&\\ 2x + 25y = 0& \end{aligned} \right\} \]

  5. \[ \left. \begin{aligned} x + y + z = 1&\\ x-y-z=2& \end{aligned} \right\} \]

  6. \[ \left. \begin{aligned} x + y + 3z = 10&\\ 2x - y + z = 6&\\ x - y - z = 0\\ \end{aligned} \right\} \]

  7. \[ \left. \begin{aligned} x + 7y - 3z - 3 = 0&\\ 4x + y + 2z - 5 = 0&\\ 7x - 5y + 7z - 9 = 0\\ \end{aligned} \right\} \]

  8. \[ \left. \begin{aligned} 12x + 13y + 14z = 80&\\ 8x - 9y - 10z = -40&\\ x + 2y + 3z = 14& \end{aligned} \right\} \]

5.3 Problemes

Exercici 5.3.1 · PAU Juny 2024

Una empresa de mobles disposa de tres fàbriques que produeixen un model de sofà determinat. El mes passat es van fabricar un total de 1.260 unitats d’aquest model i sabem que la segona fàbrica va produir tants sofàs com les altres dues juntes.

  1. Amb aquesta informació, podem determinar quants sofàs va produir cadascuna de les fàbriques? Justifiqueu la resposta. A continuació, calculeu, només amb aquesta informació, quants sofàs va produir la segona fàbrica.

  2. També sabem que un 10% dels sofàs produïts per la primera fàbrica, un 30% dels produïts per la segona i un 20% dels produïts per la tercera eren de color gris, i que en total es van fabricar 284 sofàs d’aquest color. Trobeu quants sofàs va produir cada fàbrica el mes passat

Exercici 5.3.2 · PAU Juny 2023 número 2

Un centre cívic ofereix cursos de francès de nivell principiant, intermedi i avançat. Els alumnes inscrits, si ho desitgen, tenen garantida una plaça per al curs següent. És per això que, abans d’acabar el curs, es fan les reserves de plaça per al curs vinent. De l’alumnat de nivell principiant, un 15 % vol repetir el mateix curs, un 50 % vol fer el curs intermedi i un 5 % vol passar directament al curs de nivell avançat. Pel que fa a l’alumnat de nivell intermedi, un 10 % vol repetir el curs i un 60 % vol fer el curs de nivell avançat. Finalment, de l’alumnat de nivell avançat, un 20 % vol repetir el curs. Cap alumne no demana reserva de plaça per a un curs de nivell inferior i la resta d’alumnes no volen continuar al centre el curs vinent. Aquest any hi ha hagut 100 alumnes matriculats de nivell principiant, 90 de nivell intermedi i 60 de nivell avançat

  1. Calculeu el nombre de places que cal reservar de cada nivell per al curs següent mitjançant un producte de matrius.

  2. El mateix centre cívic ofereix dos horaris de ioga, un de matí i un de tarda. Per al proper curs, el 50 % dels alumnes que actualment fan ioga al matí volen continuar amb el mateix horari, mentre que un 30 % volen passar a l’horari de tarda. La resta d’alumnes de matí no continuaran. Pel que fa als alumnes que actualment fan ioga a la tarda, un 40 % volen passar a l’horari de matí i un 60 % volen continuar fent l’horari de tarda. Si sabem que per al curs següent cal reservar 49 places per a l’horari de matí i 51 places per a l’horari de tarda, quants alumnes hi ha matriculats actualment en cada horari?

Exercici 5.3.3 · PAU setembre 2023

L’empresa d’esports aquàtics DiverAqua ofereix tres tipus d’activitats: esquí aquàtic, caiac i moto aquàtica. El preu per sessió i client de cadascuna d’aquestes activitats és de \(40\) € per l’esquí aquàtic, \(20\) € pel caiac i \(60\) € per la moto aquàtica. Sabem que avui DiverAqua ha venut \(45\) sessions en total. També sabem que el nombre de clients que han escollit esquí aquàtic és el triple dels que han escollit una sessió de caiac. La recaptació total del dia ha estat de \(1.700\) €.

  1. Plantegeu un sistema d’equacions lineals que reculli tota aquesta informació.

  2. Quantes persones han dut a terme cadascuna de les tres activitats?

Exercici 5.3.4 · PAU Juny 2021, número 3

En una festa familiar s’han reunit \(20\) persones. Si comptem el total d’homes i dones junts, observem que n’hi ha el triple que de nens. A més, sabem que, si hi hagués assistit una dona més, el nombre de dones hauria estat igual que el nombre d.homes.

  1. Plantegeu un sistema d’equacions per a esbrinar quants homes, quantes dones i quants nens van assistir a la festa.

  2. Resoleu el sistema de l’apartat anterior i interpreteu-ne el resultat.

Exercici 5.3.5 · PAU Setembre 2021, número 2

La Filomena fa una festa i convida els amics a menjar un pastís. Ha anat a la botiga i ha comprat una dotzena d’ous, una bossa de farina d’ametlla i un paquet de sucre morè. La festa ha estat un èxit i decideix repetir la trobada i tornar a fer el pastís. Torna a la botiga i compra una altra dotzena d’ous i dues bosses de farina d’ametlla. Però un cop a casa s’adona que no té gens de sucre. Torna a la botiga i compra un paquet de sucre morè i també una altra dotzena d’ous. La primera compra li va costar \(6\)€, la segona \(6,5\)€ i la darrera \(3,5\)€.

  1. Plantegeu un sistema d’equacions amb les dades del problema.

  2. Calculeu el preu d’una dotzena d’ous, el d’una bossa de farina d’ametlla i el d’un paquet de sucre morè.

Exercici 5.3.6 · PAU, Juny 2020

Un venedor d’una llibreria de vell cobra, a més a més d’un sou fix, diferents comissions depenent del tipus de llibre que ven. Cobra \(1\)€ per cada còmic, \(1,5\)€ per cada revista i \(2\)€ per cada novel·la.
Ahir, va vendre el doble de revistes que de novel·les i 5 còmics menys que revistes, i va aconseguir en total una comissió de \(30\)€. Quantes publicacions va vendre de cada tipus?

Exercici 5.3.7

En una empresa de tecnologia hi ha un total de 100 empleats dividits en 3 seccions: administració, recerca i publicitat. Tots els empleats de cada secció cobren el mateix sou: 2000 euros els d’administració, 2400 els de recerca i 2800 els de publicitat, cosa que provoca una despesa total mensual de 228.000 euros.

  1. Plantegeu i estudieu (dient si es tracta d’un sistema compatible determinat, indeterminat o bé incompatible) el sistema d’equacions associat. Justifiqueu si es pot determinar el nombre d’empleats de cada secció.

  2. Una reestructuració recent ha obligat a acomiadar \(\frac{1}{10}\) part dels empleats d’administració, \(\frac{1}{6}\) dels de recerca i \(\frac{1}{5}\) dels de publicitat. Aquest fet ha significat un estalvi mensual de 33.200 euros. Determineu quants empleats tenia cada secció abans de la reestructuració.

Exercici 5.3.8

L’estiu passat, una família amb tres fills es va gastar 1500€ en equipament per a un campament esportiu. En concret es va gastar en el més gran 100€ més que quatre vegades el que es va gastar en el fill menor. A més, entre el fill mitjà i el més gran es van gastar \(700\)€. Esbrineu quant es va gastar aquesta família en cadascun dels fills.

Exercici 5.3.9

L’Alexandra necessita aconseguir \(30000\)€ per cursar el proper any un màster molt prestigiós. Com que cap banc li financia la totalitat del preu, necessita recórrer a tres entitats bancàries, A, B i C, qui li ofereixen un tipus d’interès del 5, 7 i 8%, respectivament. La quantitat que va sol·licitar entre les enitats A i B va ser de quatre vegades la de l’entitat C. Si en finalitzar l’any va pagar uns interessos de 1880€, quina quantitat va sol·licitar en cadascuna de les entitats bancàries?

Exercici 5.3.10 · PAU Setembre 2024

Una inversora vol invertir el seu capital en un banc especialitzat en criptomonedes que ofereix diferents dipòsits amb els interessos següents:

  • BTC (bitcoin): 15% anual

  • ETH (ether): 10% anual

  • LNK (link): 13% anual

La inversora vol invertir la mateixa quantitat en bitcoins que entre les altres dues criptomonedes juntes i vol obtenir un rendiment anual global d’un 13%.

  1. Quina ha de ser la relació entre la inversió en ethers i en links?

  2. Si sabem que la inversió total serà de \(150.000\)€, quina quantitat invertirà en cada criptomoneda?

Exercici 5.3.11 · PAU Juny 2024

Una empresa de mobles disposa de tres fàbriques que produeixen un model de sofà determinat. El mes passat es van fabricar un total de 1.260 unitats d’aquest model i sabem que la segona fàbrica va produir tants sofàs com les altres dues juntes.

  1. Amb aquesta informació, podem determinar quants sofàs va produir cadascuna de les fàbriques? Justifiqueu la resposta. A continuació, calculeu, només amb aquesta informació, quants sofàs va produir la segona fàbrica.

  2. També sabem que un 10% dels sofàs produïts per la primera fàbrica, un 30% dels produïts per la segona i un 20% dels produïts per la tercera eren de color gris, i que en total es van fabricar 284 sofàs d’aquest color. Trobeu quants sofàs va produir cada fàbrica el mes passat.

Exercici 5.3.12

Tenim unes quantes monedes d’un euro distribuïdes en tres piles. Passem dotze monedes de la tercera pila a la segona i, a continuació, en passem deu de la segona a la primera. Un cop fet això, les tres piles tenen la mateixa quantitat de monedes.

  1. Amb aquestes dades, podem determinar la quanitat de monedes que hi havia inicialment a cada pila? Raoneu la resposta.

  2. Esbrineu la quantitat de monedes que hi havia inicialment cada pila si sabem que en total hi ha 51 monedes.

Exercici 5.3.13 · PAU Juny 2017

Tenim unes quantes monedes d’un euro distribuïdes en tres piles. Passem dotze monedes de la tercera pila a la segona i, a continuació, en passem deu de la segona a la primera. Un cop fet això, les tres piles tenen la mateixa quantitat de monedes.

  1. Amb aquestes dades, podem determinar la quantiat de monedes que hi havia inicialment a cada pila? Raoneu la resposta.

  2. Esbrineu la quantitat de monedes que hi havia inicialment a cada pila si sabem que en total hi ha \(51\) monedes.