$$ \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\RR}{\mathbb{R}} \newcommand{\Nuc}{\text{Nuc}} %\newcommand{\vv}[1]{\overrightarrow{#1}} \newcommand{\vv}[1]{\vec{#1}} \newcommand{\D}{\text{Dom}} \newcommand{\Dom}{\text{Dom}} $$

4. Matrius

Exercicis de matemàtiques de 2n de batxillerat CCSS · Curs 2026–2027.

Els colors indiquen el nivell de dificultat. Les solucions disponibles es poden desplegar sota l’enunciat.

4.1 Operacions amb matrius

Exercici 4.1.1 · Valors de paràmetres

Trobeu els valors dels paràmetres \(a\) i \(b\) per tal que la matriu \[ A= \begin{pmatrix} a&a-2\\ \end{pmatrix} \]

\(a\) pot ser qualsevol valor real; \(b\) no apareix a la matriu \(A\), per tant no té restricció.

Exercici 4.1.2

Si \(A= \begin{pmatrix} 1&2\\1&0 \end{pmatrix}\) calculeu \(A^{2}\) i \(A^3\).

\(A^2 = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\), \(A^3 = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}\).

Exercici 4.1.3

Si \(A= \begin{pmatrix} 1&1&0 \end{pmatrix}\) i \[ B= \begin{pmatrix} 0\\1\\1 \end{pmatrix} \] calculeu \(A\cdot B\) i \(B\cdot A\).

\(A \cdot B = (1)\), \(B \cdot A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}\).

Exercici 4.1.4 · Propietat distributiva

Comproveu que \(A\cdot \left( B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C\) on \[ A= \begin{pmatrix} 1&-2&8\\6&-2&1\\-3&4&5 \end{pmatrix} \quad B= \begin{pmatrix} 3&2\\-1&5\\6&1 \end{pmatrix} \quad C= \begin{pmatrix} 1&2\\-2&1\\2&3 \end{pmatrix} \]

\(A \cdot (B+C) = AB + AC = \begin{pmatrix} 53 & 0 \\ 26 & 3 \\ 17 & 19 \end{pmatrix}\).

Exercici 4.1.5 · Propietat associativa

Comproveu que \(A\cdot \left( B\cdot C \right)=\left( A\cdot B \right)\cdot C\), on \[ A= \begin{pmatrix} 3&6&-1\\2&1&-2\\2&-2&4 \end{pmatrix} \quad B= \begin{pmatrix} 4&3\\-1&6\\2&1 \end{pmatrix} \quad c= \begin{pmatrix} 1\\-1 \end{pmatrix} \]

\(A(BC) = (AB)C = \begin{pmatrix} 13 \\ -1 \\ 14 \end{pmatrix}\).

Exercici 4.1.6 · Identitats notables

Considereu les matrius \[ A= \begin{pmatrix} 1&-1&0\\ 2&1&3\\ 0&-2&1 \end{pmatrix} \quad B= \begin{pmatrix} 2&0&0\\ 0&1&0\\ 1&1&-1 \end{pmatrix} \]

  1. Comproveu que NO ES COMPLEIXEN les identitats notables. És a dir, que passa el següent: \[\begin{aligned} &\left( A+B \right)^2\neq A^2+2\cdot A\cdot B+B^2\\ &\left( A-B \right)^2\neq A^2-2\cdot A\cdot B+B^2\\ &\left( A+B \right)\cdot \left( A-B \right)\neq A^2-B^2 \end{aligned}\]

  2. Expliqueu per què, en general, les matrius no compleixen les fórmules de les identitats notables.

  1. Es comprova calculant que \(AB \neq BA\), ja que \(AB = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 7 & 4 & -3 \\ 1 & -1 & -1 \end{pmatrix}\) i \(BA = \begin{pmatrix} 2 & -2 & 0 \\ 2 & 1 & 3 \\ 2 & 2 & 2 \end{pmatrix}\).

  2. Perquè el producte de matrius no és commutatiu.

Exercici 4.1.7 · PAU, Juny 2019, número 1

Resoleu les qüestions següents.

  1. Considereu la matriu \(M= \begin{pmatrix} 2&5\\2&-1 \end{pmatrix}\). Calculeu els valors de \(a\) i \(b\) per tal que es verifiqui la igualtat \(M^2+a\cdot M+b\cdot I=\bf{0}\), en què \(I\) és la matriu identitat d’ordre 2 i \(\bf{0}= \begin{pmatrix} 0&0\\0&0 \end{pmatrix}\) és la matriu nul·la.

  2. Considereu la matriu \(A= \begin{pmatrix} 0&1\\1&-1 \end{pmatrix}\). Trobeu totes les matrius \(B\) que commuten amb la matriu \(A\), és a dir, que compleixen que \(A\cdot B=B\cdot A\).

  1. \(a = -1, b = -12\).

  2. \(B = \begin{pmatrix} x & y \\ y & x-y \end{pmatrix}\) per a qualsevol \(x, y \in \mathbb{R}\).

Exercici 4.1.8 · PAU Juny 2016

Considereu les matrius \(A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 3 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}\) i \(B = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix}\).

  1. Calculeu les matrius \(A \cdot B\) i \(B \cdot A\).

  2. Justifiqueu si en algun cas és possible calcular \(P^2\) quan \(P\) és una matriu no quadrada.

  1. \(AB = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & -2 & 3 \\ 5 & -3 & 8 \end{pmatrix}\), \(BA = \begin{pmatrix} 9 & -2 \\ 6 & -2 \end{pmatrix}\).

  2. No, el producte \(P \cdot P\) només és possible si el nombre de columnes de la primera és igual al de files de la segona. Si \(P\) és \(m \times n\), cal \(n=m\).

Exercici 4.1.9 · PAU Juny 2015

Siguin les matrius \(A = \begin{pmatrix} 1 & a \\ 2 & -a \end{pmatrix}\) i \(B = \begin{pmatrix} b & c \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\).

  1. Calculeu les matrius \(A + B\) i \(A \cdot B\).

  2. Determineu els valors de \(a\), \(b\) i \(c\) que compleixen que \(A + B = A \cdot B\).

  1. \(A+B = \begin{pmatrix} 1+b & a+c \\ 3 & 1-a \end{pmatrix}\), \(AB = \begin{pmatrix} b+a & c+a \\ 2b-a & 2c-a \end{pmatrix}\).

  2. \(a = 1, b = 2, c = \frac{1}{2}\).

Exercici 4.1.10 · PAU Juny 2017

Considereu les matrius \[A = \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 5 & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ m & n \end{pmatrix},\] en què \(m\) i \(n\) són dos nombres reals.

  1. Comproveu que es compleix la igualtat \((A - B) \cdot (A + B) = A^2 - B^2\).

  2. Determineu \(m\) i \(n\) de manera que les matrius \(B\) i \(C\) commutin, és a dir, \(B \cdot C = C \cdot B\).

  1. Es compleix perquè \(A\) i \(B\) commuten (\(AB=BA\)).

  2. \(m=1, n=0\).

Exercici 4.1.11 · PAU Setembre 2018

Resoleu les preguntes següents:

  1. Trobeu les matrius \(A\) i \(B\) que compleixen que \[A - 2B = \begin{pmatrix} 1 & 13 \\ 0 & -5 \end{pmatrix}, \quad 2A + 3B = \begin{pmatrix} 2 & -9 \\ 7 & 4 \end{pmatrix}.\]

  2. Determineu el valor de \(a\), \(b\), \(c\) i \(d\) perquè es verifiqui que \[\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ a & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & c \\ 2 & -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b & -5 \\ d & -7 \end{pmatrix}.\]

  1. \(A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 0 & -5 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\).

  2. \(a=0.5, b=4, c=3, d=2\).

Exercici 4.1.12 · Commutativitat paràmetres

Considereu les dues matrius: \[A = \begin{pmatrix} 1 & a & b \\ 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ a & 1 & 0 \\ b & c & 1 \end{pmatrix}.\] Trobeu els valors dels paràmetres \(a\) i \(b\) per tal que les dues matrius commutin.

\(a = 0, b = 0, c = 0\).

4.2 Potències

Exercici 4.2.1 · Potències cícliques

Sigui \(A\) la matriu \[ A= \begin{pmatrix} 0&-1\\1&0 \end{pmatrix} \]

  1. Calculeu \(A^{50}\) i \(A^{97}\)

  2. Trobeu els valors \(a\) i \(b\) pels quals la matriu \(A\) commuta amb la matriu \(\begin{pmatrix} a&0\\b&1 \end{pmatrix}\)

  1. \(A^{50} = -I = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\), \(A^{97} = A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\).

  2. \(a=1, b=0\).

4.3 Determinants

Exercici 4.3.1

Calculeu els següents determinants:

  1. \[\begin{vmatrix} 2 & -3 & 1 \\ 4 & 0 & -2 \\ 1 & 5 & 3 \end{vmatrix}\]

  2. \[\begin{vmatrix} 5 & 2 & 9 \\ 0 & -3 & 4 \\ 0 & 0 & 2 \end{vmatrix}\]

  3. \[\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 5 & 7 & 9 \end{vmatrix}\]

4.4 Càlcul del rang

Exercici 4.4.1 · Rang de matrius

Calcula el rang de les següents matrius utilitzant el mètode de Gauss (esglaonant la matriu per convertir-la en triangular superior):

  1. \(A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 3 & 4 & 2 \end{pmatrix}\)

  2. \(B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}\)

  3. \(C = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & -1 \\ 2 & 4 & 6 & -2 \\ -1 & 0 & 1 & 5 \end{pmatrix}\)

  4. \(D = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 2 & 3 \\ -1 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}\)

  5. \(E = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & 1 & 4 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\)

  6. \(F = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 2 & 0 & -2 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}\)

  1. Resolució detallada:

    \[A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 3 & 4 & 2 \end{pmatrix}\]

    Primer pas: fem zeros a la primera columna (\(F_2\) i \(F_3\)):

    \[\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 3 & 4 & 2 \end{pmatrix} \begin{matrix} \phantom{\xrightarrow{F_2 - 2F_1}} \\ \xrightarrow{F_2 - 2F_1} \\ \xrightarrow{F_3 - 3F_1} \end{matrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}\]

    Segon pas: fem zero a la segona columna (\(F_3\)):

    \[\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{matrix} \phantom{\xrightarrow{F_3 - F_2}} \\ \phantom{\xrightarrow{F_3 - F_2}} \\ \xrightarrow{F_3 - F_2} \end{matrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\]

    Com que la matriu té 2 files no nul·les: \(\text{Rang}(A) = 2\).

  2. \(\text{Rang}(B) = 3\).

  3. \(\text{Rang}(C) = 2\).

  4. \(\text{Rang}(D) = 3\).

  5. \(\text{Rang}(E) = 2\).

  6. \(\text{Rang}(F) = 3\).

4.5 Matriu inversa

Exercici 4.5.1 · Determinant variable x

Considereu la següent matriu: \[ A= \begin{pmatrix} 1&x&-1\\2&2x&x\\1&-2&x \end{pmatrix} \]

  1. Trobeu els valors de \(x\) pels quals la matriu \(A\) és invertible (no cal que trobeu la inversa!).

  2. Trobeu els valors de \(x\) que fan màxim el seu determinant.

  1. \(\det(A) = -3x^2+2x-4\). Mai s’anul·la (no té arrels reals). Invertible per a tot \(x\).

  2. El màxim és en el vèrtex \(x = -b/2a = -2/-6 = 1/3\).

Exercici 4.5.2 · PAU, juny 2020, número 5

Considereu les matrius \(A= \begin{pmatrix} 0&1\\-1&-1 \end{pmatrix}\) i \(B= \begin{pmatrix} 2&1\\1&2 \end{pmatrix}\).

  1. Comproveu que es compleix \(A^{-1}=A^2\).

  2. Resoleu l’equació matricial \(A\cdot X+B=I\), en què \(I\) és la matriu identitat d’ordre 2.

  1. Es comprova calculant \(A^3 = I\).

  2. \(X = A^{-1}(I-B) = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}\).

Exercici 4.5.3 · PAU setembre 20, número 1

Considerem la matriu \(A= \begin{pmatrix} x&-2\\5&-x \end{pmatrix}\). Estudieu per a quins valors de \(x\) la matriu inversa de la matriu \(A\) coincideix amb la seva oposada, és a dir, es compleix que \(A^{-1}=-A\).

Es compleix quan \(\det(A)=1\), per tant \(x^2-10=1 \Rightarrow x = \pm 3\).

Exercici 4.5.4 · PAU Juny 2018

Considereu les matrius \(M\) de la forma \(M = \begin{pmatrix} 2 & a \\ -a & 0 \end{pmatrix}\), en què \(a\) és un nombre real.

  1. Determineu \(a\) de manera que \(M^2 = \begin{pmatrix} 3 & 2a \\ -2a & -1 \end{pmatrix}\).

  2. Determineu \(a\) de manera que \(M^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}\), en què \(M^{-1}\) representa la matriu inversa de \(M\). És a dir, \(M \cdot M^{-1} = I\), en què \(I\) és la matriu identitat d’ordre 2.

  1. \(a = \pm 1\).

  2. \(a = 0.5\).

4.6 Equacions matricials

Exercici 4.6.1 · Equacions matricials bàsiques

Resoleu les següents equacions matricials:

  1. \[A X = B\] on: \[A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 7 & 6 \end{pmatrix}\]

  2. \[A X + B = C\] on: \[A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}\]

  3. \[\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \mathbf{X} \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 7 & 4 \end{pmatrix}\]

  4. \[\mathbf{X} + \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \mathbf{X} = \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}\]

  1. \(X = \begin{pmatrix} 1.6 & 1.2 \\ 1.8 & 1.6 \end{pmatrix}\).

  2. \(X = A^{-1}(C-B) = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 3 & 3 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & -5 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\).

  3. \(X = A^{-1} \cdot D \cdot B^{-1} = \begin{pmatrix} -5 & 6 \\ 4 & -2 \end{pmatrix}\).

  4. \((I+A)X = C \Rightarrow X = \begin{pmatrix} 1.4 & 1.3 \\ 0.2 & 1.1 \end{pmatrix}\).

Exercici 4.6.2 · Miscel·lània d’equacions

Resoleu les següents equacions matricials:

  1. Troba la matriu \(X\) tal que: \[A X = B, \quad A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}.\]

  2. Resol \(X\) en l’equació: \[X A = B, \quad A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 5 & 7 \end{pmatrix}.\]

  3. Si \(A X + C = D\), troba \(X\): \[A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad D = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}.\]

  4. Resol l’equació \(AXB = C\): \[A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}.\]

  5. Troba \(X\) tal que \(X^T A = B\): \[A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 7 \end{pmatrix}.\]

  6. Resol l’equació \(X^2 = A\): \[A = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 9 \end{pmatrix}.\]

  7. Si \(A X + X A = B\), troba \(X\): \[A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 2 & 6 \\ 4 & 6 \end{pmatrix}.\]

  8. Resol l’equació \(X + A = B\): \[A = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 8 & 7 \\ 6 & 5 \end{pmatrix}.\]

  9. Troba \(X\) tal que \(A X A = B\): \[A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 8 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.\]

  10. Resol l’equació \(A^{-1} X A = B\): \[A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.\]

  1. \(X = A^{-1}B = \begin{pmatrix} -2 & -3 \\ 2.5 & 4 \end{pmatrix}\).

  2. \(X = BA^{-1} = \begin{pmatrix} -1 & 1.5 \\ 1 & -0.5 \end{pmatrix}\).

  3. \(X = A^{-1}(D - C) = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}\).

  4. \(X = A^{-1}CB^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\).

  5. \(X = B A^{-1} = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 1.5 & -0.5 \end{pmatrix}\).

  6. \(X = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}\).

  7. \(X = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\).

  8. \(X = B - A = \begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\).

  9. \(X = A^{-1}BA^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\).

  10. \(X = A B A^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}\).

Exercici 4.6.3

La solució proposada per ChatGPT a l’exercici 4.6.1 d) no és correcta. Expliqueu raonadament on és l’errada.

L’error és que ChatGPT ha tractat \(X + AX\) com si fos \((I+A)X\) però ha fet malament la suma de la identitat o ha invertit incorrectament la matriu resultant. (Nota: Depèn de la resposta específica del xat, però normalment l’error sol ser no treure factor comú per l’esquerra correctament o oblidar la matriu Identitat).

Exercici 4.6.4 · PAU Juny 2017

Considereu les matrius \(A = \begin{pmatrix} a & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\) i \(B = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\).

  1. Calculeu el valor del paràmetre \(a\) per al qual es compleix que \(A \cdot B = B \cdot A\).

  2. Per al valor \(a = 2\), trobeu una matriu \(X\) tal que \(A \cdot X \cdot A = B\).

  1. \(a = 1\).

  2. \(X = A^{-1} B A^{-1} = \begin{pmatrix} 0.5 & -0.75 \\ 0 & 0.25 \end{pmatrix}\).

4.7 Problemes amb matrius

Exercici 4.7.1 · PAU 2024 sèrie 1

Diem que una matriu és màgica si la suma dels elements de cada fila i de cada columna té com a resultat en tots els casos el mateix valor, que s’anomena constant màgica.

El Martí ha trobat una manera de crear matrius màgiques triant tres nombres qualssevol i multiplicant-los per les matrius següents: \[A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \quad \text{i} \quad C = \begin{pmatrix} 0 & 3 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 2 \end{pmatrix}.\]

El Martí proposa als seus amics que cadascú construeixi la seva matriu màgica particular a partir del dia del seu aniversari, del mes del seu aniversari i de la seva edat.

  1. Sabent que el Martí va néixer el 10 de març i que té 18 anys, calculeu \(10 \cdot A + 3 \cdot B + 18 \cdot C\). Comproveu que la matriu resultant és màgica i indiqueu quina és la seva constant màgica (el valor comú de la suma de les files i les columnes).
    [1,25 punts]

  2. El Martí ha calculat la matriu màgica del seu pare, que fa l’aniversari el 8 de setembre, i ha obtingut que la seva constant màgica és 153. Quina edat té el pare del Martí?
    [1,25 punts]

Exercici 4.7.2 · PAU 2024 sèrie 5

La Laia, una aficionada a l’artesania feta amb fusta, va muntar un petit negoci fa un parell de mesos. Al seu taller, elabora tres tipus de productes amb fusta reciclada, que després posa a la venda: noms personalitzats, paraules decoratives i baldufes.

Durant el primer mes, la Laia va tenir tres clients: el primer va adquirir 2 noms personalitzats i 3 baldufes; el segon va adquirir 1 nom personalitzat, 2 paraules decoratives i 5 baldufes, i el tercer només va comprar 4 baldufes.

  1. Construïu la matriu \(3 \times 3\) corresponent a les vendes, en què les files representin els clients (\(C1\), \(C2\) i \(C3\)) i les columnes representin els productes que van adquirir. Si el primer mes la Laia va vendre els noms personalitzats (\(N\)) a 20 € cadascun, les paraules decoratives (\(P\)) a 18 € cadascuna i les baldufes (\(B\)) a 6 € cadascuna, calculeu quant va facturar a cada client per la seva comanda mitjançant un producte de matrius.

  2. Per tal d’incentivar les vendes, el segon mes la Laia va aplicar un descompte al preu de venda de tots els productes. Durant aquest mes, també va tenir tres clients i va obtenir la matriu de vendes següent: \[\begin{array}{c@{\quad}l} \begin{matrix} N & \hspace{0.2cm} P & \hspace{0.2cm} B \end{matrix} & \\ \begin{pmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} & \begin{matrix} C1 \\ C2 \\ C3 \end{matrix} \end{array}\] Si durant el segon mes la Laia va facturar 78 € al primer client, 52 € al segon client i 62 € al tercer client, a quin preu va vendre cada producte?

Exercici 4.7.3 · PAU 2024 sèrie 3

Un cinema disposa de dues sales en les quals es projecten dues pel·lícules diferents. La taula següent mostra el nombre de persones que han assistit a la projecció de cada pel·lícula la darrera setmana, agrupades per franges d’edat:

Franja d’edat Pel·lícula de la sala 1 Pel·lícula de la sala 2
Menys de 18 anys 122 620
18-65 anys 930 433
Més de 65 anys 384 281

La informació de la taula anterior es registra amb la forma matricial \(A = \begin{pmatrix} 122 & 620 \\ 930 & 433 \\ 384 & 281 \end{pmatrix}\).

  1. Considerant la matriu \(B = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\), calculeu el producte \(A \cdot B\). Expliqueu el significat de la matriu obtinguda.

    Sabem que una entrada per a persones de menys de 18 anys costa 5 €, una entrada per a adults d’entre 18 i 65 anys costa 8,5 € i una entrada per a adults de més de 65 anys costa 6,5 €. Trobeu una matriu \(C = \begin{pmatrix} a & b & c \end{pmatrix}\) de manera que el producte \(C \cdot A \cdot B\) doni els ingressos setmanals totals obtinguts per la venda d’entrades, i calculeu els ingressos corresponents a aquesta setmana.

  2. Al cap d’uns mesos, el registre setmanal és donat per la matriu \[D = \begin{pmatrix} 84 & 23 \\ 338 & x \\ 256 & 408 \end{pmatrix},\] però hi ha un valor que s’ha esborrat, el del nombre de persones entre 18 i 65 anys que han assistit a la segona pel·lícula, i l’hem denotat per \(x\). Calculeu el valor de \(x\) sabent que els ingressos totals d’aquella setmana van ser de 12.076 €.

Exercici 4.7.4 · PAU 2025 sèrie 0

Una pagesa contracta una empresa de conductors perquè li portin els tractors fins als pobles on han de treballar. Suposem que els conductors fan tot el trajecte a una velocitat constant.

Trieu una opció (opció A o opció B) i responeu les preguntes de l’opció triada: OPCIÓ A

  1. Suposem que un poble, al qual s’ha de dur un tractor, es troba a 300 km de distància. Sabem que el gasoil que fa servir el tractor costa 1,96 € per litre i que el conductor cobra 14,70 € l’hora. Sabem també que el consum de gasoil (en litres per hora), en funció de la velocitat \(x\) (en quilòmetres per hora), és donat per la funció \[G(x) = 5 + \frac{x^2}{98}.\] Comproveu que la funció que dona el cost total del viatge en funció de la velocitat del tractor es pot expressar com a \(C(x) = 300 \left( \frac{24,5}{x} + 0,02x \right)\).

  2. Suposem que la pagesa hagi d’enviar tractors a poblacions que es troben a 100, 200 i 300 km de distància. Aquests tractors poden fer el trajecte a 35, 25 o 15 km/h. Construïu una matriu que contingui el cost total del viatge segons la distància a la qual es troba el poble (columnes) i segons la velocitat a la qual circula el tractor (files). Si en total ha de portar 3 tractors a una localitat que es troba a 100 km, 3 tractors a una localitat que es troba a 200 km i 2 tractors a una localitat que es troba a 300 km calculeu, mitjançant un producte de matrius, quant li costarà tot plegat segons si els tractors circulen a 35, 25 o 15 km/h.

Exercici 4.7.5 · PAU 2024 sèrie 1

Al Congrés Català d’Educació Matemàtica (C2EM), que se celebrarà a Lleida el proper mes de juliol, hi assistiran docents d’universitat, d’educació secundària i d’educació infantil i primària.

A hores d’ara, un 10 % dels docents inscrits són d’universitat, un 50 % són de secundària i la resta són d’infantil i primària. D’altra banda, un 40 % dels docents inscrits d’universitat, un 52 % dels docents inscrits de secundària i un 65 % dels docents inscrits d’infantil i primària són dones.

Trieu UNA de les dues opcions (A o B) i responeu a les qüestions que s’hi plantegen.

OPCIÓ B

  1. L’organització del Congrés vol donar un detall diferent a cada grup de docents: el detall de tipus \(D1\) per al grup de docents universitaris, el detall de tipus \(D2\) per al grup de docents de secundària i el detall de tipus \(D3\) per al grup de docents d’infantil i primària. Han demanat pressupost a tres empreses diferents, que anomenarem \(E1\), \(E2\) i \(E3\). La matriu següent ens dona els preus unitaris, en euros, de cada detall de tipus \(D1\), \(D2\) i \(D3\) (files) segons les empreses \(E1\), \(E2\) i \(E3\) (columnes): \[\begin{pmatrix} 1,25 & 1 & 1,25 \\ 0,75 & 1 & 1,15 \\ 1 & 0,85 & 0,80 \end{pmatrix}\] La comanda de l’organització es pot representar com un vector fila \((x, y, z)\), en què \(x\) representa la quantitat de detalls de tipus \(D1\), \(y\) és la quantitat de detalls de tipus \(D2\) i \(z\) correspon a la quantitat de detalls de tipus \(D3\) que cal comprar.

    L’organització treballa amb la previsió que al Congrés hi assistiran 1.000 persones en total i que els percentatges de cada grup de docents respecte al total seran els mateixos que els que hi ha en aquest moment de la inscripció.

    Calculeu mitjançant un producte de matrius quina empresa ofereix el millor preu i quin és aquest preu.

Exercici 4.7.6 · PAU 2025 sèrie 4

Una fàbrica es dedica a elaborar pasta. Tot el procés de producció es pot resumir en tres etapes:

  1. Compra de matèries primeres. Per a elaborar la pasta, l’empresa ha de comprar oli, farina i sal de bona qualitat. La compra la pot fer a tres proveïdors diferents. El primer proveïdor ven l’oli a 3 €/L, la farina a 0,6 €/kg i la sal a 1 €/kg. El segon proveïdor ven l’oli a 3,5 €/L, la farina a 1 €/kg i la sal a 0,7 €/kg. Finalment, el tercer proveïdor ven l’oli a 2,5 €/L, la farina a 0,8 €/kg i la sal a 0,9 €/kg.

  2. Elaboració, empaquetament i control de qualitat. Es fabrica i s’envasa la pasta. Posteriorment, es comprova que la pasta estigui ben feta i envasada correctament, i es verifica que els paquets pesin 500 g de mitjana.

  3. Venda. L’estratègia de venda i el preu dels paquets es determinen fent un estudi de mercat.

Trieu UNA de les dues opcions (A o B) i responeu a les qüestions que s’hi plantegen.

OPCIÓ A

  1. L’empresa necessita 300 litres d’oli, 700 kg de farina i 25 kg de sal. Escriviu aquesta informació juntament amb els preus per producte de cada proveïdor en forma matricial (deixant ben clar el que representen les files i les columnes) i calculeu mitjançant un producte de matrius el cost total de la comanda per cada proveïdor. Quin dels tres proveïdors és el més econòmic?