$$ \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\RR}{\mathbb{R}} \newcommand{\Nuc}{\text{Nuc}} %\newcommand{\vv}[1]{\overrightarrow{#1}} \newcommand{\vv}[1]{\vec{#1}} \newcommand{\D}{\text{Dom}} \newcommand{\Dom}{\text{Dom}} $$

7. Distribucions de probabilitat

Exercicis de matemàtiques de 2n de batxillerat CCSS · Curs 2026–2027.

Els colors indiquen el nivell de dificultat. Les solucions disponibles es poden desplegar sota l’enunciat.

7.1 Indicadors estadístics (repàs)

Exercici 7.1.1

Un grup de 50 estudiants d’un institut ha participat en una enquesta per determinar quants dies practiquen esport a la setmana. Les dades recollides són les següents:

\[\begin{array}{|c|c|} \hline \textbf{Dies d'esport a la setmana} & \textbf{Nombre d'alumnes} \\ \hline 0 & 6 \\ 1 & 10 \\ 2 & 12 \\ 3 & 8 \\ 4 & 6 \\ 5 & 4 \\ 6 & 3 \\ 7 & 1 \\ \hline \end{array}\]

  1. Freqüències i distribució

    1. Calcula la freqüència absoluta acumulada.

    2. Calcula la freqüència relativa de cada categoria.

    3. Representa les dades en una taula completa amb totes les freqüències (absoluta, relativa i acumulada).

  2. Representació gràfica

    1. Crea un histograma que representi aquestes dades.

    2. Representa les dades en un diagrama de línies (polígon de freqüències).

  3. Mesures de centralització

    1. Calcula la mitjana del nombre de dies que els alumnes practiquen esport.

    2. Determina la mediana.

    3. Quin és el valor modal (la moda)?

  4. Mesures de dispersió

    1. Calcula la desviació típica del nombre de dies que practiquen esport.

    2. Quin és el rang de les dades?

  5. Interpretació

    1. Quin percentatge d’alumnes practica esport almenys 3 dies a la setmana?

    2. Si l’institut vol fer una campanya per fomentar l’esport entre els alumnes, quins resultats poden utilitzar per justificar aquesta acció?

Exercici 7.1.2

El nombre d’habitacions ocupades en un hotel de 8 habitacions en temporada baixa i probabilitats respectives es donen a la taula

\(x_i\) \(0\) \(1\) \(2\) \(3\) \(4\)
\(P(x_i)\) \(0.2\) \(0.3\) \(0.35\) \(0.1\) \(0.05\)

7.2 Variable aleatòria i distribucions

Exercici 7.2.1

Un estudiant fa quatre exàmens que pot aprovar o suspendre. Es considera la variable aleatòria \(x=\)“nombre d’exàmens aprovats”. Aleshores,

  1. Calculeu l’espai mostral d’aquest experiment

  2. Calculeu \(P(x=0)\), \(P(x=1)\), \(P(x=2)\) \(P(x=3)\).

Exercici 7.2.2

Un examen de geologia consta de 8 preguntes d’opció múltiple. Cada pregunta disposa de quatre possibles respostes, de les quals només una és la correcta. Per aprovar l’examen cal respondre correctament almenys a 5 preguntes. Si un estudiant no sap les respostes i les respon a l’atzar:

  1. Trobeu la probabilitat que respongui a \(5\) preguntes correctament.

  2. Trobeu la probabilitat que tregui un \(9\) o un \(10\).

7.3 Distribució normal

Exercici 7.3.1

Determineu les probabilitats següents en la distribució \(N(0,1)\):

  1. \(P(z\le 1.26)\)

  2. \(P(z>1.26)\)

  3. \(P(z<-0.24)\)

  4. \(P(0.21\le z\le 1.35)\)

  5. \(P(-1.23<z<2.16)\)

  1. \(P(z\le 1.26)=0.8962\)

  2. \(P(z>1.26)=0.1038\)

  3. \(P(z<-0.24)=0.4052\)

  4. \(P(0.21\le z\le 1.35)=0.3283\)

  5. \(P(-1.23<z<2.16)=0.8753\)

Exercici 7.3.2

Una variable aleatòria \(x\) segueix una distribució normal de mitjana \(\mu=12\) i desviació típica \(\sigma=2\). Calculeu les següents probabilitats:

  1. \(P(x<15)\)

  2. \(P(x\ge 10)\)

  3. \(P(0\le x\le 14)\)

  1. \(P(x<15)=0.9332\)

  2. \(P(x\ge 10)=0.8413\)

  3. \(P(0\le x\le 14)=0.7745\)

Exercici 7.3.3

Una màquina talla taps de suro naturals per a ampolles de vidre. S’ha comprovat que el diàmetre dels taps de suro segueix una distribució normal de mitjana \(24\)mm i desviació típica \(0.1\)mm.

  1. Quina és la probabilitat que un tap de suro escollit a l’atzar tingui un diàmetre superior a \(23.8\)mm?

  2. El control de qualitat només accepta els taps de suro amb un diàmetre comprès entre \(23.8\) i \(24.1\) mm, i descarta la resta. Quin percentatge de taps de suro descartarà el control de qualitat?

Exercici 7.3.4

La quantitat de cafè que dispensa una màquina de cafè segueix una distribució normal de mitjana \(20\) cl i variància \(0.25\text{cl}^{2}\). Recordeu que la variància és el quadrat de la desviació típica (variància \(=\sigma^2\))

  1. Determineu la probabilitat que la màquina dispensi un cafè entre \(19\) i \(21\) cl.

  2. Trobeu la capacitat mínima del got perquè només es vessi el cafè un \(5\%\) de les vegades.

7.4 Teorema central del límit i intervals de confiança

Exercici 7.4.1

Sabem que l’alçada d’una població segueix una llei norma de mitjana \(1.70\) i desviació típica \(0.2\). Agafem una persona l’atzar. Construïu un interval de confiança del \(95\%\). És a dir, digueu entre quins valors es trobarà l’alçada d’aquesta persona amb una seguretat del \(95\%\). Feu servir que \(P(-1.96\le z\le 1.96)=0.95\).

Tenim una variable aleatòria, \(x\), de mitjana \(\mu\) i desviació típica \(\sigma\). Ens preguntem per la mitjana d’una mostra de mida \(n\) (mitjana mostral). Aleshores:

  • Si \(x\) segueix una llei normal \(x\sim N(\mu,\sigma)\), aleshores la mitjana segueix una llei normal: \[ \bar{x}\sim N\left( \mu,\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right) \]

  • Si \(x\) no segueix una llei normal, aleshores, si \(n\) és prou gran, la mitjana també segueix una llei normal: \[ \bar{x}\sim N\left( \mu,\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right) \]

Exercici 7.4.2

L’estada a l’hospital és d’una mitjana de \(6.5\) dies i té una desviació típica de \(2.5\) dies.

  1. En una mostra aleatòria de \(60\) pacients, quina és la probabilitat que l’estada mitjana hospitalària no superi els 7 dies?

  2. Si la mostra hagués estat de \(10\) pacients, quines suposicions caldria haver fet per resoldre el problema?

Exercici 7.4.3

El pes de l’equipatge dels passatgers d’un avió es distribueix segons una llei normal de mitjana \(20\) Kg i una desviació típica de \(4\) Kg. Si la càrrega total per equipatges que admet l’avió és de \(2100\) Kg, quina és la probabilitat que se superi el pes límit quan viatgen \(100\) passatgers?

Exercici 7.4.4

Per funcionar, una màquina necessita una vàlvula de la qual hi ha 300 unitats en existències. La durada de les vàlvules té una mitjana de \(5\) minuts i una desviació típica de \(1\) minut. Si s’avaria una vàlvula , és reemplaçada automàticament per una altra. Quina probabilitat té la màquina de funcionar durnat, com a mínim, \(25\) hores?

Exercici 7.4.5

Una màquina s’encarrega d’omplir capses de cereals. La quantitat de cereals dipositada a cada capses segueix una distribució normal amb una desviació típica de \(25\) g. Quin hauria de ser el pes mitjà del contingut de les capses si, e una ostra aleatòria de \(100\) capses, la probabilitat que el pes mitjà sigui suiperior a \(505\) g és de \(0.023\)?

Exercici 7.4.6

Els envasos d’una marca determinada de iogurts indiquen que contenen de mitjana 150 grams de iogurt. Hem comprat deu iogurts, n’hem pesat el contingut i hem obtingut les dades següents (en grams) \[ 148, 149, 147, 146, 149, 146, 149, 148, 149, 149. \]

  1. Construïu un interval de confiança del 95% per a la mitjana del pes dels iogurts, suposant que el pes segueix una distribució normal amb una desviació típica de 3 grams. (Recordeu que si \(Z\) segueix una distribució Normal (0,1) aleshores \(P(-1.96 \le Z \le 1.96) = 0.95\).)

  2. A partir del resultat obtingut en l’apartat anterior podem afirmar que la informació que hi ha a l’etiqueta és errònia? Justifiqueu la resposta.

  1. Segons la informació que ens donen l’interval de confiança pel \(95\%\) seria \[ [\mu_{\bar{x}}-1.96\cdot \sigma_{\bar{x}},\mu+1.96\cdot \sigma_{\bar{x}}]= [144.12,155.88] \] on \[ \mu_{\bar{x}}=150\qquad \sigma_{\bar{x}}=\frac{\sigma_x}{\sqrt{n}}=\frac{3}{\sqrt{10}}=0.9486 \] Substituint obtenim l’interval \([148.14,151.85]\). És a dir, podem dir que la mitjana d’una mostra de mida \(10\) es trobarà dins aquest interval amb una confiança del \(95\%\).

  2. Per veure si la informació que ens han proporcionat és correcta, calculem la mitjana del pes dels iogurts que hem trobat: \[ . \bar{x}=\frac{148+ 149+ 147+ 146+ 149+ 146+ 149+ 148+ 149+ 149}{10}=148 \] Aquest valor es troba fora de l’interval que hem calculat. Per tant, podríem afirmar amb un error del \(5\%\) que la informació que ens han donat no és certa.

Exercici 7.4.7

En una mostra aleatòria simple de 200 treballadors d’una multinacional es va trobar que el salari mitjà anual era de \(25100\) € amb una desviació típica de \(3000\) €. Construeix un interval de confiança per a la mitjana poblacional, és a dir, el salari mitjà de tots els treballadors, amb un \(95\%\) de nivell de confiança. Feu servir que \(P(-1.96<z<1.96)=0.95\) si \(z\sim N(0,1)\).

El salari dels treballadors no té perquè seguir una normal. No obstant, com la mostra és prou gran, pel teorema central del límit la mitjana d’una mostra de mida \(200\) s’aproxima a una normal de mitjana \(\mu_{\bar{x}}=25100\) i desviació típica \(\sigma_{\bar{x}}=\frac{3000}{\sqrt{200}}=212.13\). L’interval de confiança del \(95\%\) per la mitjana d’una mostra de \(200\) treballadors serà: \[ \left[ 25100-1.96\cdot 212.13,25100+1.96\cdot 212.13 \right]=\left[ 24684.22,25515.77 \right] \]

Exercici 7.4.8

La producció, en quilograms, de taronges en una població mallorquina segueix una distribució normal amb una desviació típica de 2kg. S’agafa una mostra de 10 tarongers la producció dels quals en quilograms és \(30, 25, 4, 70, 45, 60, 21, 32, 9\) i \(47\). Calcula un interval de confiança al \(97\%\) per estimar la producció mitjana de taronges per arbre. Feu servir que \(P(-2.17<z<2.17)=0.97\) si \(z\sim N(0,1)\).

Sabem que la producció segueix una normal amb \(\sigma=2\) però en desconeixem la mitjana. Fem una estimació de la mitjana a partir de la mostra: \[ \mu=\frac{30+ 25+ 4+ 70+ 45+ 60+ 21+ 32+ 9 + 47}{10}=34.3\text{ Kg} \] Així, un interval de confiança del \(97\%\) per la mitjana de taronges serà: \[ [34.3-2.17\cdot \frac{2}{\sqrt{10}},34.3+2.17\cdot \frac{2}{\sqrt{10}}]=[32.92,35.67] \]

Exercici 7.4.9

Una mostra de \(49\) automòbils d’una empresa de lloguer va donar com a resultat que, de mitjana, recorren \(140\) km al dia. Per estudis anteriors se sap que el nombre de quilòmetres diaris recorreguts per tota la flota d’automòbils segueix una distribució normal amb una desviació típica de 30 km. Construeix els intervals amb nivells de confiança del \(95\) i \(99\) % per a la mitjana poblacional, és a dir, per a la mitjana de quilòmetres diaris recorreguts per tota la flota d’automòbils.

Exercici 7.4.10 · PAU Setembre 2024

Una empresa d’autobusos afirma que fa el trajecte entre l’aeroport i el centre de la ciutat en 30 minuts. Hem obtingut una mostra del temps, en minuts, que ha trigat en 10 trajec-tes escollits a l’atzar:

33, 29, 28, 31, 34, 35, 32, 29, 37, 35

  1. Construïu un interval de confiança del 95 % per a la mitjana del temps de trajecte, suposant que aquest temps segueix una distribució normal amb una desviació típica de 2 minuts.
    Nota: Recordeu que, si \(Z\) segueix una distribució normal \((0, 1)\), \(P(-1,96 \le Z \le 1,96) = 0,95\). Recordeu també que l’interval de confiança per a la mitjana amb un nivell de confiança \(\gamma\in(0, 1)\) quan la variància \(\sigma^2\) és coneguda és donat per \(\left[ \bar{x}-z_\gamma \frac{\sigma}{\sqrt{\gamma}},\bar{x}+z_\gamma\frac{\sigma}{\sqrt{\gamma}} \right]\).

  2. A partir del resultat obtingut en l’apartat anterior, podem afirmar que la informació que proporciona l’empresa d’autobusos és errònia? Justifiqueu la resposta.

Exercici 7.4.11

En una mostra aleatòria simple de 200 treballadors d’una multinacional es va trobar que el salari mitjà anual era de 25100 € amb una desviació típica de 3000 €. Construeix un interval de confiança per a la mitjana poblacional, és a dir, el salari mitjà de tots els treballadors, amb un 95% de nivell de confiança.

7.5 Distribució binomial

Exercici 7.5.1

La probabilitat que una persona escollida a l’atzar tingui els ulls blaus és del \(10\%\). Es tria a l’atzar una mostra de cinc persones.

  1. Quina és la probabilitat que exactament dues persones tinguin els ulls blaus?

  2. Quina és la probabilitat que, almenys, una persona tingui els ulls blaus?

  3. Calculeu la mitjana i la desviació típica del nombre de persones amb ulls blaus d’aquesta mostra.

La variable aleatòria segueix una binomial \(x\sim B(5,0.1)\).

  1. \(P(x=2)=\binom{5}{2}0.1^20.9^3=0.0729\Longrightarrow 7.29\%\)

  2. \(P(x\ge 1)=1-P(x=0)=1-\binom{5}{0}0.1^0\cdot 0.9^5=0.40951\Longrightarrow 40.09\%\)

  3. \(\mu=5\cdot 0.1=0.5\) \(\sigma=\sqrt{5\cdot 0.1\cdot 0.9}=0.6708\)

Exercici 7.5.2

En una enquesta de satisfacció d’una companyia de fibra òptica, el \(70\%\) dels clients enquestats responen “molt satisfet” amb l’atenció rebuda, i la resta tria altres opcions diferents. En una mostra de \(10\) clients:

  1. Quina és la probabilitat que exactament tres clients responguin amb l’opció “molt satisfet”?

  2. Quina és la probabilitat que com a mínim dos clients escullin aquesta opció?

  3. Quina probabilitat hi ha que més de vuit clients responguin amb aquesta opció?

  1. \(P(x=3)=\binom{10}{3}0.7^3\cdot 0.3^7=0.009\Longrightarrow 0.9\%\)

  2. \(P(x\ge 2)=1-\left( P(x=0) + P(x=1) \right)=1-\left( \binom{10}{0}0.7^0\cdot 0.3^{10}+\binom{10}{1}\cdot 0.7^1\cdot 0.3^9 \right)=0.9998\Longrightarrow 99.98\%\)

  3. \(P(x>8)=P(x=9)+P(x=10)=\binom{10}{9}0.7^9\cdot 0.3+\binom{10}{19}\cdot 0.7^{10}\cdot 0.3^0=0.1493\Longrightarrow 14.93\%\)

Exercici 7.5.3 · Exemples PAU

Els components electrònics produïts per una determinada empresa són defectuosos amb una probabilitat de \(0.01\). L’empresa ven els components en paquets de \(10\) i es compromet a retornar els diners si el paquet conté \(2\) o més components defectuosos.

  1. Calculeu la probabilitat que et retornin els diners si compres un paquet de components.

  2. Una persona ha comprat 3 paquets de components, quina és la probabilitat que li retornin els diners de, com a mínim, un dels paquets?

  1. \(0.0043\)

  2. \(0.0128\)

7.6 Intervals de confiança per una proporció

Exercici 7.6.1 · PAU Juny 2024

Volem saber el percentatge de persones que estarien a favor de la construcció d’un poliesportiu municipal en una població determinada. Prenem una mostra aleatòria de 350 persones, 218 de les quals es manifesten a favor de la proposta i la resta, en contra.

  1. Doneu l’estimació puntual de la proporció i del percentatge de persones que estan a favor de la construcció del poliesportiu.

  2. Escriviu un interval de confiança del 95% per al percentatge de persones que estan a favor de la construcció del poliesportiu en aquesta població.
    Nota: Recordeu que, si \(Z\) segueix una distribució normal \((0, 1)\), \(P(-1,96 \leq Z \leq 1,96) = 0,95\). Recordeu també que, per a mostres grans, l’interval de confiança per a una proporció amb un nivell de confiança \(\gamma \in (0, 1)\) és donat per: \[\left[ \hat{p} - z_\gamma \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}, \hat{p} + z_\gamma \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \right]\]

Exercici 7.6.2

En una mostra de 100 persones es va trobar que 8 eren esquerranes. Calcula la veritable proporció de la població trobant una estimació puntual i per interval de confiança a 90%. Després calcula els intervals de confiança al 95% i al 99% i compara’ls amb l’inicial.

\([0.0354,0.1246]\) al \(90\%\), \([0.0269,0.1331]\) al \(95\%\), \([0.0101,0.1499]\) al \(99\%\).

Exercici 7.6.3

En una determinada ciutat es vol conèixer la proporció actual de llars amb més d’un automòbil. Amb aquesta finalitat s’elabora una mostra de 300 llars i resulta que en 120 hi ha més d’un automòbil. Construeix un interval de confiança per a la proporció de llars amb aquesta condició, a un nivell de confiança del 95%.

\([0.3446,0.4554]\)